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Exprimer en fonction de n et de k la probabilité de l'évènement A , contraire de A En déduire la probabilité de A l'indépendance, sinon on aurait quelque chose plus compliqué) 8 etc , soit sous forme de probabilité conditionnelle : 1 2 3

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c) Cette exercice se résout par une énumération des différents cas Supposons d' abord i = 11 ou i = 12 Sachant que la somme des deux dés prend une telle

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PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

Ph DEPRESLE

1 erjuillet 2015

Table des matières

1 Rappel : Probabilité d"un événement2

1.1 Ensemble des issues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Événement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Probabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Probabilité conditionnelle3

3 Formule des probabilités totales4

4 Indépendance5

4.1 Indépendance de deux événements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.2 Indépendance et événements contraires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5 Exercices7

6 Exercices corrigés9

1 Chapitre : Probabilités conditionnellesTerminale S

1 Rappel : Probabilité d"un événement

1.1 Ensemble des issues

On envisage une expérience aléatoire comportant un nombre fini d"issues. On désigne parΩl"ensemble de ces issues :Ω={ω1;ω2;...;ωn}. On appelle cardinal deΩle nombre des éléments deΩ. On le notecard(Ω).

1.2 Événement

Un événementAest une partie de l"ensembleΩdes issues :A?Ω. L"événement complémentaire deA, ou événement contraire deA, noté

Acontient tous les

éléments deΩqui ne sont pas éléments deA. Un événement élémentaire ne contient qu"une issue : par exempleB={ω2}.

SiAetBsont deux événements :

- l"événementA?Best réalisé si l"un au moins des événementsAouBest réalisé. - l"événementA∩Best réalisé siAetBsont réalisés tous les deux. -AetBsont dits incompatibles siA∩B=∅.

1.3 Probabilité

À chacune de ces issuesωi, on associe un nombre notéP(ωi)avec :

0?P(ωi)?1etn?

i=1P(ωi) = 1

À chaque événementA={ωi1,....,ωip}lié à l"expérience est associé alors le nombreP(A)défini

par :P(A) =P(ωi1) +...+P(ωip)

Propriétés 1.

0?P(A)?1etP(Ω) = 1

P(A) +P(

A) = 1

P(A?B) =P(A) +P(B)-P(A∩B).

SiAetBsont incompatibles, alorsP(A?B) =P(A) +P(B).

Si tous les événements élémentaires{ωi}ont la même probabilité, on dit qu"il y a équiprobabi-

lité. On a alors

P(A) =Nombre des issues favorables à A

Nombre des issues possibles=card(A)card(Ω)

Ph DepreslePage 2 sur

11 Chapitre : Probabilités conditionnellesTerminale S

2 Probabilité conditionnelle

Définition 1.

SoitAetBdeux événements d"un universΩmuni d"une loi de probabilité. SiP(B)?= 0, on appelle probabilité deAsachantBnotéePB(A), le quotientP(A∩B) P(B). P

B(A) =P(A∩B)

P(B)

Remarques :

Dans le cas de l"équiprobabilité on a :PB(A) =card(A∩B) cardB

SiP(A)?= 0etP(B)?= 0on a alors :

P(A∩B) =P(B)×PB(A) =P(A)×PA(B)

PB(

A) = 1-PB(A)carPB(A) +PB(A) =P(A∩B) +P(A∩B)

P(B)=P(B)P(B)= 1

Sur un arbre de probabilités,

on peut envisager deux niveaux de branches : un qui indique la proba- bilité de l"événementB, puis un se- cond qui permet de figurer la proba- bilité conditionnellePB(A). BB AA P(B)P

B(A)P(A∩B)

Sur un autre arbre, on pourrait commencer parApuisPA(B). Exemple :On lance 2 dés normaux et on considère les événements suivants : - A : " La somme des deux dés est égale à 10" - B : "Le premier dé marque 4"

Calculer la probabilité de B sachant A.

L"universΩest l"ensemble de tous les résultats possibles. IcicardΩ = 36, il y a équiprobabilité surΩ.

A∩B={(4;6)}etA={(4;6)(5;5)(6;4)}

On a :P(A∩B) =1

36etP(A) =336doncPA(B) =1

36
3 36=
1 3 Remarque : On peut considérer aussi l"expérience sur l"universA, équiprobable, alorsPA(B) =Nombre des issues favorables

Nombre des issues possibles=13

Ph DepreslePage 3 sur

11 Chapitre : Probabilités conditionnellesTerminale S

3 Formule des probabilités totales

Définition 2.On dit quenpartiesA1,A2,...,AndeΩforment une partition deΩsi elles sont

2 à 2 disjointes et ont pour réunionΩ.

A1A2An-1AnΩ

Propriétés 2.

SoitA1,A2,...,Anune partition deΩ, telle que pour touti? {1,...,n}, P(Ai)?= 0.

Alors, pour tout événementB,

P(B) =P(A1).PA1(B) +···+P(An).PAn(B) =n?

i=1P(Ai).PAi(B)

Cas particulier :(A,

A)est une partition deΩ,A?= Ω,A?=∅.

Pour un événementB, on a :

B= (B∩A)??B∩

A?(réunion disjointe )

donc :

P(B) =P(B∩A) +P(B∩

P(B) =P(A).PA(B) +P(

A).PA(B)

Ce qui se visualise sur un arbre.

AA BB BB P(A) P(A)P A(B) P A(B) ΩA A B

A∩B

Visualisation sur un arbre dans le cas d"une partition à 3 partiesA,B,C: P(A) P(B) P(C) CBA DD DD DD PA(D) P B(D) P C(D)

P(A∩D) =P(A).PA(D)

P(B∩D) =P(B).PB(D)

P(C∩D) =P(C).PC(D)

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Chapitre : Probabilités conditionnellesTerminale S

P(D) =P(A∩D) +P(B∩D) +P(C∩D)

P(D) =P(A).PA(D) +P(B).PB(D) +P(C).PC(D)

4 Indépendance

4.1 Indépendance de deux événements

Définition 3.On dit que les deux événementsAetBsont indépendants pour la probabilitéP lorsqueP(A∩B) =P(A)×P(B).

Propriétés 3.Les deux événementsAetBde probabilités non nulles sont indépendants pour

la probabilitéPsi et seulement si ,P(A) =PB(A)ouP(B) =PA(B)

Démonstration :

Si le événementsAetBsont indépendants, alors : P

A(B) =P(A∩B)

P(A)=P(A)×P(B)P(A)carAetBsont indépendants.

DoncPA(B) =P(B)

Réciproquement siPA(B) =P(B), alorsP(A∩B) =P(A)×PA(B) =P(A)P(B). Donc les événementsAetBsont indépendants. Exemple :On considère une famille ayantnenfants. On suppose que chaque fois qu"un enfant naît, la probabilité que ce soit une fille est 1 2. SoitAl"événement "il y a au plus une fille". SoitBl"événement "il y a des enfants des deux sexes".

1. Les événementsAetBsont-ils indépendants pourn= 2?

2. Les événementsAetBsont-ils indépendants pourn= 3?

1. Pourn= 2on a :

GF G F GF

L"universΩ ={FF,FG,GF,GG}. Il

y a équiprobabilité.

P(A) =3

4c"est l"événement contraire de "il y a deux filles".

P(B) =2

4=12.il y a parmi les 4 cas possibles, 2 cas favorables.B={FG,GF}

P(A∩B) =1

2carA∩B={FG,GF}

P(A).P(B) =3

4×12=38doncP(A∩B)?=P(A).P(B)

donc les événementsAetBne sont pas indépendants.

Ph DepreslePage 5 sur

11 Chapitre : Probabilités conditionnellesTerminale S

2. Pourn= 3on a :

FG G F G

FGFGFGFGF

Il y a 8 issues possibles

équiprobables.

P(A) =4

8=12Il y a 4 cas favorablesA={GGG,GGF,GFG,FGG}

P(B) = 1-2

8=34carB={FFF,GGG}

P(A∩B) =3

8carA∩B={GGF,GFG,FGG}

P(A).P(B) =1

2×34=38doncP(A∩B) =P(A).P(B)donc les événementsAetBsont indépendants.

4.2 Indépendance et événements contraires

Propriétés 4.Si deux événements A et B de probabilités non nulles sont indépendants pour la

probabilité P , alors il en est de même pour les événements

AetB,AetBainsi que

pour AetB.

P(A∩

B) =P(A)×P(B)

A∩B) =P(A)×P(B))

A∩B) =P(A)×P(B)

Démonstration :

?ROC

DémontronsP(A∩B) =P(A)×P(B)

On sait queP(A∩

B) =P(A)×PA(B)

CommePA(B) +PA(

B) = 1on aP(A∩B) =P(A)×(1-PA(B))

AetBétant indépendants,PA(B) =P(B)doncP(A∩

B) =P(A)×(1-P(B))

et doncP(A∩

B) =P(A)×P(B).

La démonstration des autres propriétés se font de la même manière.

Ph DepreslePage 6 sur11

Chapitre : Probabilités conditionnellesTerminale S

5 Exercices

Exercice 1

Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualité de ses

produits.

On admet que lors du premier appel téléphonique, la probabilité que le correspondant ne décroche

pas est 0,4 et que s"il décroche, la probabilité pour qu"il réponde au questionnaire est 0,3.

On pourra construire un arbre pondéré.

1. On note :

D1l"événement : " la personne décroche au premier appel »; R1l"événement " la personne répond au questionnaire lors du premier appel ». Calculer la probabilité de l"événementR1.

2. Lorsqu"une personne ne décroche pas au premier appel, on la contacte une seconde fois. La

probabilité pour que le correspondant ne décroche pas la seconde fois est 0,3 et la probabilité

pour qu"il réponde au questionnaire sachant qu"il décrocheest 0,2. Si une personne ne décroche pas lors du second appel, on ne tente plus de la contacter.

On note :

D2l"événement : " la personne décroche au second appel ». R2l"événement : " la personne répond au questionnaire lors du second appel ». Rl"événement : " la personne répond au questionnaire ». Montrer que la probabilité de l"événementRest 0,236.

3. Sachant qu"une personne a répondu au questionnaire, calculer la probabilité pour que la

réponse ait été donnée lors du premier appel. (on donnera la réponse arrondie au millième)

4. Un enquêteur a une liste de 10 personnes à contacter. Les sondages auprès des personnes

d"une même liste sont indépendants. Quelle est la probabilité pour que aucune des personnes ne réponde au questionnaire? (on donnera la réponse arrondie au millième)

Exercice 2

Une compagnie d"assurance automobile fait le bilan des frais d"intervention, parmi les dossiers d"accidents de circulation.

85% des dossiers entraînent des frais de réparation matérielle.

20% des dossiers entraînent des frais de dommages corporels.

12% des dossiers entraînant des frais de réparation matérielle entraînent aussi des frais de dom-

mages corporels.

Soit les événements suivants :

R: "le dossier traité entraîne des frais de réparation matérielle" ; D: "le dossier traité entraîne des frais de dommages corporels".

1. En utilisant les notationsRetD, exprimer les trois pourcentages de l"énoncé en termes de

probabilités.

2. Calculer la probabilité pour qu"un dossier :

(a) entraîne des frais de réparation matérielle et des fraisde dommages corporels; (b) entraîne seulement des frais de réparation matérielle; (c) n"entraîne ni des frais de réparation matérielle ni des frais de dommages corporels;

(d) entraîne des frais de réparation matérielle sachant qu"il entraîne des frais de dommages

corporels.

Ph DepreslePage 7 sur

11 Chapitre : Probabilités conditionnellesTerminale S

3. On constate que 60% des dossiers entraînant des frais de dommages corporels et la moitié

de ceux qui n"en entraînent pas sont dus à des excès de vitesse. On choisit un dossier. Quelle est la probabilité pour que ce dossier corresponde à un excès de vitesse?

4. On choisit 5 dossiers de manière indépendante. Quelle estla probabilité pour qu"au moins

un dossier corresponde à un excès de vitesse?

Exercice 3

On considère deux urnesU1etU2.

L"urneU1contient 17 boules blanches et 3 boules noires indiscernables au toucher. L"urneU2contient 1 boule blanche et 19 boules noires indiscernablesau toucher. On réalise des tirages en procédant de la manière suivante : Étape 1 : On tire au hasard une boule dansU1, on note sa couleur et on la remet dansU1.

Étapen(n?2) :

Si la boule tirée à l"étape(n-1)est blanche, on tire au hasard une boule dansU1, on note

sa couleur et on la remet dansU1.

Si la boule tirée à l"étape(n-1)est noire, on tire au hasard une boule dansU2, on note sa

couleur et on la remet dansU2.

On note A

nl"évènement " le tirage a lieu dans l"urneU1à l"étapen» etpnsa probabilité. On a doncp1= 1.

1. Calculerp2.

2. Montrer que pour toutnentier naturel non nul,pn+1= 0,8pn+ 0,05.

On pourra s"aider d"un arbre pondéré.

3. (a) Démontrer par récurrence que pour tout entiernentier naturel non nul,pn>0,25.

(b) Démontrer que la suite(pn)est décroissante. (c) En déduire que la suite(pn)est convergente vers un réel noté?. (d) Justifier que?vérifie l"équation :?= 0,8?+ 0,05. En déduire la valeur de?. (e) On pose pour tout entiern >0,un=pn-?. Montrer que cette suite est géométrique.

En déduire l"expression depn. en fonction den.

Ph DepreslePage 8 sur

11 Chapitre : Probabilités conditionnellesTerminale S

6 Exercices corrigés

Exercice 1

D10,6R

1 0,3 R10,7 D1 0,4D 2 0,7R 2 0,2 R20,8 D20,3

1.P(R1) =P(D1∩R1) =P(D1)PD1(R1) = 0,6×0,3 = 0,18.

2.P(R2) =P(

D1∩D2∩R2) =P(D1)P(D2∩R2) =P(D1)P(D2)PD2(R2) = 0,4×0,7×0,2 =

0,056.

DoncP(R) =P(R1?R2) =P(R1) +P(R2) = 0,18 + 0,056 = 0,236.

3.PR(R1) =P(R1∩R)

P(R)=0,180,236≈0,763.

4. La probabilité qu"une personne donnée ne réponde pas au questionnaire estp= 1-P(R)≈

0,764. Les sondages étant indépendants, la probabilité qu"aucune ne réponde au question-

naire estp10≈0.067.

Exercice 2

1. Le premier pourcentage nous donne la probabilité deR:P(R) = 0,85.

Le deuxième nous donne la probabilité deD:P(D) = 0,20.

Le troisième correspond à une probabilité conditionnelle.La probabilité que le dossier traité

entraîne des frais de dommages corporels, sachant qu"il entraîne des frais de réparation matérielle estPR(D) = 0,12.

2. (a) La probabilité cherchée est la probabilité de l"intersection :R∩D

Pour la calculer on utilise la définition d"une probabilité conditionnelle :PR(D) =

P(R∩D)

P(R). SoitP(R∩D) =P(R)PR(D) = 0,85×0,12 = 0,102.

(b) On calcule ici la probabilité de l"événementR-(R∩D). Les événementsR∩Det

R-(R∩D)étant incompatibles, la probabilité de leur réunion est la somme de leurs probabilités.

Ph DepreslePage 9 sur

11 Chapitre : Probabilités conditionnellesTerminale S Or cette réunion estR:P(R) =P(R∩D) +P(R-(R∩D)). DoncP(R-(R∩D)) =P(R)-P(R∩D) = 0,85-0,102 = 0,748.

réparation matérielle ou des frais de dommages corporels" :c"estR?D. P(R?D) =P(R) +P(D)-P(R∩D) = 0,85 + 0,20-0,102 = 0,948. La probabilité cherchée est :1-P(R?D) = 0,052. (d) La probabilité cherchée est la probabilité conditionnelle : P

D(R) =P(R∩D)

P(D)=0,1020,2= 0,51

3. Soit l"événementV: " Le dossier traité correspond à un excès de vitesse".

On traduit l"énoncé :PD(V) = 0,6etP

D(V) = 0,5,Détant l"événement contraire deD.

Les événementsDet

Dsont incompatibles et leur réunion est l"univers : on peut utiliser la formule des probabilités totales.

P(V) =P(D)PD(V) +P(

D)PD(V) = 0,2×0,6 + 0,8×0,5 = 0,52.

DD VV VV 0.8 0.2 0.5

0.50.40.6 4. Soit l"événement : "au moins un dossier choisi correspondà des excès de vitesse".

L"événement contraire est "aucun des dossiers choisis ne correspond à des excès de vitesse"

et sa probabilité est1-p(V) = 1-0,52 = 0,48

Les choix des dossiers étant indépendants (ceci signifiant que après avoir choisi un dossier

on le remet avec les autres) : P (A) = 0,485≈0,025. Doncp(A)≈1-0,025≈0,975.

Exercice 3

1. L"événementA2est réalisé si on tire une boule blanche au premier tirage. Comme le premier

tirage se fait dansU1p2=17 20.

2.(An,

An)est un système complet d"événements. On peut utiliser la formule des probabilités totales :

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PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

Ph DEPRESLE

Table des matières

1 Rappel : Probabilité d"un événement2

1.1 Ensemble des issues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Événement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Probabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Probabilité conditionnelle3

3 Formule des probabilités totales4

4 Indépendance5

4.1 Indépendance de deux événements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.2 Indépendance et événements contraires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5 Exercices7

6 Exercices corrigés9

1 Rappel : Probabilité d"un événement

1.1 Ensemble des issues

1.2 Événement

Acontient tous les

SiAetBsont deux événements :

1.3 Probabilité

0?P(ωi)?1etn?

Propriétés 1.

0?P(A)?1etP(Ω) = 1

P(A) +P(

A) = 1

P(A?B) =P(A) +P(B)-P(A∩B).

P(A) =Nombre des issues favorables à A

Nombre des issues possibles=card(A)card(Ω)

Ph DepreslePage 2 sur

2 Probabilité conditionnelle

Définition 1.

B(A) =P(A∩B)

Remarques :

SiP(A)?= 0etP(B)?= 0on a alors :

P(A∩B) =P(B)×PB(A) =P(A)×PA(B)

PB(

P(B)=P(B)P(B)= 1

Sur un arbre de probabilités,

B(A)P(A∩B)

Calculer la probabilité de B sachant A.

A∩B={(4;6)}etA={(4;6)(5;5)(6;4)}

On a :P(A∩B) =1

36etP(A) =336doncPA(B) =1

Nombre des issues possibles=13

Ph DepreslePage 3 sur

3 Formule des probabilités totales

2 à 2 disjointes et ont pour réunionΩ.

A1A2An-1AnΩ

Propriétés 2.

Alors, pour tout événementB,

P(B) =P(A1).PA1(B) +···+P(An).PAn(B) =n?

Cas particulier :(A,

A)est une partition deΩ,A?= Ω,A?=∅.

Pour un événementB, on a :

B= (B∩A)??B∩

A?(réunion disjointe )

P(B) =P(B∩A) +P(B∩

P(B) =P(A).PA(B) +P(

A).PA(B)

Ce qui se visualise sur un arbre.

A∩B

A∩B

P(A∩D) =P(A).PA(D)

P(B∩D) =P(B).PB(D)

P(C∩D) =P(C).PC(D)

Ph DepreslePage 4 sur11

P(D) =P(A∩D) +P(B∩D) +P(C∩D)

P(D) =P(A).PA(D) +P(B).PB(D) +P(C).PC(D)

4 Indépendance

4.1 Indépendance de deux événements

Démonstration :

A(B) =P(A∩B)

P(A)=P(A)×P(B)P(A)carAetBsont indépendants.

DoncPA(B) =P(B)

1. Les événementsAetBsont-ils indépendants pourn= 2?

2. Les événementsAetBsont-ils indépendants pourn= 3?

1. Pourn= 2on a :

L"universΩ ={FF,FG,GF,GG}. Il

P(A) =3

SiAetBsont deux événements :

0?P(A)?1etP(Ω) = 1

P(A) +P(

P(A?B) =P(A) +P(B)-P(A∩B).

SiP(A)?= 0etP(B)?= 0on a alors :

PB(

Sur un arbre de probabilités,