[PDF]

[PDF] GRAPHES - EXERCICES CORRIGES Compilation - Lycée dAdultes

1 Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B 2 Écrire la matrice de transition M de ce graphe en prenant les sommets 

[PDF] DS graphes probabilistes 13-14

12 mai 2014 · 1°) Représenter la situation par un graphe probabiliste 2°) Indiquer la matrice de transition M du graphe, en considérant les sommets dans 

[PDF] Baccalauréat ES spécialité Index des exercices avec des graphes

Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (a) Déterminer, en justifiant, s'il est possible de visiter le lycée en empruntant une seule Un adulte observe son jeu et remarque que si l'enfant atteint la cible lors d'un 

[PDF] Baccalauréat ES Enseignement de spécialité - APMEP

La matrice M de ce graphe probabiliste, en considérant les sommets du graphe Un adulte observe son jeu et remarque que si l'enfant atteint la cible lors d'un Déterminer, en justifiant, s'il est possible de visiter le lycée en empruntant une  

[PDF] Statistique et probabilités au lycée

lycée » qui a travaillé à l'Irem de Rennes de septembre 2013 à juillet 20151 : de terminale S ou ES de la rentrée 2012 (modèles probabilistes, loi des grands Le graphe de la fonction F obtenue dans la question précédente (de [0, 1] dans 

[PDF] Les graphes - IREM de la Réunion - Université de La Réunion

graphe probabiliste à 2 ou 3 sommets graphes probabilistes à deux sommets, cisions supplémentaires sur les liens entre adultes il y a quelques années au lycée, puis au collège plus récemment, cette intrusion montre l'intérêt en 

[PDF] Chaînes de Markov - Mathieu Mansuy

Mathieu Mansuy - Professeur de Mathématiques en ECS2 au Lycée Louis né dans la upper class a, à l'âge adulte, 45 de chances de faire partie de la On peut représenter ce modèle sociologique par un graphe dont les sommets probabiliste) si tous les cœfficients de U sont positifs et si leur somme est égale à 1

[PDF] Modèle de Leslie - Les maths au quotidien

Graphe pondéré, matrice d'adjacence associée à un graphe En 2018, cette population de rongeurs comportait 51 juvéniles, 20 pré-adultes et 7 adultes construite de manière analogue à la matrice de transition d'un graphe probabiliste

[PDF] cours

algèbre accumulées au lycée et les bases qui formeront un des piliers dans la formation en analyse et 1 le test probabiliste de primalité, 2 le test Exemple Voici dans les figures suivantes, le graphe de deux fonctions usuelles (que l'on

[PDF] LA NOTION D 'ETAT-NATION

[PDF] États financiers

[PDF] etats financiers ohada - eRegulations Garoua

[PDF] ANNEXE : MODELE D 'ETATS FINANCIERS

[PDF] etats financiers et notes aux etats financiers au 31 - BNA CAPITAUX

[PDF] 28 La Révolution de 1789 - Académie de Nancy-Metz

[PDF] 25 CONVENTION SUR LA LOI APPLICABLE AUX - HCCH

[PDF] 25 CONVENTION SUR LA LOI APPLICABLE AUX - HCCH

[PDF] Conditions particulières d 'admission pour les programmes - UQAM

[PDF] Corrigé du bac S Histoire-Géographie 2015 - Centres - Sujet de bac

[PDF] Cours 3 : États-Unis - Brésil : rôle mondial, dynamiques territoriales

[PDF] Etats-Unis - Brésil, rôle mondial, dynamiques territoriales

[PDF] LES ETATS-UNIS : UNE HYPERPUISSANCE

[PDF] ? Comment se manifeste la puissance américaine

[PDF] manuel de l 'utilisateur - GoPro

2012-2013

Spécialité Mathématiques

Term ES

E. Les graphes probabilistes

1 PrésentationDéfinition 1Un grapheprobabilisteest un grapheorientéetpondérédans lequel :

•il y a au plus un arc d"un sommet à l"autre; •la somme des poids des arcs issus d"un même sommet est égale à 1.

REMARQUES :

1. Le sp oidsdes arcs son talors des probabilités (nom bresréels compris en tre0 et 1). 2.

Un gra pheprobabiliste indique les différen tsétats p ossiblesd"un système (sommets du graphe) et

les probabilités de passage d"un état à l"autre (poids des arcs).

Exemple 1

•Le graphe n°1 est un graphe probabiliste d"ordre 2. •Le graphe n°2 est un graphe probabiliste d"ordre 3.

•Le graphe n°3 n"est pas un graphe probabiliste car la somme des poids des arcs issus du sommet C

est égale à 0,9 et non à 1.2 État probabiliste et matrice de transition

Définition 2

Soit une expérience aléatoire à deux issues possibles A et B. A chacune de ces issues est affectée une probabilité,pAetpB.

Lorsque l"on répète cette expérience, dans les mêmes conditions, on se retrouve après chaque réali-

sation dans un état donné. Cet état à l"issue de chacune des réalisations de l"expérience est appelé

état probabiliste.

Il peut être représenté par une matrice lignePn=?a nbn?qui traduit la probabilité d"obtenir l"issue A ou l"issue B aprèsnréalisation de l"expérience aléatoire.

On aan+bn= 1, pour tout entier natureln.Page 1/4

2012-2013

Spécialité Mathématiques

Term ES

REMARQUE :

On généralise sans difficulté cette définition à une expérience aléatoire ayant un nombrenfini d"issues

possibles (n≥2).Définition 3 Soit G un graphe probabiliste d"ordrendont les sommets sont numérotés de 1 àn. Lamatrice de transitionM de G est la matrice carrée d"ordrentelle quemijest égal à la probabilité portée par l"arc reliant le sommetiau sommetjs"il existe et 0 sinon.

REMARQUE :

La matrice de transition M permet d"étudier l"évolution du système que schématise le graphe probabi-

liste.

Exemples 1

•La matrice de transitionM1associée au graphe ci-contre est (en supposant les sommets rangés dans l"ordre alphabétique) :M1=?0,55 0,45

0,8 0,2?

•La matrice de transistionM2associées au graphe ci-contre est (en supposant les sommets rangés dans l"ordre alphabétique) : M 2=( (0,75 0,1 0,15

0,4 0,4 0,2

0,6 0,1 0,3)

)Propriété 1 SoitMla matrice de transition d"un graphe probabiliste associé à un système donné. SoitP0la matrice-ligne décrivant l"état initial du système étudié.

SoitPnla matrice-ligne décrivant l"état probabiliste à l"étapendu système étudié.

On a les relations :

P n+1=Pn×M Pn=P0×Mn

Démonstration(pour un graphe d"ordre 2) :

Soit un graphe probabiliste d"ordre 2 de matrice de transitionM=?α1-α

β1-β?

traduisant un système à deux étatsAetB, et soitnun entier naturel. •SoitAnl"évènement : "on obtientAà l"étapen". •SoitBnl"évènement : "on obtientBà l"étapen". •SoitPn=?a nbn?la matrice-ligne décrivant l"état probabiliste à l"étapen. •SoitPn+1=?a n+1bn+1?la matrice-ligne décrivant l"état probabiliste à l"étapen+ 1.Page 2/4

2012-2013

Spécialité Mathématiques

Term ES

On considère l"arbre pondéré suivant :On a les relations (formule des probabilités totales) :

a n+1=P(An+1) =PAn(An+1)×P(An) +PBn(An+1)×P(Bn) =αan+βbn b n+1=P(Bn+1) =PAn(Bn+1)×P(An) +PBn(Bn+ 1)×P(Bn) = (1-α)an+ (1-β)bn Cela se traduit en écriture matricielle par :Pn+1=Pn×M.

On a alors :P1=P0×M

P

2=P1×M=P0×M×M=P0×M2

P

3=P2×M=P0×M2×M=P0×M3

P n=Pn-1×M=P0×Mn-1×M=P0×Mn

REMARQUE :

La matriceMnpermet de trouver l"état probabiliste à l"étapen.

Exemple(d"après Bac ES La Réunion 2008)

Les joueurs d"un club de football sont partagés en deux équipes : une équipeAet une équipeB.

L"entraîneur change la composition de ces équipes après chacun des matchs, suivant les performances

des joueurs. Une étude statistique menée au cours des saisons précédentes permet d"estimer que :

•si un joueur fait partie de l"équipeA, la probabilité qu"il reste dans cette équipe pour le match suivant

est 0,6;

•si un joueur fait partie de l"équipeB, la probabilité qu"il change d"équipe le match suivant est 0,2.

La situation précédente peut être schématisée par le graphe probabiliste ci-dessous et sa matrice de

transition.M=?0,6 0,4

0,2 0,8?Page 3/4

2012-2013

Spécialité Mathématiques

Term ES

Pour une entier naturelndonné, on notePn=?a

nbn?la matrice-ligne décrivant l"état probabiliste lors du matchn. Enzo vient d"arriver dans le club et la probabilitéa0qu"il joue dans l"équipeApour le match de préparation (match 0) est 0,1. •L"état probabiliste initial est doncP0=?0,1 0,9?. •On a donc, par exemple,P1=P0×M=?0,24 0,76?. La probabilitéa1qu"Enzo joue dans l"équipeApour le match 1 est 0,24. •On a aussi, par exemple,P2=P0×M2=?0,296 0,704? La probabilitéa2qu"Enzo joue dans l"équipeApour le match 2 est 0,296.

3 État stableDéfinition 4

Soit un graphe probabiliste d"ordrenassocié à une expérience donnée.

On appelleétat stableun état probabiliste qui n"évolue pas lors de la répétition de l"expérience.

Exemple

Soit l"état initialP0=?0,4 0,6?et la matrice de transitionM=?0,7 0,3

0,2 0,8?

On vérifie aisément queP1=P0et, de proche en proche que,Pn=P0pour tout entier natureln. L"état décrit par la matriceP0est donc un état stable.Propriété 2(admise)

Soit un graphe probabiliste d"ordre 2 dont la matrice ne comporte pas de 0. L"état probabilistePnà

l"étapenconverge vers un étatPindépendant de l"état initialP0. L"étatPest appeléétat stable du système: il vérifie l"égalitéPM=P.Page 4/4quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15