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A. P. M. E. P.

?Baccalauréat S Asie 19 juin 2014?

Exercice14 points

Commun à tous lescandidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples comportant quatre questions indépendantes. Pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est exacte.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question etla lettre correspondant à l"affirmation exacte.

Aucune justification n"est demandée. Une réponse exacte rapporte un point; une réponse fausse ou une ab-

sence de réponse ne rapporte ni n"enlève de point.

Dans l"espace, rapporté à un repère orthonormal, on considère les points A(1 ;-1 ;-1), B(1; 1; 1), C(0; 3; 1)

et le planPd"équation 2x+y-z+5=0.

Question1

SoitD1la droite de vecteur directeur-→u(2 ;-1 ; 1) passant par A. Une représentation paramétrique de la droiteD1est : a. ?x=2+t y= -1-t z=1-t(t?R)b.???x= -1+2t y=1-t z=1+t(t?R) c. ?x=5+4t y= -3-2t z=1+2t(t?R)d.???x=4-2t y= -2+t z=3-4t(t?R)

Question2

SoitD2la droite de représentation paramétrique???x=1+t y= -3-t z=2-2t(t?R). a.La droiteD2et le planPne sont pas sécants b.La droiteD2est incluse dans le planP. c.La droiteD2et le planPse coupent au point E?1

3;-73;103?

d.La droiteD2et le planPse coupent au point F?4

3;-13;223?

Question3

a.L"intersection du planPet du plan (ABC) est réduite à un point. b.Le planPet le plan (ABC) sont confondus. c.Le planPcoupe le plan (ABC) selon une droite. d.Le planPet le plan (ABC) sont strictement parallèles.

Question4

Une mesure de l"angle

?BAC arrondie au dixième de degré est égale à : a.22,2°b.0,4°c.67,8°d.1,2°

Exercice26 points

Commun à tous lescandidats

Le taux d"hématocrite est le pourcentage du volume de globules rouges par rapport au volume total du

sang. On noteXla variable aléatoire donnant le taux d"hématocrite d"un adulte choisi au hasard dans la

population française. On admet que cette variable suit une loi normale de moyenneμ=45,5 et d"écart-

typeσ.

PartieAOn noteZla variable aléatoireZ=X-μ

σ=X-45,5σ.

1. a.Quelle est la loi de la variable aléatoireZ?

b.DéterminerP(X?μ).

2.En prenantσ=3,8, déterminerP(37,9?X?53,1). Arrondir le résultat au centième.

PartieB

Une certaine maladie V est présente dans la population française avec la fréquence 1%. On sait d"autre

part que 30% de la population française a plus de 50 ans, et que90% des porteurs de la maladie V dans la

population française ont plus de 50 ans. On choisit au hasard un individu dans la population française.

Onnoteαl"unique réeltel queP(X?α)=0,995, oùXest lavariablealéatoire définieaudébut del"exercice.

On ne cherchera pas à calculerα.

On définit les évènements :

M"l"individu est porteur de la maladie V»;

S"l"individu a plus de 50 ans»;

H"l"individu a un taux d"hématocrite supérieur àα».

AinsiP(M)=0,01,PM(S)=0,9 etP(H)=P(X>α).

D"autre part, une étude statistique a révélé que 60% des individus ayant un taux d"hématocrite supérieur à

αsont porteurs de la maladie V.

1. a.DéterminerP(M∩S).

de la maladie V est égale à 0,03.

2. a.Calculer la probabilitéP(H).

b.L"individu choisi au hasard a un taux d"hématocrite inférieur ou égal àα. Calculer la probabilité

qu"il soit porteur de la maladie V. Arrondir au millième.

PartieC

Le but de cette partie est d"étudier l"influence d"un gène surla maladie V.

1.Déterminer l"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de la maladie V

dans les échantillons de taille 1000, prélevés au hasard et avec remise dans l"ensemble de la popula-

tion française. On arrondira les bornes de l"intervalle au millième.

2.Dans un échantillon aléatoire de 1000 personnes possédant le gène, on a trouvé 14 personnes por-

teuses de la maladie V. Auregarddecerésultat, peut-on décider,auseuil de95%,quelegèneaune influencesur lamaladie?

Exercice35 points

Commun à tous lescandidats

Une chaîne, suspendue entre deuxpoints d"accrochedemême hauteur peut êtremodélisée par la représen-

tation graphique d"une fonctiongdéfinie sur [-1 ; 1] par

Asie219 juin 2014

g(x)=12a?eax+e-ax?

oùaest un paramètre réel strictement positif. On ne cherchera pas à étudier la fonctiong.

On montre en sciences physiques que, pour que cette chaîne ait une tension minimale aux extrémités, il

faut et il suffit que le réelasoit une solution strictement positive de l"équation (x-1)e2x-1-x=0. Dans la suite, on définit sur [0 ;+∞[ la fonctionfparf(x)=(x-1)e2x-1-xpour tout réelx?0.

1.Déterminer la fonction dérivée de la fonctionf.

Vérifier quef?(0)=-2 et que limx→+∞f?(x)=+∞.

2.On notef??la fonction dérivée def?.

Vérifier que, pour tout réelx?0,f??(x)=4xe2x.

3.Montrer que, sur l"intervalle [0 ;+∞[ la fonctionf?s"annule pour une unique valeur, notéex0.

4. a.Déterminer le sens de variation de la fonctionfsur l"intervalle [0 ;+∞[, puis montrer quef(x)

est négatif pour tout réelxappartenant à l"intervalle[0 ;x0]. b.Calculerf(2). En déduire que sur l"intervalle [0 ;+∞[, la fonctionfs"annule pour une unique valeur.

Si l"on noteacette valeur, déterminer à l"aide de la calculatrice la valeur deaarrondie au cen-

tième.

5.On admet sans démonstration que la longueurLde la chaîne est donnée par l"expression

L=? 1

0?eax+e-ax?dx.

Calculer la longueur de la chaîne ayant une tension minimaleaux extrémités, en prenant 1,2 comme

valeur approchée du nombrea.

Exercice45 points

Candidatsn"ayantpas choisi l"enseignementde spécialité Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 1. On notefnla fonction définie pour tout réelxde l"intervalle [0; 1] par f n(x)=1 1+xn.

Pour tout entiern?1, on définit le nombreInpar

I n=? 1 0 fn(x)dx=? 1 01

1+xndx.

1.Les représentations graphiques de certaines fonctionsfnobtenues à l"aide d"un logiciel sont tracées

ci-après. En expliquant soigneusement votre démarche, conjecturer,pour la suite(In)l"existence et la valeur éventuelle de la limite, lorsquentend vers+∞.

2.Calculer la valeur exacte deI1.

3. a.Démontrer que, pour tout réelxde l"intervalle [0; 1] et pour tout entier natureln?1, on a :

1+xn?1.

Asie319 juin 2014

00,20,40,60,81,0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0xy

f1f 2f 3f

50f200

b.En déduire que, pour tout entier natureln?1, on a :In?1.

4.Démontrer que, pour tout réelxde l"intervalle [0; 1] et pour tout entier natureln?1, on a :

1-xn?1

1+xn.

5.Calculer l"intégrale?

0?1-xn?dx.

6.À l"aide des questions précédentes, démontrer que la suite(In)est convergente et déterminer sa li-

mite.

7.On considère l"algorithme suivant :

Variables:n,petksont des entiers naturels

xetIsont des réels

Initialisation:Iprend la valeur 0

Traitement:Demander un entiern?1

Demander un entierp?1

Pourkallant de 0 àp-1 faire :

xprend la valeurkp

Iprend la valeurI+11+xn×1p

Fin Pour

AfficherI

a.Quelle valeur, arrondieau centième, renvoie cet algorithme si l"on entreles valeursn=2 etp=5?

Asie419 juin 2014

On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau suivant avec les différentes

valeurs prises par les variables, à chaque étape de l"algorithme. Les valeurs deIseront arrondies

au millième. kxI 0 4 b.Expliquer pourquoi cet algorithme permet d"approcher l"intégraleIn.

Exercice45 points

Candidatsayantchoisi la spécialitémathématique

PartieA

Le but de celle partie est de démontrer que l"ensemble des nombres premiers est infini en raisonnant par

l"absurde.

1.On suppose qu"il existe un nombre fini de nombres premiers notésp1,p2,...,pn.

On considère le nombreEproduit de tous les nombres premiers augmenté de 1 :

E=p1×p2×···×pn+1.

Démontrer queEest un entier supérieur ou égal à 2, et queEest premier avec chacun des nombres

1,p2,...,pn.

2.En utilisant le fait queEadmet un diviseur premier conclure.

PartieB

Pour tout entier naturelk?2, on poseMk=2k-1.

On dit queMkest lek-ième nombre de Mersenne.

1. a.Reproduire et compléter le tableau suivant, qui donne quelques valeurs deMk:

k2345678910 Mk3

b.D"après le tableau précédent, sikest un nombre premier, peut-on conjecturer que le nombreMk

est premier?

2.Soientpetqdeux entiers naturels non nuls.

a.Justifier l"égalité : 1+2p+(2p)2+(2p)3+···+(2p)q-1=(2p)q-1 2p-1. b.En déduire que 2pq-1 est divisible par 2p-1.

c.En déduire que si un entierksupérieur ou égal à 2 n"est pas premier, alorsMkne l"est pas non

plus.

3. a.Prouver que le nombre de MersenneM11n"est pas premier.

b.Que peut-on en déduire concernant la conjecture de la question 1. b.?

Asie519 juin 2014

PartieCLe test de Lucas-Lehmer permet de déterminer si un nombre de Mersenne donné est premier. Ce test utilise

quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

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A. P. M. E. P.

Exercice14 points

Commun à tous lescandidats

Question1

Question2

3;-73;103?

3;-13;223?

Question3

Question4

Une mesure de l"angle

Exercice26 points

Commun à tous lescandidats

PartieAOn noteZla variable aléatoireZ=X-μ

σ=X-45,5σ.

1. a.Quelle est la loi de la variable aléatoireZ?

2.En prenantσ=3,8, déterminerP(37,9?X?53,1). Arrondir le résultat au centième.

PartieB

On ne cherchera pas à calculerα.

On définit les évènements :

M"l"individu est porteur de la maladie V»;

S"l"individu a plus de 50 ans»;

AinsiP(M)=0,01,PM(S)=0,9 etP(H)=P(X>α).

αsont porteurs de la maladie V.

1. a.DéterminerP(M∩S).

2. a.Calculer la probabilitéP(H).

PartieC

1.Déterminer l"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de la maladie V

2.Dans un échantillon aléatoire de 1000 personnes possédant le gène, on a trouvé 14 personnes por-

Exercice35 points

Commun à tous lescandidats

Asie219 juin 2014

1.Déterminer la fonction dérivée de la fonctionf.

2.On notef??la fonction dérivée def?.

3.Montrer que, sur l"intervalle [0 ;+∞[ la fonctionf?s"annule pour une unique valeur, notéex0.

4. a.Déterminer le sens de variation de la fonctionfsur l"intervalle [0 ;+∞[, puis montrer quef(x)

5.On admet sans démonstration que la longueurLde la chaîne est donnée par l"expression

0?eax+e-ax?dx.

Exercice45 points

Pour tout entiern?1, on définit le nombreInpar

1+xndx.

1.Les représentations graphiques de certaines fonctionsfnobtenues à l"aide d"un logiciel sont tracées

2.Calculer la valeur exacte deI1.

3. a.Démontrer que, pour tout réelxde l"intervalle [0; 1] et pour tout entier natureln?1, on a :

1+xn?1.

Asie319 juin 2014

00,20,40,60,81,0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0xy

50f200

4.Démontrer que, pour tout réelxde l"intervalle [0; 1] et pour tout entier natureln?1, on a :

1-xn?1

5.Calculer l"intégrale?

0?1-xn?dx.

6.À l"aide des questions précédentes, démontrer que la suite(In)est convergente et déterminer sa li-

7.On considère l"algorithme suivant :

Variables:n,petksont des entiers naturels

Initialisation:Iprend la valeur 0

Traitement:Demander un entiern?1

Demander un entierp?1

Pourkallant de 0 àp-1 faire :

Iprend la valeurI+11+xn×1p

Fin Pour

AfficherI

Asie419 juin 2014

Exercice45 points

PartieA

1.On suppose qu"il existe un nombre fini de nombres premiers notésp1,p2,...,pn.

E=p1×p2×···×pn+1.

1,p2,...,pn.

2.En utilisant le fait queEadmet un diviseur premier conclure.

PartieB

Pour tout entier naturelk?2, on poseMk=2k-1.

On dit queMkest lek-ième nombre de Mersenne.

1. a.Reproduire et compléter le tableau suivant, qui donne quelques valeurs deMk:

2.Soientpetqdeux entiers naturels non nuls.

3. a.Prouver que le nombre de MersenneM11n"est pas premier.

Asie519 juin 2014