Quelle est la VaR du portefeuille a 99 Pour quelle valeur S∗ du prix de l' action cette VaR est elle atteinte ? Corrigé: Réponse P(∆S ≤ V aR)=1 − α (1)
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Quelle est la VaR du portefeuille a 99 Pour quelle valeur S∗ du prix de l' action cette VaR est elle atteinte ? Corrigé: Réponse P(∆S ≤ V aR)=1 − α (1)
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D. Herlemont Mesure de Risque de Marche
TD 2 - la VaR Normale
1.On considere un portefeuille entierement investi dans une seule action dont le prix initial
est de 100 C. L'evolution du prix de l'action est donne parS= 100exp(r), avec le taux de rendementrnormalement distribue de moyenne 0:1 et ecart type de 0:2. Quelle est la VaR du portefeuille a 99%. Pour quelle valeurSdu prix de l'action cette VaR est elle atteinte ?Corrige: Reponse
P(SV aR) = 1(1)
P(S0erS0V aR) = 1(2)
On fait appara^tre une loi normale centree reduite P r log(V aR=S0+ 1) = 1(3) D'ouV aR=S0ez130:65 (4)
Par denition,SS=V aR, d'ou
S =S0ez= 69:35 (5)2.On considere un portefeuille compose de deux actifs A et B dont les rendements journaliers
sont en moyenne deA= 50bp etA= 30 bp, les volatilite journalieres sont egales aA= 2% etB= 3%. La correlation entre les actifs A et B est de= 0:5. Le portefeuille est compose de A= 2 titres A en position longue etB=1 titre B en position courte. Les prix des actifs sont respectivement deSA= 244 euros etSB= 135 euros.Quelle est la VaR journaliere a 99%
a)17. 758
b)19,793
c)18, 42
d) 30,23Justier la reponse (Ecrire la formule generale de la VaR du portefeuille en fonction positions, prix, esperances, volatilites et correlation)
Corrige: Solution:reponse A
Rappel de cours: soit W la valeur du portefeuille, d'apres la denition de la VaR:Prob(WV aR) =
Daniel Herlemont1
West normalement distribue de moyenneDeltaWet ecart typeW. Il sut de centrer et reduire pour exprimer la VaR en fonction du quantilezd'une loi normale centree reduite.V aR=DeltaWzW
avecz= 2:33 pour= 0:99La valeur du portefeuille est
W=ASA+BSB
Sa variation est
W=ASA+BSB
ou encore, en faisant appara^tre le rendement (S=S):W=ASASA=SA+BSBSB=SB
On en deduit
W=ASAA+BSBB
et2W=2AS2A2A+2BS2B2B+ 2ASAABSBB
Soit, en remplacant par les donnees numeriques
W= 224450=10000 + (1)13530=10000 = 2:035
W=p2224420:022+ (1)213520:032+ 20:522440:02(1)1350:03 = 8:493
et la VaRV aR= 2:0352:338:493 = 17:8
3.Un trader intervient sur les marches future d'indice du CAC40. La volatilite du CAC40 est de
1:5% par jour calendaire. On suppose que les rendements du CAC40 sont normalement distribues
et de moyenne nulle, une annee compte 365 jours calendaires et 252 jours de trading Le contrat future est a 3000 points et la valeur du point est de 10 euros. Sa contrainte est de 1 Million d'euros, exprimee en terme de Value at Risk a 99% sur 10 jours de trading. Calculer la limite en terme de nombre contrats que le trader ne devra pas depasser. Corrige:Soitxle nombre de contrats a ne pas depasser. La valeur en euros du portefeuille ou le notionnel de la position estV=x300010 euros. La volatilite annuelle est de 0:015p365la volatilite sur un jour de trading est 0:015p365=252 et sur 10 jours de trading= 0:015p10365=252. La VaR a 99% a 10 jours est 2:33V elle doit ^etre egale a 1MEuros. D'ou le
nombre de contrats maximum: x=1062:33300000:015p10365=252251;(6)302 si on applique pas la correction en
p365=252.Daniel Herlemont2
4.En reprenant les donnees de l'exercice precedent, on suppose que le trader intervientegalement
sur l'indice du DAX. La volatilite du DAX est identique a celle du CAC et sa correlation avec le CAC est de 0.9. Le DAX est a 5000 points et un point de contrat DAX vaut 25 euros. La contrainte est toujours de 1 Million d'euros, exprimee en terme de Value at Risk a 99% sur10 jours de trading.
Exprimer la relation que devront satisfaire les positions dans le CAC et DAX en terme de nombre de contrats, an de respecter la limite de la VaR. Corrige:SoitNcle nombre de contrats du CAC40 etNdle nombre de contrats dans le DAX.LA valeurVdu portefeuille est
V= 10NcPc+ 25NdPd
Si on ne change pas la composition du portefeuille, la variation sur 10 jours est dV= 10NcPcPc+ 25NdPdPd=Pd La value at risk estzdV, celle ci doit etre de 1ME avec dV=q(103000Nc)22c+ (255000Nd)22d+ (103000Nc)c255000Ndd 1012= 2:332(0:015)210365=252(103000Nc)2+ (255000Nd)2+ 0:9103000Nc255000Nd
soit15:92N2c+ 276N2d+ 59:71NcNd106
ce qui determine une ellipse. Dans le cas ou on choisit de ne pas investir dans le DAX (Nd= 0), on retrouve bien 251 (106=p15:92) contrats pour le CAC.
5.Les dierentes VaR a 99% sur 10 jours du "Trading Book" d'un banque ont ete mesurees
comme suit: la VaR des produits "Taux"est de 200 Millions, celle sur les actions de 15 Millions, etcelle sur les devises de 50 Millions. En supposant qu'il n'y a pas de correlation entre ces dierentes
classes d'actifs, determiner le capital minimum tel que denit par BALE II correspondant au risque de marche: a)