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?Corrigé du baccalauréat S Liban 3 juin 2010?
EXERCICE15 points
PartieA
ROC:Onsuppose connuslesrésultats:e
0=1etpour tousréelsxety, ex×ey=ex+y.
1.Pour tout réelx, ex×e-x=ex-x=e0=1 donc e-x=1
ex.
2.Pour tout réelx, on démontre par récurrence la propriétéP(n):(ex)n=enx.
(ex)0=1=e0×x. DoncP(0) est vraie. - Soitn, un entier, on démontre que la propriété se transmet denàn+1.
On suppose que
e (n+1)x. - La propriété est vraie pourn=0 et se transmet, pour toutn, denàn+1, donc la propriété est vraie pour toutn: pour tout entier natureln,(ex)n= e nx.
PartieB
On considère la suite
(un)définie pour tout entier naturelnpar : u n=? 1 0e -nx
1+e-xdx.
1. a.u0+u1=?
1 01
1+e-xdx+?
1 0e -x1+e-xdx
Par linéarité de l"intégrale,u0+u1=?
1
01+e-x
1+e-xdx=?
1 0
1dx=[x]10=1.
b.u1=? 1 0e -x
1+e-xdx. On posef(x)=e-x1+e-x, on remarque quef= -u?uoùu(x)=1+e-x>0.fa pour primitiveF=-ln(u).
u
1=[-ln(1+e-x)]10=ln(2)-ln(1+e-1).
2.Pour tout entier natureln, et pour tout réelx, e-nx>0 et 1+e-x>0 donc
e-nx
1+e-x>0. L"intégrale sur l"intervalle [0 ; 1] d"une fonction positive est posi-
tive doncunest positive ou nulle.
3. a.Pour tout entier natureln,un+1+un=?
1 0e -(n+1)x
1+e-xdx+?
1 0e -nx1+e-xdx u n+1+un=? 1 0e -(n+1)x+e-nx
1+e-xdx=?
1 0e -nx(e-x+1)1+e-xdx u n+1+un=? 1 0 e-nxdx=? -1 ne-nx?10=1-e-nn b.Pour tout entier natureln, d"après la question 2.,un?0 doncun+1?0 or, d"après la question 3.,un=1-e-n n-un+1doncun?1-e-nn.
4.Pourtoutentiernatureln,0?un?1-e-n
n.Or limn→+∞1-e-nn=0(care-ntend vers 0 ainsi que 1 n). Selon le théorème des gendarmes, la suiteunconverge aussi vers zéro.
EXERCICE24 points
L"espace est muni d"un repère orthonormal?
O,-→ı,-→?,-→k?
On note (D) la droite passant par les points A(1 ;-2 ;-1) et B(3 ;-5 ;-2).
Baccalauréat SA. P.M. E. P.
Elle a donc pour représentation paramétrique : ?x=1+2t y= -2-3t z= -1-tavect?R.
2.On note (D?) la droite ayant pour représentation paramétrique :
?x=2-k y=1+2k z=kaveck?R.
La droite (D
?) a pour vecteur directeur?u(-1 ; 2 ; 1). Les vecteurs?uet-→AB ne sont pas colinéaires (coordonnées non proportionnelles),donc les droites (D) et (D ?) ne sont pas parallèles.
Les droites(D)et (D
?)ontun point encommun siet seulement si ilexiste deux réelstetktels que???1+2t=2-k(l1) -2-3t=1+2k(l2) -1-t=k(l3). Or (l1)+(l2)-(l3)??0=3 (impossible). Lestroiséquations sontincompatibles etlesdroitesn"ontpasde point commun. Les droites (D) et (D ?) ne sont ni sécantes ni parallèles, elles sont donc non coplanaires.
3.On considère le plan (P) d"équation 4x+y+5z+3=0.
a.Pourtoutréelt,ona4(1+2t)+(-2-3t)+5(-1-t)+3=0,donctout point de (D) appartient au plan (P). La droite (D) est donc incluse dans le plan (P). b.M(x;y;z)?(P)∩(D?)??il existe un réelktel que???????x=2-k y=1+2k z=k
4x+y+5z+3=0 (e)
(e)??4(2-k)+(1+2k)+5k+3=0??k=-4
M(x;y;z)?(P)∩(D??????x=2+4=6
y=1-8= -7 z= -4= -4Le point C a pour coordonnées (6 ;-7 ;-4).
4.Onconsidèreladroite(Δ)passantparlepointCetdevecteurdirecteur-→w(1; 1;-1).
a. -→u·-→w=(-1)×(1)+(2)×(1)+(1)×(-1)=0 donc les vecteurs-→uet-→w directeurs de (Δ) et (D?) sont orthogonaux. Les deux droites sont donc orthogonales. Elles possèdent le point C en commun, elles sont donc perpendiculaires b.De même,-→w·--→AB=0 donc les droites (Δ) et (D) sont orthogonales. La droite (Δ) a pour représentation paramétrique : ?x=6+λ y= -7+λ z= -4-λavecλ?R. Les droites (D) etΔ) ont un point en commun si et seulement si il existe deux réelstetλtels que (s)???1+2t=6+λ -2-3t= -7+λ) -1-t= -4-λ
Liban23 juin 2010
Baccalauréat SA. P.M. E. P.
s?????2t-λ=5 (l1)
3t+λ=5 (l2)
t-λ=3 (l3)?????2t-λ=5 (l1)
5t=10 (l2+l1)
-t= -2 (l3-l1)??
λ= -1
t=2 Les deuxdroites secoupent perpendiculairement en un pointE(x;y;z) tel que???x=1+4=6-1=5 y= -2-6= -7-1= -8 z= -1-2= -4+1= -3.
Le point E a pour coordonnées (5 ;-8 ;-3).
EXERCICE35 points
Enseignementobligatoire
Pourchacune despropositionssuivantes,indiquer sielle estvraieoufausse,etdonner une justification de la réponse choisie. même incomplète, ou d"initiative, même nonfructueuse, sera prise en compte dans l"évaluation.
1.Une urne contient une boule blanche et deux boules noires. Oneffectue 10 ti-
rages successifs d"une boule avecremise (ontireune boule auhasard,on note sa couleur, on la remet dans l"urne et on recommence). Proposition1 :"La probabilité de tirer exactement 3 boules blanches est
3×?1
3? 3
×?23?
7 .»FAUX Il s"agit d"un schéma de Bernoulli : on renouvelle 10 fois de manière indé- pendante une expérience à deux issues consistant à tirer un boule dans une urnecontenant 3boulesdontuneblanche.Laprobabilitédetireruneblanche est de 1/3. On appelle X la variable aléatoire donnant le nombre de boules blanches obtenues à l"issue des 10 expériences. X suit une loi binomiale de paramètres (10;1/3).p(X=3)=? 10 3?
×?1
3? 3
×?23?
7 et? 10 3? ?=3.
2.Une variable aléatoireXsuit la loi exponentielle de paramètreλ(λ>0).
On rappelle que pour tout réela>0:p(X?a)=?
a 0
λe-λtdt.
Proposition2 :"Le réelatel quep(X>a)=p(X?a) est égal àln2
λ.»VRAI
Pour tout réela>0:p(X?a)=?
a 0
λe-λtdt=?
e-λt?a
0=1-e-λa,
p(X>a)=1-p(X?a)=e-λa. L"équationp(X>a)=p(X?a) est équivalente à :
1-e-λa=e-λa??e-λa=1
2?? -λa=-ln(2)??a=ln(2)λ
3.Soit le nombre complexez=1-i?
3.
On utilise la forme exponentielle :z=1-i?
3=reiθoùr=?1+3=2 etθest
tel que cos(θ)=1
2et sin(θ)=-?
3
2,θ=-π3. Doncz=2e-iπ
3et pour tout entier
natureln,zn=2ne-inπ
3. Sinest multiple de 3, il s"écrit sous la forme 3koùk
est un entier naturel. On obtient alorszn=2ne-ikπ=±2n?R
4.On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct?
O,-→u,-→v?
, le point A d"affixea=2-i et le point B d"affixeb=1+i 2a.
Liban33 juin 2010
Baccalauréat SA. P.M. E. P.
Proposition4 :"Le triangle OAB est rectangle isocèle.»VRAI
SoitZ=a-b
-b, on sait queArg(Z)=(-→BO,-→BA) et que|Z|=BABO. b=1+i
2(2-i)=32+12i, donca-b=12-32i=i(-12i-32i)=-ib.
Z=-ib -b=i est de module 1 et d"argumentπ2. Donc (-→BO,-→BA)=π2et BA=BO. Le triangle ABO est donc isocèle rectangle de sommet B.
5.Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct?
O,-→u,-→v?
tout pointMduplan d"affixeznonnulle onassocie lepointM?d"affixez?telle quez?=-10 zoùzdésigne le nombre conjugué dez. Proposition 5 :"Il existe un pointMtel que O,MetM?ne sont pas alignés.» FAUX
Pour toutpoint Md"affixeznon nulle,z?=-10
quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8
Corrigé de lépreuve de GESTION SESSION - Juin 2010