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alors suit la loi de khi-deux à n degré de liberté puis faisons la preuve du théorème fondamentale du test du khi-deux Page 4 Le chapitre III, est étudie d' une part

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EXERCICES CORRIGES : tests de ²

Exercice 1 : BTSA - Productions animales - Session 1993 (Troisième exercice sur 8 points)

Un étalon gris hétérozygote accouplé à des juments non grises produira des poulains gris

avec une probabilité de 0,25 d'après les lois de Mendel. Des juments non grises accouplées à cet

étalon et ayant produit 5 poulains ont donné les résultats suivants :

Nombre de poulains

gris sur les 5 produits 0 1 2

3 et plus

Nombre de juments

10 18 16 6

1. Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de poulains gris par jument.

Définir la loi de probabilité de X, sous l'hypothèse de Mendel.

2. A l'aide d'un test de ² (au seuil de 5%), dire si les résultats observés permettent

d'accepter l'hypothèse de Mendel.

Proposition de corrigé

1. Nous sommes dans le cas d'un schéma de Bernoulli (On suppose qu'il n'y a qu'un

poulain par portée): - Pour chaque poulain il y a deux éventualités contraires : soit il est gris (avec une probabilité p = 0,25) soit il est non gris (avec une probabilité de 1 - p = 0,75) - Les couleurs des 5 poulains d'une jument sont indépendantes et ont été obtenues dans les mêmes conditions. Ces deux conditions nous permettent de dire que, sous l'hypothèse de Mendel, X est de loi binomiale B(5; 0,25).

2. Il s'agit ici d'un test d'ajustement

Posons l'hypothèse nulle H

0 : Les résultats sont conformes à la théorie.

C'est-à-dire : H0 : La variable aléatoire X suit la loi binomiale B(5; 0,25). ENFA - Bulletin du GRES n°6 - mars 1998 page 38

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A l'aide de la formule

PX k C

kk k 55

025 075,, pour 05k, nous

allons calculer les probabilités puis les effectifs théoriques correspondant aux diverses valeurs

de X :

Nombre de

poulains gris sur les 5 produits 0 1 2

3 ou plus

Totaux

effectifs observés (ni) 10 18 16 6 50

Probabilités

(pi) 0,2373 0,3955 0,2637 0,1035 * 1 effectifs théoriques (npi) 11,87 19,78 13,18

5,17 *

50
ni - npi -1,87 -1,78 2,82 0,83 0 *valeurs calculées par différence La taille de l'échantillon est n = 50, c'est-à-dire l'effectif total.

Variable de décision

Tous les effectifs théoriques étant supérieurs à 5, on peut dire que, sous l'hypothèse H0, la

variable KNnp np ii i 02 suit approximativement la loi de ² à 413 degrés de liberté (ddl).

Remarque : le

N i en majuscule signifie qu'il s'agit ici d'une variable aléatoire mais une minuscule est tolérée.

Calcul de la valeur de

K 0 pour l'échantillon prélevé : knnp npnn n ksoitk ii iobs th th 022
0 22 22
0 187

1187178

19 78282

1318083

517119

Décision

: = 5%

Pour 3 ddl on lit dans la table :

0952
781
, (ce type de test est unilatéral). k 0 est inférieur à cette valeur donc on ne rejette pas H0. Nous pouvons donc en conclure, au seuil de 5 %, que les résultats observés ne contredisent pas la théorie. ENFA - Bulletin du GRES n°6 - mars 1998 page 39

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Exercice 2 : BTSA - Industries agro-alimentaires - Remplacement 1994 ( Quatrième exercice sur 5 points) Afin de comparer l'action de deux levures sur une pâte à gâteaux, on prélève, pour

chacune des levures, un échantillon aléatoire de gâteaux. L'aptitude des pâtes à lever est définie

par les critères suivants : moyenne, bonne, très bonne. Les résultats constatés sont rassemblés dans le tableau suivant : aptitude à lever levure moyenne bonne très bonne

A 41 16 63

B 22 27 51

A l'aide d'un test de

2, au risque de 5%, peut-on conclure à une différence d'activité des

deux levures ? Proposition de corrigé : (Il y a de nombreuses notations possibles, celles choisies ci-dessous ne sont qu'un exemple.) Il s'agit ici d'un test de comparaison de deux distributions qui se ramène à un test d'indépendance. H0 : Il n'y a pas de différence d'activité entre ces deux levures. qui se traduit par : H0 : L'aptitude à lever de cette pâte à gâteau est indépendante du choix qui est fait entre les deux levures A et B. Nous allons donc établir le tableau de contingences :

L'effectif théorique de la classe située à l'intersection de la i ième ligne et de la j ième

colonne est donné par npnn n ijij u (où n i. est l'effectif total de la i ième ligne, n j. celui de la j ième colonne et n l'effectif total soit 220). Les effectifs théoriques notés sont en italiques : aptitude levure moyenne bonne très bonne total A 41

34.36 16

23.45 63

62.18 120

B 22

28.64 27

19.55 51

51.82 100

total 63 43 114 220

Variable de décision

Tous les effectifs théoriques sont supérieurs ou égaux à 5 donc, sous l'hypothèse H0, la

variable aléatoire ENFA - Bulletin du GRES n°6 - mars 1998 page 40

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KNnp np ij ij ij ji0 suit (approximativement) la loi de ² à (3-

1)(2-1)=2 degrés de liberté.

Calcul de la valeur de

K 0 pour l'échantillon prélevé : k k 0 0

41 3436

343616 2345

234563 6218

621822 2864

286427 1955

19555182

5182
805
.(51 . )² ou k 0

41²

343616²

234563²

621822²

286427²

195551²

5132220 805.......

Décision

Pour =5% et pour 2 ddl on lit dans la table de ² : 0952
599
k 0 est supérieur à cette valeur donc on rejette H0 au risque de 5%. En conclusion on peut dire, au risque de 5% et au vu de ces observations, qu'il y a une différence d'activité entre les deux levures A et B sur cette pâte à gâteaux.

Remarque : la notation np

ij vient du fait que, sous l'hypothèse d'indépendance des deux caractères, pn nn n ijij est une estimation du pourcentage d'individus de la population appartenant à la i ième modalité du caractère "ligne" et à la jième modalité du caractère "colonne".quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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EXERCICES CORRIGES : tests de ²

Nombre de poulains

3 et plus

Nombre de juments

1. Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de poulains gris par jument.

2. A l'aide d'un test de ² (au seuil de 5%), dire si les résultats observés permettent

Proposition de corrigé

1. Nous sommes dans le cas d'un schéma de Bernoulli (On suppose qu'il n'y a qu'un

2. Il s'agit ici d'un test d'ajustement

Posons l'hypothèse nulle H

0 : Les résultats sont conformes à la théorie.

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A l'aide de la formule

PX k C

025 075,, pour 05k, nous

Nombre de

3 ou plus

Totaux

Probabilités

5,17 *

Variable de décision

Remarque : le

Calcul de la valeur de

1187178

19 78282

1318083

517119

Décision

Pour 3 ddl on lit dans la table :

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A 41 16 63

B 22 27 51

A l'aide d'un test de

2, au risque de 5%, peut-on conclure à une différence d'activité des

34.36 16

23.45 63

62.18 120

28.64 27

19.55 51

51.82 100

Variable de décision

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1)(2-1)=2 degrés de liberté.

Calcul de la valeur de

41 3436

343616 2345

234563 6218

621822 2864

286427 1955

19555182

41²

343616²

234563²

621822²

286427²

195551²

5132220 805.......

Décision

Remarque : la notation np