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R´esistance des mat´eriaux :
´elasticit´e,
m´ethodes ´energ´etiques, m´ethode des ´el´ements finis
Rappels de cours
et exercices avec solutions
Yves Debard
Institut Universitaire de Technologie du Mans
D´epartement G´enie M´ecanique et Productique
20 juin 2011
Table des mati`eres
1
´Elasticit´e
1
1.1 Rappels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 D´eplacements et d´eformations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Contraintes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Loi de comportement ou loi constitutive
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.4 Cas particulier : ´etat de contraintes planes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.5 Formules math´ematiques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 M´ethode des ´el´ements finis : approche r´esistance des mat´eriaux
25
2.1 Rappels : r´esolution d'un probl`eme stationnaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Partition des degr´es de libert´e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Calcul des d´eplacements inconnus
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3 Calcul des r´eactions d'appui
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Poutre soumise `a un effort normal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1 Rappels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2 Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Treillis plans `a noeuds articul´es
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.1 Rappels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.2 Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4 Poutre soumise `a un moment de torsion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.1 Rappels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.2 Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5 Flexion des poutres `a plan moyen : mod`ele de Bernoulli
. . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5.1 Rappels : flexion dans le plan{xy}
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5.2 Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3 M´ethodes ´energ´etiques : poutres
83
3.1 Rappels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.1 Expression de l'´energie de d´eformation en fonction des forces appliqu´ees : for-
mule de Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.2 Th´eor`eme de r´eciprocit´e de Maxwell-Betti
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.3 Th´eor`eme de Castigliano
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.4 Th´eor`eme de M´enabr´ea
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.1.5
´Energie de d´eformation d'une poutre
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.1.6 Formules math´ematiques utiles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.2 Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
IIExercices de resistance des materiaux
4 M´ethode des ´el´ements finis
121
4.1 Rappels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.1.1
´Energie de d´eformation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.1.2
´Energie cin´etique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.1.3
´Energie potentielle et ´el´ements finis
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.1.4 Modes propres
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.2 Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2.1 Assemblage
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.2.2 ´El´ement de poutre droite soumis `a un effort normal . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.2.3 Exercice : mise en ´equation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.2.4 Exercice : mise en ´equation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2.5 Exercice : contraintes et ´energie de d´eformation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.2.6 Exercice : contraintes et ´energie de d´eformation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.2.7 ´El´ement de poutre droite soumis `a un effort normal . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.2.8 Exercice : modes propres
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.2.9
´El´ement fini de torsion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.2.10
´El´ement fini de flexion : mod`ele de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.2.11 Exercice : ´elasticit´e plane
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Chapitre 1
Elasticit´e
1.1 Rappels
Les d´eplacements et les d´eformations sont petits.
1.1.1 D´eplacements et d´eformations
Vecteur d´eplacement :
⃗u=---→M0M ,{u}= u(x,y,z) v(x,y,z) w(x,y,z) (1.1.1)
Tenseur des d´eformations :
xx1 2
γxy1
2
γxz
1 2
γxyεyy1
2
γyz
1 2
γxz1
2
γyzεzz
,[ε]T= [ε](1.1.2) xx=∂u ∂x , εyy=∂v ∂y , εzz=∂w ∂z (1.1.3a) xy=∂u ∂y +∂v ∂x , γxz=∂u ∂z +∂w ∂x , γyz=∂w ∂y +∂v ∂z (1.1.3b) Allongement unitaire enMdans la direction{n}= n x n y n z
ε(M,⃗n) ={n}T[ε(M)]{n}
Glissement enMdans les directions orthogonales⃗naet⃗nb: γ(M,⃗na,⃗nb) = 2{nb}T[ε(M)]{na},{nb}T{na}= 0(1.1.5)
Variation relative de volume :
V(M) = tr[ε] =εxx+εyy+εzz(1.1.6)
2Exercices de resistance des materiaux
1.1.2 Contraintes
Vecteur contrainte sur la facette⃗nenM:
T(M,⃗n) =σn⃗n+⃗τn(1.1.7a)
Soit{n}=
n x n y n z un vecteur unitaire enM. Le vecteur contrainte sur la facette⃗nenMest donn´e par la formule de Cauchy : T x T y T z xxσyxσzx xyσyyσzy xzσyzσzz n x n y n z ,{T}= [σ(M)]{n}(1.1.8) o`u [σ(M)] est le tenseur des contraintes enM.
Le tenseur des contraintes est sym´etrique :
[σ] = [σ]Tsoitσxy=σyx, σxz=σzx, σyz=σzy(1.1.9)
La contrainte normale sur la facette⃗nest :
n={n}T[σ]{n} =n2xσxx+n2yσyy+n2zσzz+ 2nxnyσxy+ 2nxnzσxz+ 2nynzσyz(1.1.10) Soientσ1,σ2etσ3les trois contraintes principales en un pointMd'un solide. Les crit`eres de
Rankine, Von Mises et de Tresca s'´ecrivent :
1 2
1.1.3 Loi de comportement ou loi constitutive
Si le mat´eriau est isotrope, la loi de comportement s'´ecrit : xx=1 E (σxx-ν(σyy+σzz)) yy=1 E (σyy-ν(σxx+σzz)) zz=1 E (σzz-ν(σxx+σyy))(1.1.12a) xy=σxy G , γxz=σxz G , γyz=σyz G , G=E
2(1 +ν)(1.1.12b)
o`uEetνsont respectivement le module de Young et le coefficient de Poisson du mat´eriau.
Elasticite3
1.1.4 Cas particulier : ´etat de contraintes planes
Le tenseur des contraintes se r´eduit `a :
xxσxy0 xyσyy0
0 0 0
(1.1.13) d'o`u l'expression du tenseur des d´eformations : xx1 2
γxy0
1 2
γxyεyy0
0 0εzz
(1.1.14) et de la loi de comportement : xx=E
1-ν2(εxx+ν εyy), σyy=E
1-ν2(εyy+ν εxx)
zz=-ν E (σxx+σyy), σxy=Gγxy, G=E
2(1 +ν)(1.1.15)
Les contraintes et les d´eformations principales sont : 1 2}quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25
[PDF] Travaux dirigés de résistance des matériaux - Technologue pro