[PDF] Séries chronologiques : recueil dexercices PDF polySeriesChros.pdf

Montrez que le processus Xt = Acos ωt+B sinωt est stationnaire et calculez son espérance et sa fonc- tion d'auto-covariance Exercice 8 a) Calculez la fonction d '

Previous PDF

Next PDF

[PDF] Séries Chronologiques

Feuille d'exercices n˚1 : Introduction aux séries chronologiques Exercice 1 Montrer si les Exercice 1 Calculer les séries des moyennes mobiles d'ordre 2, 3 et 4 de la série initiale Xt suivante Série corrigée des variations saisonni`eres

[PDF] Series Chronologiques: Corrigé - CMAP

Séries chronologiques Corrigé des exercices 1 Bourse Le tableau de calcul pour trouver l'équation de la tendance (droite des moindres carrés) est le suivant :

[PDF] Séries chronologiques (avec R) (Cours et exercices) M1 IM, 2020

programmes seront aussi donnés en R Les corrigés des exercices sur tables Prérequis : cours de L3 MASS d'introduction aux séries chronologiques et cours de L3 MASS l'exporterez au format pdf (c'est ce qui sera demandé au partiel)

[PDF] Séries chronologiques : recueil dexercices

Montrez que le processus Xt = Acos ωt+B sinωt est stationnaire et calculez son espérance et sa fonc- tion d'auto-covariance Exercice 8 a) Calculez la fonction d '

[PDF] Séries chronologiques

Avant-propos Ce cours est une introduction `a l'étude des séries chronologiques , appelées encore séries Les corrigés de la plupart des exercices sont reportés `a la fin du cours http://cran r-project org/doc/contrib/Paradis-rdebuts_ pdf

[PDF] SÉRIES CHRONOLOGIQUES

Donner la série des valeurs sans tendance, puis calculer les coefficients saisonniers corrigés associés aux quatre trimestres de l'année 4 Représenter la série

[PDF] GM4 – Statistique Polycopié dexercices Antoine Godichon-Baggioni

Exercice E 3 (Coefficients de la Droite des Moindres Carrés) On consid`ere la Séries Chronologiques (Suite et Fin) – Mod`ele Linéaire Gaussien simple (Début ) Calculer la série corrigée des variations saisonni`eres (CVSi) aux instants ti

[PDF] Modèles de régression et de séries chronologiques - Université Laval

édition sont corrigées et le document ne fait plus référence à S-Plus puisque faisant l'objet d'exercices : d'abord la régression linéaire (simple et multiple), sultats — aussi bien en régression qu'en analyse de séries chronologiques —

[PDF] Introduction aux séries chronologiques et à la prévision

SERIE CHRONOLOGIQUE = série corrigée des variations saisonnières 2 Exercice Décomposer la série chronologique mensuelle du bilan climatique du

[PDF] Séries temporelles - Ceremade

On a ∆Xt = Xt − Xt−1 = µ + Zt qui est stationnaire Exercice 1 4 (Somme de processus stationnaires) Soient X = (Xt) t∈Z

S´eries chronologiques : recueil d"exercices

R. S. Stoica

Universit´e Lille 1

Laboratoire Paul Painlev´e

59655 Villeneuve d"Ascq Cedex, France

radu.stoica@math.univ-lille1.fr

Septembre, 2009

21 IntroductionLes exercices de ce recueil ont servi pendant trois ans, comme support pour

les heures des travaux dirig´es et des travaux pratiques quicompl´etaient le cours "Pr´evisions dans les s´eries chronologiques", donn´e aux ´etudiants en derni`ere ann´ee de master pro par Marie-Claude Viano, puispar Thomas Simon. Marie-Claude Viano a beaucoup am´elior´e la qualit´e des ´enonc´es du point de vue de la rigueur math´ematique, de la logique et de l"orthographe.

Je tiens la remercier pour tous ses efforts.

Je serai ´egalement reconnaissant au lecteur qui aura bien la gentillesse de me signaler les eventuelles fautes trouv´ees dans le texte.Ceci, malgr´e mon orgueil un peu touch´e, ne fera qu"am´eliorer la qualit´e dece document. Ce recueil regroupe des exercices qui se trouvent majoritairement dans [1, 3,

2]. Le choix de ces exercices a ´et´e fait en fonction des objectifs du cours : fa-

miliariser l"´etudiant avec les s´eries chronologiques, d´etecter et travailler avec les tendances d"une s´erie temporelle, manipuler les mod`eles de type ARMA, utiliser la fonction de corr´elation et de corr´elation partielle en vue de la mod´elisation et finalement, effectuer et ´evaluer une pr´ediction qui s"appuie sur un mod`ele attach´e `a la s´erie observ´ee. Le logiciel utilis´e pendant les s´eances des travaux pratiques a´et´eR, disponible `a partir du sitehttp://www.r-project.org/. Les donn´ees r´eelles sur lesquel- les nous avons travaill´e sont accessibles `a partir du site http://www.statsci.org/. Pour terminer, je voudrais remercier ´egalement tous les coll`egues qui met- tent en libre acc`es sur leurs pages Web leurs ressources p´edagogiques. 3

2 Exercices pour les travaux dirig´es

Exercice 1.SoitXetYdeux variables al´eatoires avecE[Y] =μetE[Y2]< a) Montrez que la constantec=μminimiseE[(Y-c)2]. b) D´eduisez-en que la variable al´eatoiref(X) qui minimiseE[(Y-f(X))2|X] estf(X) =E[Y|X]. c) Prouvez que la variable al´eatoire qui minimiseE[(Y-f(X))2] est aussi f(X) =E[Y|X]. Exercice 2.Soit la s´erie d´efinie parXn=Zn+θZn-2, avecnentier, {Zn} ≂BB(0,σ2) etθune constante r´eelle positive. a) On noteρX(h) =Cov(XnXn-h). CalculezρX(h). b) Calculez la variance de (X1+X2+X3+X4)/4 pourθ= 0.8 etσ2= 1.

Refaites ce calcul pourθ=-0.8.

Exercice 3.Soit la s´erie d´efinie parXn=φXn-2+Zn, avecnentier, {Zn} ≂BB(0,σ2) et|φ|<1.{Xn}est stationnaire.{Zn}et{Xm}ne sont pas corr´el´ees pourm < n. a) CalculezρX(h). b) Calculez la variance de (X1+X2+X3+X4)/4 pourφ= 0.9 etσ2= 1.

Refaites ce calcul pourφ=-0.9.

Exercice 4.Sur l"ensemble des suites, on d´efinit l"op´erateur diff´erence premi`ere ?par (?x)n=xn-xn-1. Sixn=?pk=0cknkavecn?V, montrez que (?x)nest un polynˆome de degr´ep-1 et que (?p+1x)n= 0. Exercice 5.Soient{x1,x2,...,xn}les valeurs observ´ees d"une s´erie tem- porelle et ˆρn(h) la fonction d"auto-corr´elation empirique. Prouvez que : a) Sixt=a+bt, o`uaetb?= 0 sont des constantes, montrez que pourhfix´e lim n→∞ˆρn(h) = 1 b) Sixt=ccos(ωt) o`uc?= 0 etω?(-π,π] sont des constantes, montrez que pourhfix´ee limn→∞ˆρn(h) =cos(ωh)

4Rappels peut ˆetre utiles ...E[Y] =E[E[Y|X]]

Cov(aX+bY,cU+dV) =acCov(X,U) +adCov(X,V) +bcCov(Y,U) + bdCov(Y,V)

?nk=1k2=n(n+1)(2n+1)

6 Exercice 6.L"op´eration qui `a la suiteunassocie la suitevn=?qj=-qajun-j s"appelle filtrage. Soit le filtre (moyenne mobile) donn´e par les coefficients a a) Simn=c0+c1n, montrez que?qj=-qajmn-j=mn. b) SiZn,n= 0,±1,±2,...sont des v.a. ind´ependantes de moyenne nulle et varianceσ2, montrez que la moyenne mobileAn=?qj=-qajZn-jest "petite" pourqgrand, c"est `a direE[An] = 0 etV ar[An] =σ2 2q+1. Exercice 7.AetBsont des variables al´eatoires non-corr´el´ees etωest une fr´equence de valeur fix´ee dans l"intervalle [0,π]. Montrez que le processus X t=Acosωt+Bsinωtest stationnaire et calculez son esp´erance et sa fonc- tion d"auto-covariance.

Exercice 8.

a) Calculez la fonction d"auto-covariance de la s´erie temporelleXt=Zt+

0.3Zt-1-0.4Zt-2avec{Zt} ≂BB(0,1).

b) Calculez la fonction d"auto-covariance de la s´erie temporelleYt=Wt-

1.2Wt-1-1.6Wt-2avec{Wt} ≂BB(0,0.25).

c) Comparez les r´esultats obtenus. Exercice 9.Trouvez des s´eries temporelles ayant comme fonction d"auto- covariance les fonctions suivantes : a)σ(h) = 1, h= 0,±1,±2,... b)σ(h) = (-1)|h|, h= 0,±1,±2,... c)σ(h) = 1 + cos?πh

2?+ cos?πh4?, h= 0,±1,±2,...

σ(h) =???1 sih= 0

0.4 sih=±1

0 sinon

Exercice 10.SoitX1,X2,...une s´erie stationnaire de moyenneμet fonction d"auto-corr´elationρ(·). Montrez que le meilleur pr´edicteur deXn+hde la 5 formeaXn+best obtenu pour les valeursa=ρ(h) etb=μ(1-ρ(h)). Exercice 11.Montrez que l"´equation auto-r´egressive X t=φXt-1+Zt, t= 0,±1,±2,... avecZt≂BB(0,σ2) et|φ|= 1 n"a pas de solution stationnaire.

Exercice 12.Montrez que

1-φz=-∞?

j=1φ -jz-j pour|φ|>1 et|z|>1. Exercice 13.Soit{Yt}la s´erie temporelle form´ee par l"addition d"un mod`ele

AR(1) et d"un bruit

Y t=Xt+Wt o`uXt=φXt-1+Zt,{Zt} ≂BB(0,σ2z),|φ|<1 etXsetZtnon-corr´el´ees pours < t. Nous avons ´egalement{Wt} ≂BB(0,σ2w) etE[WsZt] = 0 pour tous less,t. a) Montrez que{Yt}est stationnaire et calculez sa fonction de covariance. b) Montrez que la s´erieUt=Yt-φYt-1peut ˆetre r´epresent´ee par un mod`ele

MA(1).

c) Est-ce que d"apr`es le point pr´ec´edent nous pouvons dire que{Yt}est un mod`eleARMA(1,1) ? Dans le cas affirmatif, trouvez ses param`etres en sachantφ= 0.5,σ2w= 0.25 etσ2z= 1. Exercice 14.Est-ce que les mod`eles ARMA consid´er´es sont bien d´efinis? a)Xt+ 0.2Xt-1-0.48Xt-2=Zt b)Xt+ 1.9Xt-1+ 0.88Xt-2=Zt+ 0.2Zt-1+ 0.7Zt-2 c)Xt+ 0.6Xt-1=Zt+ 1.2Zt-1 d)Xt+ 1.8Xt-1+ 0.81Xt-2=Zt e)Xt+ 1.6Xt-1=Zt-0.4Zt-1+ 0.04Zt-2

Ici{Zt} ≂BB(0,σ2).

Exercice 15.Calculez la fonction de corr´elation de la s´erie temporelle suiv- ante : X t+ 0.2Xt-1-0.48Xt-2=Zt

6(contentez vous de calculer les premi`eres valeurs)Exercice 16.Calculez la fonction de corr´elation du processus

X t= 0.8Xt-3+Zt avec{Zt} ≂BB(0,σ2). Exercice 17.Montrez que pourh= 2 la valeur du co´efficient d"auto- corr´elation partielleα(h) du mod`eleMA(1) X t=Zt+θZt-1, t= 0,±1,±2,... avec{Zt} ≂BB(0,σ2) est

α(2) =-θ2

1 +θ2+θ4.

Exercice 18.Soit{Xt},t= 0,±1,±2,...une s´erie stationnaire d´efinie par X t=φ1Xt-1+...+φpXt-p+Zt avec{Zt} ≂BB(0,σ2) etE[ZtXs] = 0 pour chaques < t. a) Montrez que le meilleur pr´edicteur lin´eaire deXn+1en fonction de (on supposen > p). b) Quelle est l"erreur quadratique moyenne de?Xn+1?

Exercice 19.Soit le mod`eleAR(2)

X n-aXn-1-a2Xn-2=?n,?n avec{?n} ≂BB(0,σ2). a) Donner une condition suffisante surapour qu"il existe un processus sta- tionnaire centr´e (Xn). b) Donner les expressionsσ(0),ρ(1) etρ(2) en fonction de deux param`etres aetσ2, et en d´eduire une expression simple de a en fonction des auto- corr´elations ... c) Pr´eciser les valeurs, en fonction dea, des coefficientsr(h), (h= 1,2,...). 7

3 Exercices pour les travaux pratiques

Exercice 1.Simuler une s´erie temporelle form´ee de variables normales i.i.d. de param`etres : a)μ= 0 etσ2= 1, b)μ= 0 etσ2= 4; c) Regardez l"auto-corr´elation et la covariance des simulations obtenues ; interpr´etez. Indication : help(plot), help(rnorm), help(acf), windows() or x11() et aussi par(mfrow=c(2,1)) Exercice 2.Fabriquer des donn´ees simul´ees : a) Dessinez la droitem1=at+bet la sinuso¨ıdes50= 250sin(2πt

T) avec

a= 0.5,b= 1.0 etT= 50. On prendrat?[0,999]. b) Rajoutez un bruitN(0,10) `a la droite et `a la sinuso¨ıde, respectivement ; regardez les fonction d"auto-corr´elation respectives enfaisant varier l"´ecart type du bruit ; interpr´etez. c) Rajoutez la droite, la sinuso¨ıde, puis le bruit ; regardez les fonctions d"auto-corr´elation respectives ; interpr´etez.quotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

[PDF] [PDF] Séries chronologiques : recueil dexercices