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Correction de l"épreuve de mathématiques du CRPE 2011 du sujet du PG3
Denis Vekemans
Exercice 1
1.L"affirmation 1 est fausse!Dans la première salle, la somme des âges est de925ans= 225ans. Dans la deuxième salle, la
somme des âges est de1145ans= 495ans. Sur l"ensemble des deux salles, la somme des âges est donc de225ans+ 495ans= 720anspour11 + 9 = 20personnes. Ceci donne une moyenne de720ans
20= 36ans= 35ans.
2.L"affirmation 2 est vraie!Le nombre de choix possibles est de34 = 12(3choix pour le pantalon et4choix pour le tee-shirt).
Le nombre de choix favorables (i.e. où pantalon et tee-shirt sont de même couleur) est de1 + 1 = 2
(les deux sont rouges ou les deux sont bleus).La formule de Laplace (cas d"équiprobabilité des événements) donne donc une probabilité égale au
nombre de choix favorables divisée par le nombre de cas possibles : 212=16.
3.L"affirmation 3 est vraie!À supposer que les pointsA,B,CetDsont cocycliques (i.e. situés sur un même cercle), que l"angle
ADCmesure50°et que l"angle?ACBmesure40°.
On a?ABC=?ADC= 50°, par propriété des points cocycliques lorsqueBetDsont du même côté de
la droite(AC). Dans tout triangle, la somme des angles mesure180°et par conséquent, dans le triangleABC, on a ABC =50°+ ?ACB???? =40°+ ?BAC= 180°, puis ?BAC= 90°.4.L"affirmation 4 est vraie!La section d"un cylindre de rayon5cmet de hauteur8cmpar un plan parallèle à son axe est toujours
un rectangle dont un des côtés mesure8cmet l"autre est de mesure variable :?. Université du Littoral Côte d"Opale; Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville; 50, rue Ferdi-
nand Buisson BP 699; 62 228 Calais cedex; France 1CRPEPG32011
- quand le plan passe par l"axe, l"autre côté mesure10cm;- quand le plan est tangent au cylindre, l"autre côté mesure0cm(c"est le cas d"un rectangle applati);
- entre ces positions extrêmes, l"autre côté prend toutes les mesures comprises entre0cmet10cmet
en particulier, quand cet autre côté mesure8cm, le rectangle est un carré.5.L"affirmation 5 est vraie!En21h,
- en ouvrant uniquement le robinetA, on vide 3 fois la quantité dans la cuve; - en ouvrant uniquement le robinetB, on vide 7 fois la quantité dans la cuve; - donc, en ouvrant les deux robinets en même temps, on vide3 + 7 = 10fois la cuve. Donc, on vide1fois la cuve en ouvrant les deux robinets en même temps en21h10= 2h6min.
6.L"affirmation 6 est fausse!Le graphique proposé est relatif à une situation de proportionnalité (fonction linéaire). La situation
pourrait être liée au graphique dans le cas où la section "horizontale"de la carafe est d"aire constante
(cas d"un prisme droit posé sur sa base, cas d"un cylindre droit posé sur sa base, ...), mais uniquement
dans ce cas. Cependant, ici, la section "horizontale" de la carafe n"est pas d"aire constante!Exercice 2
1. La figure n"est pas à l"échelle.
2. (a)Aire(MDGE) =MDMEetAire(BDE) =BDME2.
En effet,Mest milieu de[BD](propriété du centre d"un carré), puisMest pied de la hauteur issue deEdans le triangle équilatéralBDE(la médiane est hauteur). Denis Vekemans -2/4-Mathématiqueset sciences expérimentales et technologieCRPEPG32011
Ensuite, commeMD=BD2, on obtientAire(MDGE) =Aire(BDE). (b)Aire(MDHF) =MDMFetAire(ABCD) =ACBD2(formule de l"aire d"un losange). Or,
commeMest milieu de[AC](propriété du centre d"un carré) et commeCest milieu de[MF] (définition de la symétrie centrale) on aAC= 2MC=MF. Et, commeMD=BD2, on obtient
Aire(MDHF) =Aire(ABCD).
(c)MDGE?MDHFinduit queAire(MDGE)< Aire(MDHF), puis queAire(BDE)< Aire(ABCD).3.AB=c.
(a) L"utilisation du théorème de Pythagore dans différents triangles donne de manière rapide
-BD= 2c; -ME= 6 2c.Ainsi,Aire(BDE) =BDME
2=2c⎷6
2c2= 3 2c2. (b) On aAire(ABCD) =c2>
3 2???? <1c2=Aire(BDE).4. On prendP=Fet on aAire(BDF) =BDMF
2.En effet,Mest milieu de[BD](propriété du centre d"un carré), puisMest pied de la hauteur issue
deFdans le triangleBDFisacèle enF(la médiane est hauteur).Ensuite,Aire(BDF) =BDMF
2=MDMF=Aire(MDHF) =Aire(ABCD).
Exercice 3
1. En utilisant le critère de divisibilité par4(cité en amont du problème, mais qui sera démontré ulté-
rieurement),52étant divisible par4(52 = 413), le nombre123 412 893 135 552l"est aussi.Question. A-t-on le droit d"utiliser un critère non encore prouvé? Mais le choix du nombre123 412 893 135 552
tend à montrer que les auteurs du sujet attendent plutôt ce typede réponse qu"une division euclidienne
par4.