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MECA 1901

Mecanique des milieux continus

Recueil d'exercices

Septembre 2007

Ce recueil d'exercices resolus est une uvre originale protegee par le droit d'auteur. Il a ete compose par Brieux Delsaute avec les contributions de Francois Dupret, Fabrice Loix,

Francois Bioul et Nicolas Van Goethem.

Malgre le soin apporte a sa redaction, il est possible que vous y deceliez l'une ou l'autre erreur. N'hesitez pas a nous en faire part directement parcourrier electronique a l'adresse suivante : delsaute@mema.ucl.ac.be. Les commentaires, critiques et suggestions sont egalement les bienvenus.

Calcul tensoriel

Mecanique des milieux continusCalcul tensoriel - Exercices

Exercice 1

Donner la dimension physique et les unites dans le SystemeInternational des grandeurs suivantes. Indiquer egalement l'unite derivee le cas echeant.

1. Distanced

2. Intervalle de temps t

3. Massem

4. Temperature

5. Intensite de couranti

6. SupercieS

7. Vitessev

8. ForceF

9. Quantite de mouvementP10. Moment de quantite de mouvementN

11. PuissanceP

12. EnergieE

13. Masse volumiqueρ

14. Pressionp

15. Contrainte

16. Charge electriqueq

17. Debit-volumeQ

18. Densite de

ux de chaleurq

Exercice 2

Verier la coherence dimensionnelle des equations suivantes.

1.E=mc2

2.p=ρg(h) (pression hydrostatique sous une colonne de

uide de hauteur h) Determiner la dimension physique des constantes physiques intervenant dans les relations sui- vantes.

3.F12=GM1M2

r212(Loi d'attraction gravitationnelle)

4.E=h(Energie d'un photon)

Exercice 3

Indiquer si les expressions suivantes sont correctes.

1.ai+αbi=ci

2.α+bici

3.Tij+aibj

4.Tii+ai

5.Tii+α

6.Tji+αaiaj

7.Tijk+aibjck

8.Tjki+aibjck

9.Tjji+αai

10.Tjjj+α

Exercice 4

Ecrire sous forme matricielle les expressions suivantes.

1.αui

2.uivi

3.aijnj

2 Mecanique des milieux continusCalcul tensoriel - Exercices

4.jinj

5.aijbjk

6.aikbjlclk

7.aikajlTkl

Exercice 5

Calculer les expressions suivantes.

1.ii

2.ijij

3.ijikjk

4.ijjk

5.ijAlik

6.aikajlkl, (aijsont les elements d'une matrice orthogonale quelconque)

7.ijkijk

8.ijkijl

Exercice 6

Verier queijmklm=imjkml=mijmkl=ikjliljk

Exercice 7

Exprimer chacune des operations suivantes en terme d'operations sur les composantes (αetant un scalaire;uetvdes vecteurs). 1.v

2.αv

3.u+v4.uv

5.uv

Exercice 8

Verier les identites suivantes (u,v,a,betcetant des des vecteurs).

1.uv=vu

2.uu=0

3.a(bc) =b(ac)c(ab)

4.a(bc) =b(ca) =c(ab)

Exercice 9

Developper les expressions suivantes (αetant un scalaire;u,vetndes vecteurs;SetTdes tenseurs d'ordre 2) :

1.αv

2.uv 3.vu 4.Tn 5.T:S 3 Mecanique des milieux continusCalcul tensoriel - Exercices

Exercice 10

Etablir la relation biunivoque entre les coordonnees cartesiennes et les coordonnees cylindriques associees.

Exercice 11

Etablir la relation biunivoque entre les coordonnees cartesiennes et les coordonnees spheriques associees.

Exercice 12

1. Montrer que la symetrie est une propriete tensorielle, c'est-a-dire que siSij=Sjipour tout

iet toutjdans un repere orthonorme, cette propriete reste vraiedans n'importe quel repere orthonorme xe par rapport au premier.

2. Montrer que l'antisymetrie est une propriete tensorielle.

Exercice 13

1. Montrer qu'un tenseurTijquelconque se decompose de maniere unique en une partie syme-

trique et une partie antisymetrique.

2. SoitSijun tenseur d'ordre deux symetrique,Aijun tenseur d'ordre deux antisymetrique.

Prouver queAijSij= 0.

3. SoitSijun tenseur d'ordre deux symetrique etTij, un tenseur quelconque. Montrer que

T ijSij=TsijSijouTsijrepresente la partie symetrique deTij.

Exercice 14

1. Montrer que la traceTiid'un tenseur quelconqueTijest un scalaire.

2. On denit la partie spherique du tenseurTijcomme etantTsph

ij=1

3Tmmijet sa partie

deviatoire comme etantTdij=TijTsph ij. Montrer que la trace de la partie deviatoireTdijest nulle.

Exercice 15

Montrer que si _ωij=1

2? @v i@xj@vj@xi? et_ i=12ijk@vk@xjalors on a_ i=12ijk_ωkjet _ωij=ijk_ k.

Exercice 16

1. Montrer que

?a 1a2a3 b 1b2b3 c

1c2c3??????

=ijkaibjck=a(bc)

Ceci denit le produit mixte des vecteursa,betc.

2. Montrer que

det(Tij) =1

6ijklmnTilTjmTkn

4 Mecanique des milieux continusCalcul tensoriel - Exercices

Exercice 17

SoientTun tenseur,aetbdes vecteurs,αetdes scalaires invariants. Evaluer les expressions suivantes dans un repere cartesien (O,ei) :

1.?α

2.?a 3.?a 4.?a 5.?T 6.a?a

7. α=?(?α)

8. a=?(?a)

Exercice 18

SoientTun tenseur,aetbdes vecteurs,αetdes scalaires. Verier les identites suivantes :

1.?(α) = (?α)+α(?)

2.?(αa) = (?α)a+α(?a)

3.?(αa) = (?α)a+α(?a)

4.?(ab) =b(?a)a(?b)

5.?(?a) =?(?a)?(?a)

6.?(aa) = 2a(?a) + 2a(?a)

7.?(ab) =a(?b)b(?a) +b(?a)a(?b)

Exercice 19

1. Prouver que siaest un champ vectoriel, on a toujours?(?a) = 0.

2. Prouver que siαest un champ scalaire, on a toujours?(?α) =0.

Exercice 20

Determiner l'expression de l'operateur nabla en coordonnees-composantes cylindriques.

Exercice 21

Developper les expressions suivantes en coordonnees-composantes cylindriques (αscalaire,vvec- teur).

1.?α

2.?v 5 Mecanique des milieux continusCalcul tensoriel - Exercices

Exercice 22

On donne dans l'espace Euclidien a 3 dimensions un repere cartesien orthonorme (O,ei). On considere egalement deux autres reperes cartesiens orthonormes : le premier (O?,e?i) est obtenu par une rotation des vecteurs de baseeid'un angle deπ/4 autour dee3, le second (O??,e??i) est obtenu par cette m^eme rotation des vecteurs de base suivie d'une translationb=e1+e2de l'origineO.

1. Changement de coordonnees.

Ecrire les formules de changement de coordonnees lorsque l'on passe du repere (O,ei) aux reperes (O?,e?i) et (O??,e??i). Ecrire les formules de changement de coordonnees lorsque l'on passe des reperes (O?,e?i) et (O??,e??i) au repere (O,ei).

2. (a) Quelles sont, dans les reperes (O?,e?i) et (O??,e??i), les equations du plan dont l'equation

dans le repere (O,ei) estx1+x2= 1. (b) M^eme question pour le champ scalairedayant pour representationd(e)(xi) =x1+x21 dans le repere (O,ei).

3. Transformation de composantes

Ecrire sous forme matricielle la formule de transformationde composantes lorsque l'on passe du repere (O,ei) au repere (O?,e?i). Verier que la matrice calculee possede bien les pro- prietes de matrices de changement de bases orthonormees. Que vaut la matrice de transfor- mation de composantes lorsque l'on passe du repere (O,ei) au repere (O??,e??i)?

4. Quelles sont, dans les reperes (O?,e?i) et (O??,e??i), les composantes du vecteur qui, dans le

repere (O,ei), est (v1,v2,v3) = (x2,x1,0)?

Exercice 23

On considere dans l'espace Euclidien a trois dimensions le champ scalaire de temperatureT(P,t) (Pdesignant un point quelconque de l'espace ettdesignant le temps). On travaille avec les deux reperes (O,ei) et (O?,e?i) denis a l'exercice precedent. Dans le repere (O,ei) le champTa pour representation T (e)(xi,t) =α(x1+x2)2α

9(x1+x2)2

ouαest une constante ayant les unites appropriees. L'expression du champTdans ce repere ne dependant pas du temps, ce champ y est dit "stationnaire".

1. Quelle est la representationT?(e)(x?i,t) du scalaireT(P,t) dans le repere (O?,e?i)? Le champ

Ty est-il stationnaire?

2. Calculer les composantes du gradient deT(P,t), d'une part dans le repere (O,ei) et, d'autre

part, dans le repere (O?,e?i). Montrer que les triplets obtenus dans (O,ei) et dans (O?,e?i) representent un m^eme vecteur.

3. Dans le cas d'un materiau non isotrope, la loi de Fourier reliant le

ux de chaleurqau gradient de temperature?Test q=K?T ouKest le tenseur de conductivite thermique suppose homogene et stationnaire.

Calculer les composantes de la densite de

ux de chaleur dans le repere (O,ei) et dans le repere (O?,e?i) pour [Kij] =K?? 54 0
4 5 0

0 0 1??

LesKijsont les composantes deKdans le repere (O,ei) etKest une constante ayant les unites appropriees. 6 Mecanique des milieux continusCalcul tensoriel - Exercices Que valent les composantes deK, dans les deux reperes, pour un materiau presentant une conductivite thermique isotropek?

4. Donner les invariants du tenseur symetriqueK.

Exercice 24

On donne dans l'espace Euclidien a 3 dimensions un repere cartesien orthonorme(O,ei). On considere d'une part le champ (scalaire) de temperatureT(P), ouPdesigne un point quelconque de l'espace. Ce champ est stationnaire dans le repere donne et sa representation y est donnee par : T (e)(xi) =α(x21+x22)x3 les constantesαetayant les dimensions appropriees. D'autre part, on considere le champ (vec- toriel) de vitessev(P) dont la representation dans le repere (O,ei) est : v (e)

1(xi) =Ax1

x21+x22B x2 v (e)

2(xi) =Ax2

x21+x22+B x1 v (e)

3(xi) =C x3

les constantesA,BetCayant les dimensions physiques appropriees.

1. Changement de coordonnees.

Ecrire la formule de changement de coordonnees lorsque l'on passe du systeme de coordonnees cartesien au systeme de coordonnees cylindrique. Ecrire la formule de changement de coordonnees lorsque l'on passe du systeme de coordonnees cylindrique au systeme de coordonnees cartesien.

2. Donner la representationT?(e)(r,,z) du scalaireT(P) dans le systeme de coordonnees cy-

lindrique.

3. Transformation de composantes

Ecrire sous forme matricielle la formule de transformationde composantes lorsque l'on passe de la base cartesienne (ei) a la base locale cylindrique (er,e`,ez). Verier que la matrice calculee possede bien les proprietes de matrices de changement de bases orthonormees.

4. Determiner les composantes (vr,v`,vz) du champ vectorielv(P) dans la base cylindrique.

Exercice 25

Calculer

1. la surface et le volume d'un cylindre circulaire droit, derayonRet de hauteurL.

2. la surface et le volume d'une sphere de rayonR.

Exercice 26

Integrer

1. le champτ=rersur le disque de rayonR.

2. le champτ=re`sur le disque de rayonR.

3. le champτ= cosersur la sphere de rayonR.

7 Mecanique des milieux continusCalcul tensoriel - Exercices

Solution exercice 1

On donne successivement la dimension, les unites et l'unite derivee eventuelle.

1. L, m

2. t, s

3. M, kg

4. T, K

5. I, A

6. L 2, m2 7. Lt -1, ms-1

8. MLt

-2, kgms-2, N

9. MLt

-1, kgms-110. ML

2t-1, kg m2s-1

11. ML

2t-3, kg m2s-3, W

12. ML

2t-2, kg m2s-2, J

13. ML

-3, kg m-3

14. ML

-1t-2, kg m-1s-2, Pa

15. ML