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lettre désignant un tenseur d'ordre n 1 1 2 Produit tensoriel Etant donnés deux tenseurs T et T / d

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fait une sommation implicite (convention de l'indice muet) c) aijklmnVjXkYlZm = bin, le tenseur c est un tenseur d'ordre 2 d) PliPmjPnkTlmn = Qijk, le tenseur Q

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29 mar 2020 · Ce petit recueil d'exercices n'a pas d'autre but que d'aider l'étudiant dans Tenseur des déformations de Green Lagrange ' ' 1 xd xd XdXd о

Références sciences

Mécanique

des milieux continus

Cours et exercices corrigés

Luc Dormieux

Éric Lemarchand

Djimédo Kondo9782340-019782_001_448.indd 19782340-019782_001_448.indd 104/08/2017 11:2904/08/2017 11:29Retrouver ce titre sur Numilog.com

ISBN 9782340-019782

© Ellipses Édition Marketing S.A., 2017

32, rue Bargue 75740 Paris cedex 15

Collection Références sciences

dirigée par Paul de Laboulaye paul.delaboulaye@editions-ellipses.fr Retrouvez tous les livres de la collection et des extraits sur www.editions-ellipses.fr

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Avant-propos

Cet ouvrage propose une présentation de la mécanique des milieux continus

destinée aux élèves des écoles dingénieurs et des formations universitaires (L3 et

M1). Chaque chapitre comporte un exposé synthétique des concepts qui est ensuite illustré et complété sous forme dexercices corrigés. Pour la plupart dentre eux, ils sont issus des contrôles de connaissances posés dans le cadre de lenseignement de la mécanique en première année à lEcole Nationale des Ponts et Chaussées. Il importe daborder les objets de la modélisation mécanique dans leur nature tridimensionnelle et ce propos requiert un bagage mathématique approprié. Cest le sens de lintroduction au calcul tensoriel et aux opérateurs di?érentiels qui occupe les premières pages de cet ouvrage. Les outils mathématiques en question sont mis en uvre aussitôt dans létude géométrique de la transformation, qui est déclinée selon les deux points de vue lagrangien et eulérien. Sans arrière-pensée solide ou "uide, on se?orce au contraire den montrer la généralité et de souligner leur connexion. Le formalisme tensoriel simpose dans la description géométrique de la trans- formation pour des raisons purement mathématiques, liées au calcul di?érentiel. En revanche, cest dans les lois de Newton que la nature tensorielle des e?orts intérieurs trouve son origine. Elle se décline, elle aussi, en modes lagrangien et eulérien, selon que le changement de conguration du système doit être pris en compte explicitement ou non. En conformité avec la chronologie de lhistoire de la mécanique, une brève initiation au calcul à la rupture précède dans cet ouvrage les chapitres consacrés à la théorie de lélasticité. Il importe en e?et de savoir si un chargement est supportable avant den prévoir les e?ets en termes de transformation géométrique. La thermodynamique constitue la deuxième composante indispensable du socle de physique sur lequel la mécanique des milieux continus est élaborée. Dans cet ouvrage, elle entre en scène à loccasion de la formulation de la loi de compor- tement thermoélastique. Pour lessentiel, les applications proposées sinscrivent

dans le contexte de lélasticité linéaire, mais le lecteur trouvera également locca-

sion de sinitier à la question de lélasticité en transformation nie. Bien quelles ne puissent être appliquées quà un nombre limité de situations, les méthodes de résolution directe permettent de constituer une bibliothèque de

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4Avant-propos

solutions de référence à partir desquelles se développe lintuition du mécanicien. Les techniques basées sur des potentiels en déplacement ou en contrainte méritent quon leur fasse une place car elles élargissent signicativement le panorama des problèmes qui peuvent être résolus analytiquement. Cest dans le même esprit que le formalisme des fonctions de la variable complexe pour lélasticité plane a été exposé. Les méthodes variationnelles permettent de sortir des situations académiques en fournissant des estimations de la solution. On pense naturellement à la mé- thode des éléments nis à laquelle plusieurs exercices sont consacrés. Cependant, dautres sujets orent la possibilité de valoriser la faculté dobtenir des estima- tions analytiques au moyen du calcul des variations et celle dencadrer lénergie de la solution. La partie consacrée à la mécanique de "uides se développe à partir des concepts de cinématique eulérienne et de la représentation des eorts intérieurs mis en place au début de louvrage. Lattention est dirigée principalement vers létude des écoulements potentiels. Celle-ci est complétée par une brève introduction à la notion de couche limite en raison de linterconnexion de ces deux modélisations. Le livre sachève par un chapitre consacré aux milieux curvilignes élastiques. Il aurait certes eu sa place à la suite de létude du solide élastique tridimensionnel tant les liens entre les théories sont étroits. Le lecteur devinera peut-être dans loption qui a été retenue la volonté des auteurs de ne pas séparer le monde de la mécanique des milieux continus selon une ligne de partage entre solides et "uides...

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Table des matières

1 Eléments de calcul tensoriel13

1.1 Dénitionsgénérales .......................... 13

1.1.1 Tenseursdordre1 ....................... 13

1.1.2 Produittensoriel ........................ 14

1.1.3 Contraction dun tenseur selon un couple dindices . . . . . 14

1.2 Tenseursdordre2 ........................... 14

1.2.1 Matriceduntenseurdordre2 ................ 14

1.2.2 Endomorphisme associé à un tenseur dordre 2 . . . . . . . 15

1.2.3 Contractions dun tenseur dordre 2 et dun vecteur . . . . . 16

1.2.4 Contractions de deux tenseurs dordre 2 . . . . . . . . . . . 17

1.2.5 Double contraction de deux tenseurs dordre 2 . . . . . . . . 17

1.2.6 Dérivée dune fonction par rapport à un tenseur . . . . . . . 18

1.3 Contractions dun tenseur dordre 4 et dun tenseur dordre 2 . . . 18

1.4 Calculdiφérentielsurlestenseurs................... 19

1.4.1 Gradientdunchampdetenseurs............... 19

1.4.2 Divergencedunchampdetenseurs.............. 20

1.4.3 Théorèmedeladivergence................... 21

1.5 Formulaire de calcul diφérentiel sur les tenseurs . . . . . . . . . . . 21

1.5.1 Coordonnéescartésiennesorthonormées ........... 21

1.5.2 Coordonnéescylindriques ................... 23

1.5.3 Coordonnéessphériques .................... 24

1.6 Exercices ................................ 25

1.6.1 Caractère intrinsèque de la contraction dun tenseur sur un couple dindices .......................... 25 1.6.2 Etude algébrique de la double contraction............ 26 1.6.3

Le produit tensoriel?...................... 27

1.6.4 Lalgèbre des tenseurs isotropes dordre 4............ 30 1.6.5 Identités tensorielles remarquables................ 32 1.6.6 Etude du tenseur dinertie.................... 33 1.6.7 Théorème de Gauss (électrostatique, gravitationnel)....... 35 1.6.8 Calcul diΦérentiel sur les tenseurs................ 37

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6Table des matières

1.6.9Tenseur de Green du matériau isotrope............. 40

1.6.10

Rotationnel dun champ de vecteurs............... 42

2 Etude de la transformation géométrique dun milieu continu 45

2.1 Transformationgéométrique...................... 45

2.2 Tenseursdedéformation........................ 47

2.2.1 Transport des vecteurs matériels . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.2 Déformation de Green-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2.3 Composantes du tenseur de déformation de Green-Lagrange 49

2.2.4 Transformation innitésimale et tenseur de déformation

linéarisé............................. 51

2.2.5 Choix de la conguration de référence . . . . . . . . . . . . 52

2.2.6 Condition de compatibilité géométrique . . . . . . . . . . . 53

2.2.7 Forme générale des solutions en déplacement . . . . . . . . 55

2.3 Descriptiondumouvementparlesvitesses.............. 57

2.3.1 Vitesse lagrangienne et vitesse eulérienne . . . . . . . . . . 57

2.3.2 Tauxdedéformationvolumique................ 57

2.3.3 Tenseurtauxdedéformation ................. 58

2.3.4 Dérivéesparticulairesdunchamp............... 59

2.3.5 Dérivées particulaires dune intégrale de volume . . . . . . . 61

2.4 Exercices ................................ 63

2.4.1 Etude dune rotation innitésimale................ 63 2.4.2 Direction invariante dans une transformation homogène..... 65 2.4.3 Expression dune translation en coordonnées cylindriques.... 67 2.4.4 Etude dune transformation géométrique............. 67 2.4.5 Dérivée temporelle de lénergie cinétique............. 69 2.4.6 Extensions simples géométriquement compatibles......... 70 2.4.7 Compatibilité géométrique dun champ de déformation constant par blocs ............................. 71 2.4.8 Compatibilité géométrique en déformations planes........ 76 2.4.9 Compatibilité géométrique dun champ anisotrope........ 77

2.4.10

Conditions aux limites uniformes de Hashin : formulation en déformation ........................... 79

2.4.11

Déformations planes polynomiales................ 82

2.4.12

Compatibilité géométrique : A propos des solutions multivaluées83

2.4.13

Champ de déplacement discontinuC

1 par morceaux : approche par la théorie des distributions ................. 85

2.4.14

Description eulérienne des mouvements de corps rigides..... 88

2.4.15

Taux de déformation lagrangien et eulérien........... 89

2.4.16

Formulations eulérienne et lagrangienne de la liaison dincompressibilité ........................ 89

2.4.17

Transport convectif dun élément daire............. 90

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Table des matières7

3 Contraintes dans un milieu continu tridimensionnel93

3.1 Modélisationdeseortsextérieurs .................. 94

3.2 Lemmedutétraèdre .......................... 95

3.3 TenseurdescontraintesdeCauchy .................. 97

3.3.1 Dénition et interprétation physique . . . . . . . . . . . . . 97

3.3.2 Equation de la dynamique - Equation déquilibre . . . . . . 98

3.3.3 Symétriedutenseurdescontraintes ............. 99

3.3.4 CerclesdeMohr ........................100

3.3.5 Discontinuitésduchampdecontraintes ...........102

3.4 Dualisation de léquation de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . 103

3.4.1 Théorèmedespuissancesvirtuelles..............103

3.4.2 Théorèmedestravauxvirtuels.................104

3.4.3 Puissance et travail des eorts extérieurs dans le

mouvement réel en condition quasistatique . . . . . . . . . . 104

3.5 Exercices ................................105

3.5.1

Cercles de Mohr.........................105

3.5.2 Représentation lagrangienne des contraintes : tenseur de

Piola-Kirchhoφ

..........................108 3.5.3quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

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