[PDF] Équations et inéquations irrationnelles - WordPresscom PDF 1c3a8re-s-c3a9quations-et-inc3a9quations-irrationnelles.pdf

Or b 0 donc a b = Page 3 II Exercices Résoudre dans les équations suivantes :

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+ + > Exercice 1 4 Résoudre dans R les équations et inéquations irrationnelles suivantes : 2 2 1) 4x 5 2x 3 2) x 5 x 3 4 3) 7 x x 1 4) 2x 1 x 3x 2 + = + - + - =

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Équations et inéquations

irrationnelles

Cours 1

On s'intéresse aux équations de la forme A x B x.

On va utiliser pour cela une propriété.

I. Propriété

Énoncé :

a et b sont deux réels. a b si et seulement si 2a b et b 0.

Démonstration :

Sens direct :

On suppose que a b.

On peut alors en déduire deux informations :

22a b soit 2a b.

b 0

Sens réciproque :

On suppose que 2a b et b 0.

2a b donc 2a b soit a b.

Or b 0 donc a b.

II. Exercices

Résoudre dans les équations suivantes :

21x x (1) ;

25 1x x (2) ;

25 3 2 1x x x (3).

Solutions :

(1) est successivement équivalente à :

2 21x x et x 0

22 1x et x 0

2x et x 0

1 2x

Soit 1S l'ensemble des solutions de (1).

11 2S (2) est successivement équivalente à :

225 1x x et x + 1 0

2 25 2 1x x x et x - 1

2 4x et x - 1

2x et x - 1

Soit 2S l'ensemble des solutions de (2).

22S
(3) est successivement équivalente à :

225 3 2 1x x x et 2x + 1 0

2 25 3 4 4 1x x x x et x 1

23 2 0x x et x 1

2 polynôme du second degré (1x ou 2

3x) et x 1

2 1x

Soit 3S l'ensemble des solutions de (3).

31S

Cours 2

On s'intéresse aux équations de la forme A x B x.

On va utiliser pour cela une propriété.

I. Propriété

Énoncé :

a et b sont deux réels quelconques a b si et seulement si a b et b 0.

Démonstration :

Sens direct :

On suppose que a b.

On a alors

2 2a b soit a b.

De plus b 0.

Sens réciproque :

On suppose que a b et b 0.

On a alors a 0.

De plus, on peut écrire a b.

On retiendra :

a b si et seulement si a b et b 0 si et seulement si a b et a 0

II. Exercices

Résoudre dans les équations suivantes :

21x x (1) ;

2 1 1x x (2) ;

23 2x x (3).

Solutions :

(1) est successivement équivalente à :

21x x et x 0

21 0x x et x 0

1 5 1 5 ou 2 2x x

et x 0 1 5 2x

Soit 1S l'ensemble des solutions de (1).

11 5 2S (2) est successivement équivalente à :

2 1 1 x x et x + 1 0

2x et x - 1

Soit 2S l'ensemble des solutions de (2).

22S
(3) est successivement équivalente à :

21 0x x et x - 2 Considérons le polynôme 21x x e . Son discriminant est 3 . 0

donc le polynôme 21x x n'admet aucune racine dans .

Soit 3S l'ensemble des solutions de (3).

Cours 2'

On s'intéresse aux équations de la forme A x B x .

On va utiliser pour cela une propriété.

I. Propriété

Énoncé :

a et b sont deux réels quelconques a b si et seulement si 0a b .

Démonstration :

Quasiment évidente.

II. Exemples

Cours 3

Équations avec plusieurs radicaux

2 3 5 1x x (1)

2 3 5 1x x (2)

2 1 2 3 1x x x (3)

2x x x x (4)

Cours 4

Inéquations irrationnelles

I. Inéquations de la forme A x B x

Règle :

a et b sont deux réels quelconques a b si et seulement si 0 a b b

Exercices d'application :

Résoudre dans les inéquations suivantes :

2 1 4x x (1)

2 1 4x x (2)

(1) est successivement équivalente à : 2 1 4 4 0 x x x 3 4 x x 4x

Soit 1S l'ensemble des solutions de (1).

14;S (2) est successivement équivalente à : 2 1 4 4 0 x x x 3 5 4 x x 5 3 4 x x

Soit 2S l'ensemble des solutions de (2).

25;43S

II. Inéquations du type A x B x

Règle :

a et b sont deux réels quelconques. a b si et seulement si 2 0b a b ou 0 0 b a

Exercice d'application :

Résoudre dans l'inéquation 2 4x x (1). (1) est successivement équivalente à : 2 4 0 2 4 x x x ou 4 0 2 0 x x 2 4

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Équations et inéquations

Cours 1

On va utiliser pour cela une propriété.

I. Propriété

Énoncé :

Démonstration :

Sens direct :

On suppose que a b.

On peut alors en déduire deux informations :

22a b soit 2a b.

Sens réciproque :

On suppose que 2a b et b 0.

2a b donc 2a b soit a b.

Or b 0 donc a b.

II. Exercices

Résoudre dans les équations suivantes :

21x x (1) ;

25 1x x (2) ;

25 3 2 1x x x (3).

Solutions :

2 21x x et x 0

22 1x et x 0

2x et x 0

Soit 1S l'ensemble des solutions de (1).

225 1x x et x + 1 0

2 25 2 1x x x et x - 1

2 4x et x - 1

2x et x - 1

Soit 2S l'ensemble des solutions de (2).

225 3 2 1x x x et 2x + 1 0

2 25 3 4 4 1x x x x et x 1

23 2 0x x et x 1

3x) et x 1

Soit 3S l'ensemble des solutions de (3).

Cours 2

On va utiliser pour cela une propriété.

I. Propriété

Énoncé :

Démonstration :

Sens direct :

On suppose que a b.

On a alors

2 2a b soit a b.

De plus b 0.

Sens réciproque :

On suppose que a b et b 0.

On a alors a 0.

De plus, on peut écrire a b.

On retiendra :

II. Exercices

Résoudre dans les équations suivantes :

21x x (1) ;

2 1 1x x (2) ;

23 2x x (3).

Solutions :

21x x et x 0

21 0x x et x 0

1 5 1 5 ou 2 2x x

Soit 1S l'ensemble des solutions de (1).

2 1 1 x x et x + 1 0

2x et x - 1

Soit 2S l'ensemble des solutions de (2).

21 0x x et x - 2 Considérons le polynôme 21x x e . Son discriminant est 3 . 0

Soit 3S l'ensemble des solutions de (3).

Cours 2'

On va utiliser pour cela une propriété.

I. Propriété

Énoncé :

Démonstration :

Quasiment évidente.

II. Exemples

Cours 3

Équations avec plusieurs radicaux

2 3 5 1x x (1)

2 3 5 1x x (2)

2 1 2 3 1x x x (3)

2x x x x (4)

Cours 4

Inéquations irrationnelles