Exercice 1: Etats cohérents 1 On consid`ere un oscillateur harmonique classique d'énergie E = 1 2 Comparer ce résultat `a la situation quantique et
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extenso les corrigés des exercices et probl`emes proposés `a la fin de chaque 12 6 Mesures de la position et de l'énergie d'un oscillateur harmonique
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Séance d'exercices 4 : oscillateur harmonique, opérateurs d'echelle et champ électromagnétique quantifié Exercice 1 â = 1 / 2 (x + ip) ⇔
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TD 7 : Oscillateur harmonique – Produit tensoriel 16 Exercices A) On consid` ere un syst`eme dont l'espace des états, qui est `a trois dimensions, est rapporté ` a la niveaux d'énergie, corrigée de l'effet de la masse finie du proton 25
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Exercice 1: Etats cohérents 1 On consid`ere un oscillateur harmonique classique d'énergie E = 1 2 Comparer ce résultat `a la situation quantique et
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Exercice 1 1- Atome à 2 niveaux dans l'approximation RWA à un photon On considère un oscillateur harmonique quantique de masse m et de fréquence ω
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Exercice 7 : Mesures quantiques et évolution temporelle A Mesure En mécanique ondulatoire, le hamiltonien de l'oscillateur harmonique s'écrit H = - h2 2m
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Revenir à exercice 11, où nous avons calculé le déplacement de recul pour un système atomique qui émet un photon 25 L'oscillateur harmonique quantique
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Par conséquent, l'étude quantique de l'oscillateur harmonique se ramène à la Christophe Texier, Mécanique quantique : Cours et exercices corrigés, Edition
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Exercices 116 Problème 6 1 Groupe de Galilée 118 Chapitre 7 Oscillateur harmonique 121 7 1 L'oscillateur harmonique classique 121 7 2 Le spectre de
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M´ecanique Quantique
TD n◦6 : Oscillateur harmonique
Exercice 1: Etats coh´erents
1.Quelques rappels sur l" oscillateur harmoniqueOn consid`ere un oscillateur harmonique classique d"´energie
E=12mv2+12mω20x2.
(a) Ecrire l"´energieEen terme des variables sans dimension X cl=? mω0¯hx;Pcl=1⎷m¯hω0mv .
(b) R´esoudre l"´equation du mouvement associ´ee `a la variableα=1 ⎷2(Xcl+iPcl) et ´ecrire l"´energie en terme de cette variable. (c) Quelle est la densit´e de probabilit´e de pr´esence en unpointxlorsque le syst`eme est dans son ´etat d"´energie minimale ? Comparer ce r´esultat `a la situation quantique et l"expliquer qualitativement. (d) Rappeler l"expression des op´erateurs de cr´eation et d"annihilation en terme des op´erateurs sans dimension: X=? mω0(e) En utilisant le Th´eor`eme d"Erhenfest, ´ecrire d"une mani`ere g´en´erale les ´equations
diff´erentielles v´erifi´ees par?ˆX?(t),?ˆP?(t) et?ˆa?(t). Quelle remarque s"impose ? Que
se passe-t-il si le syst`eme est dans un ´etat d"´energie fix´ee|n?? Conclusion.2.D´efinition des ´etats coh´erentsOn d´efinit un´etat coh´erent comme un´etat propre (norm´e `a 1) de l"op´erateur d"annihilation
ˆa|α?=α|α?.
(a) Donner l"expression de|α?dans la base des ´etats propres du Hamiltonien{|n?}en fonction deα(on choisira la phase de telle fa¸con que?0|α?>0).(b) D´eduire de la question pr´ec´edente la loi deα(t) associ´ee au ket|α(t)?lorsque le
syst`eme est dans l"´etat|α0?`a l"instant initial. Conclusion.3.Quelques propri´et´es des ´etats coh´erents
(a) On suppose que le syst`eme est dans l"´etat|α0?`a l"instantt= 0. Calculer les quantit´es
suivantes:?ˆX?(t),?ˆP?(t) et le produit?ΔX??ΔP?. (b) On mesure l"´energie du syst`eme: quels r´esulats peut-on trouver et avec quelles prob- abilit´es. Calculer la valeur moyenne?ˆH?et l"´ecart quadratique moyen?ΔH?. Licence Phytem - M´ecanique quantique - Ann´ee 2006-20071(c) Dans quelle limite surαles ´etats coh´erents permettent-ils de retrouver des r´esultats
classiques ? On consid`ere un pendule tel quel= 20 cm etm= 20 g lach´e sans vitesse initiale d"un angleθ=π10. En supposant que l"on puisse d´ecrire ce syst`eme
`a l"aide d"un ´etat coh´erent, calculer la valeur de|α|. (d) En utilisant l"identit´e suivante, valable pour deux op´erateursˆAetˆBqui commutent avec leur commutateur (identit´e dite de Glauber): exp(ˆA)exp(ˆB) = exp?ˆA+ˆB?
exp?12?ˆA,ˆB??
montrer que l"op´erateur ˆD(α) = exp?αˆa†-α?ˆa?est unitaire et permet de d´efinir un ´etat coh´erent avec la relation |α?=ˆD(α)|0?. (e) Montrer que dans la repr´esentation-xun ´etat coh´erent a pour expression ?x|α?=Nexp?ix?ˆp?¯h?
exp? -mω0(x- ?ˆx?)22¯h? Exercice 2: Mesures successives sur un oscillateur har- moniqueOn consid`ere un oscillateur harmonique `a une dimension (directionx), caract´eris´e par la masse
met la pulsation propreω0. On note|n?l"´etat propre poss´edantnnoeuds. A l"instant initial, la fonction d"onde est |ψ(t= 0)?=N? |0?+i⎷ 3|1??