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M1 - Signaux aléatoires
TD 4Rémi Flamary
Exercice 1
Soit le signaly(t)définit par
y(t) =x(t)cos(ωpt+φ)(1)oùx(t)est un signal stationnaire modulant une porteuse sinusoïdale.x(t)est de moyenne nulle, de corrélation
Rx(τ)et de densité spectrale de puissanceSx(f).ωpest une constante etφest uniformément répartie sur
[0,2π].x(t)etφsont considérés comme indépendants. 1. Calculer l amo yenneet la corrélation de y(t)en fonction deRx(τ).2.y(t)est il stationnaire au sens large?
3. Calculer l adensité sp ectralede puissance de y(t)en fonction deSx(f). 4. Représen terla densité sp ectralede puissance.Réponses de l"Exercice 1
1.Mo yenne:
E[y(t)] =E[x(t)]cos(ωpt+φ) = 0
Corrélation :
E[y(t)y(t+τ)] =E[x(t)x(t+τ)]E[cos(ωpt+φ)cos(ωp(t+τ) +φ)] =Rx(τ)12E[cos(ωpτ) + cos(ωp(2?t+τ) + 2?φ)]
12Rx(τ)cos(ωpτ)
2.yest stationnaire au sens large (ordre 1 et 2).
3.Densité sp ectralede puissance
S y(f) =TF[12 x(t)cos(ωpτ)] 12Sx(f)?12
(δ(f-ωp/(2π)) +δ(f+ωp/(2π))) 14 (Sx(f-ωp/(2π)) +Sx(f+ωp/(2π))) 4.Dessin.
Exercice 2
Soit le basculateur poissonnien aléatoire˜xbpvu en cours. On rappelle que ce signal est stationnaire à l"ordre