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U.P.S. I.U.T. A, D´epartement d"Informatique Ann´ee 2008-2009
Ch. 5 : Echantillonnage, estimation
1 Echantillonnage et suites de variables al´eatoires.
Un´echantillonde taillenest une partie den´el´ements choisis al´eatoirement dans une populationP. On dit qu"il estnon exhaustiflorsque le tirage se fait avec remise,exhaustif dans le cas contraire. Des tirages avec remise forment des ´ev`enements ind´ependants : l"urnen"est pas modifi´ee par le tirage. Si la population est tr`es grande ou infinie, on pourra toujours
consid´erer que le tirage est non exhaustif : le fait de remettre ou non l"´el´ement tir´e devient
sans importance. On suppose maintenant qu"on ´etudie un caract`ere statistique quantitatifCsurP. On consid`ere l"ensemble Ω ndes ´ev`enements : "tirage d"un ´echantillon de taillen". On obtient une suite de variables al´eatoiresX1,X2,...Xn, o`uXiest la valeur du caract`ereCsur le i-`eme´el´ement de l"´echantillon tir´e.
Si le tirage est avec remise (ou si la population est tr`es grande par rapport `a l"´echantillon)ces variablesXisont ind´ependantes et suivent toutes la mˆeme loi de probabilit´e, d"esp´erance
la moyenne deCet d"´ecart-type celui deC. A partir desnvariables al´eatoiresXi, on en construit de nouvelles, appel´ees "estimateurs". Par exemple, siXine prend que deux valeurs (pile/face, oui/non) cod´ees par 1, 0, on peutcompter le nombre de "pile" ou de "oui" dans l"´echantillon `a l"aide de la variable al´eatoire
"somme sur l"´echantillon" : S n=X1+X2+···Xn. On peut aussi, pour "estimer" la moyenne du caract`ere statistiqueC, consid´erer la variable al´eatoire "moyenne sur l"´echantillon" : M n=X1+X2+···Xn n. Pour estimer l"´ecart-type du caract`ere statistiqueCon consid`ere la variable al´eatoire : n-1=???? 1 n-1n i=1(Xi-Mn)2. Remarquer la pr´esence den-1 au lieu den: cet estimateur est "meilleur" que Σn(´ecart-type de l"´echantillon) pour estimer l"´ecart-typeσde la population (voir le§3). Noter qu"on
a : Σ n-1=? n n-1Σn.Comment ´evoluent ces variables lorsqu"on augmente la taille de l"´echantillon (n→ ∞)?
12 Les "th´eor`emes limites".
In´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev.SoitXune variable al´eatoire continue d"esp´erance
μet d"´ecart-typeσ. On veut mesurer la probabilit´e que les valeurs deXs"´ecartent de la valeur
moyenneμde plus qu"un intervalle donn´e par un param`etre positifλ. Pour toutλ >0 on a : p(|X-μPreuve- On poseY=X-μ
σ.On a :E(Y) = 0 etσ(Y) = 1 d"o`u,
1 =σ2(Y) =?
y2fY(y)dy |y|≥λy2fY(y)dy ≥λ2? |y|≥λfY(y)dy=λ2p(|Y| ≥λ),
d"o`u l"in´egalit´e en divisant parλ2. Pour une variable al´eatoire `a valeurs discr`etes, la preuve
est similaire : remplacer?y2fY(y)dypar? iy2ipi. Exercice 1.On lance 100 fois de suite une pi`ece. La variable al´eatoireX: nombre de "pile" obtenus suitB(100,12). En utilisant l"in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev, minorer la probabilit´e
p(40< X <60)et comparer avec la valeur exacte donn´ee par la loi binomiale. Loi (faible) des grands nombres.On se place dans la situation d"un ´echantillonnagede taillen, et donc d"une suite de variables al´eatoiresX1,...Xnind´ependantes, de mˆeme loi,
mˆeme esp´eranceμet mˆeme ´ecart-typeσ. SoitMn=1 n? iXila variable al´eatoire "moyenne d"un ´echantillon". On a, pour toutε >0 donn´e, p(|Mn-μ|< ε)≥1-σ2 nε2et en particulier limn→∞p(μ-ε < Mn< μ+ε) = 1. c"est-`a-dire :Mnprendra une valeur aussi proche qu"on veut deμ, avec une probabilit´e aussi proche qu"on veut de 1, `a condition de prendre la taillende l"´echantillon suffisamment grande. Preuve- Puisque les variablesXisuivent la mˆeme loi de param`etresμetσet sont ind´ependantes, on aE(Mn) =nμ
n=μetσ(Mn) =? nσ2 n2=σ⎷n. D"apr`es l"in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev appliqu´ee `aMnon a : p(|Mn-μ| 2Choisissonsλtel queλσ
nσ.On a :
nε2. On passe `a l"´ev`enement contraire pour obtenir l"´enonc´e de la loi. Th´eor`eme de la limite centr´ee.A partir de la variableMnpr´ec´edente on construit la variable centr´ee r´eduite : Z n=Mn-μ Rappelons que la loi de probabilit´e de chaqueXiet donc deMnet deZnest inconnue.N´eanmoins on a (preuve admise) :
La loi de probabilit´e deZntend vers celle de la loi normale centr´ee r´eduiteN(0,1)lorsquen
tend vers l"infini. C"est-`a-dire : lim n→∞p(Zn< a) = Π(a). avecΠ(a) =p(Z < a)o`uZsuit la loi normale centr´ee r´eduite.Rappelons Π(a) est le nombre donn´e par la table de la loi normale centr´ee r´eduite (`a nouveau
disponible en derni`ere page de ce document). Cas particulier : approximation d"une loi binomiale par uneloi normale.Si le caract`ere C ne prend que deux valeurs 1 et 0 (ou blanc/noir) en proportionpetq= 1-p, ona vu queBn=X1+···+Xn(le nombre de "blanc" sur un ´echantillon den´el´ements) suivait
la loi binomialeB(n,p), d"esp´eranceμ=npet d"´ecart-typeσ=⎷ npq. D"apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent, pourngrand (dans la pratique,np >15etnq >15),Zn= B n-μσsuit approximativement la loi normaleN(0,1).
Utilisation pratique : correction de continuit´e.La loi binomiale ´etant discr`ete et la loi normale
´etant continue, on ne peut approximerp(Zn=k) parp(Z=k) o`uZsuit la loi normale centr´ee r´eduite : en effet,p(Z=k) est toujours nul. On doit remplacerkpar l"intervalle ]k-1/2,k+ 1/2[ (On fait une "correction de continuit´e"). Exemple : Exercice 2.Xsuit la loi binomialeB(50,0.5). Calculerp(X= 24), en l"approximant par 33 Estimation.
On veut ´etudier les propri´et´es d"un caract`ereCd"une population `a partir de ses valeurs sur un ou plusieurs ´echantillons. Estimation ponctuelle.Pour estimer un param`etre deC(par exemple la moyenneμoul"´ecart-typeσ),on choisit un ´echantillon particulieren(d"o`u l"appellation "ponctuelle"), et
on calcule la valeur de l"estimateur (Mn, Σn-1,...) sur cet ´echantillon :mn=Mn(en),σn-1= n-1(en). Le choix de l"estimateur en fonction du param`etre `a approcher est un probl`eme difficile : par exemple pourquoi choisir Σ n-1plutˆot que Σnpour estimer l"´ecart-type? Nous admettons ici que dans le cas des param`etresμouσ, les estimateursMnou Σn-1propos´es ici sont "les meilleurs possibles", ce qui signifie :- ´etant donn´e une suite d"estimations ponctuelles sur des´echantillonsende taillen, on a :
lim nMn(en) =μ, limnΣn-1(en) =σ(l"estimation se rapproche du param`etre cherch´e lorsque la taille de l"´echantillon augmente); -E(Mn) =μetE(Σn-1) =σ. (Si on moyennise les estimations sur tous les ´echantillons de taillenon trouve le param`etre. L"estimateur est dit "sans biais"); - L"´ecart-type deMnet Σn-1est minimal (l"estimation ponctuelle varie le moins possible d"un´echantillon `a un autre).
Estimation par intervalle de confiance.On ne cherche plus `a donner une valeur estim´ee la meilleure possible du param`etrex(moyenne, proportion, ´ecart-type...) mais un intervallede valeurs dans lequel la vraie valeur se trouve avec une probabilit´e donn´ee (le coefficient de
confiance; dans la pratique, 95%, 99%...). Si on ´ecrit le coefficient de confiance sous la forme1-α,αest appel´e le "risque" (5%, 1%,...).On cherche donc[a,b]tel que
p(x?[a,b]) = 1-α. Estimation d"une moyenneμpar intervalle de confiance. On peut obtenir un "intervalle de confiance" [a,b] dans lequel une moyenneμse trouve avec un risque donn´e sous l"une des deux hypoth`eses suivantes :i- le caract`ere statistique suit une distribution quelconque d"´ecart-type connuσ, et l"´echantillon
est grand (n≥30); ou ii- le caract`ere statistique suit une distribution normale d"´ecart-type connuσ; la taille de l"´echantillon est alors sans importance. SoitMnl"estimateur : "moyenne d"un ´echantillon de taillen." Nous savons que son esp´erance estμet son ´ecart-type estσ/⎷ n. On sait d"apr`es le th´eor`eme de la limite centr´ee :