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ion de l'épreuve de mathématiques du CRPE 2011 du sujet du PG3 BAC = 180˚, nand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France 1 Mathématiqueset sciences expérimentales et technologie 



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Correction de lépreuve de mathématiques du CRPE 2011 du

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Correction de l"épreuve de mathématiques du CRPE 2011 du sujet du PG3

Denis Vekemans

Exercice 1

1.L"affirmation 1 est fausse!Dans la première salle, la somme des âges est de925ans= 225ans. Dans la deuxième salle, la

somme des âges est de1145ans= 495ans. Sur l"ensemble des deux salles, la somme des âges est donc de225ans+ 495ans= 720anspour

11 + 9 = 20personnes. Ceci donne une moyenne de720ans

20= 36ans= 35ans.

2.L"affirmation 2 est vraie!Le nombre de choix possibles est de34 = 12(3choix pour le pantalon et4choix pour le tee-shirt).

Le nombre de choix favorables (i.e. où pantalon et tee-shirt sont de même couleur) est de1 + 1 = 2

(les deux sont rouges ou les deux sont bleus).

La formule de Laplace (cas d"équiprobabilité des événements) donne donc une probabilité égale au

nombre de choix favorables divisée par le nombre de cas possibles : 2

12=16.

3.L"affirmation 3 est vraie!À supposer que les pointsA,B,CetDsont cocycliques (i.e. situés sur un même cercle), que l"angle

ADCmesure50°et que l"angle?ACBmesure40°.

On a

?ABC=?ADC= 50°, par propriété des points cocycliques lorsqueBetDsont du même côté de

la droite(AC). Dans tout triangle, la somme des angles mesure180°et par conséquent, dans le triangleABC, on a ABC =50°+ ?ACB???? =40°+ ?BAC= 180°, puis ?BAC= 90°.

4.L"affirmation 4 est vraie!La section d"un cylindre de rayon5cmet de hauteur8cmpar un plan parallèle à son axe est toujours

un rectangle dont un des côtés mesure8cmet l"autre est de mesure variable :

?. Université du Littoral Côte d"Opale; Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville; 50, rue Ferdi-

nand Buisson BP 699; 62 228 Calais cedex; France 1

CRPEPG32011

- quand le plan passe par l"axe, l"autre côté mesure10cm;

- quand le plan est tangent au cylindre, l"autre côté mesure0cm(c"est le cas d"un rectangle applati);

- entre ces positions extrêmes, l"autre côté prend toutes les mesures comprises entre0cmet10cmet

en particulier, quand cet autre côté mesure8cm, le rectangle est un carré.

5.L"affirmation 5 est vraie!En21h,

- en ouvrant uniquement le robinetA, on vide 3 fois la quantité dans la cuve; - en ouvrant uniquement le robinetB, on vide 7 fois la quantité dans la cuve; - donc, en ouvrant les deux robinets en même temps, on vide3 + 7 = 10fois la cuve. Donc, on vide1fois la cuve en ouvrant les deux robinets en même temps en21h

10= 2h6min.

6.L"affirmation 6 est fausse!Le graphique proposé est relatif à une situation de proportionnalité (fonction linéaire). La situation

pourrait être liée au graphique dans le cas où la section "horizontale"de la carafe est d"aire constante

(cas d"un prisme droit posé sur sa base, cas d"un cylindre droit posé sur sa base, ...), mais uniquement

dans ce cas. Cependant, ici, la section "horizontale" de la carafe n"est pas d"aire constante!

Exercice 2

1. La figure n"est pas à l"échelle.

2. (a)Aire(MDGE) =MDMEetAire(BDE) =BDME2.

En effet,Mest milieu de[BD](propriété du centre d"un carré), puisMest pied de la hauteur issue deEdans le triangle équilatéralBDE(la médiane est hauteur). Denis Vekemans -2/4-Mathématiqueset sciences expérimentales et technologie

CRPEPG32011

Ensuite, commeMD=BD2, on obtientAire(MDGE) =Aire(BDE). (b)Aire(MDHF) =MDMFetAire(ABCD) =ACBD

2(formule de l"aire d"un losange). Or,

commeMest milieu de[AC](propriété du centre d"un carré) et commeCest milieu de[MF] (définition de la symétrie centrale) on aAC= 2MC=MF. Et, commeMD=BD

2, on obtient

Aire(MDHF) =Aire(ABCD).

(c)MDGE?MDHFinduit queAire(MDGE)< Aire(MDHF), puis queAire(BDE)< Aire(ABCD).

3.AB=c.

(a) L"utilisation du théorème de Pythagore dans différents triangles donne de manière rapide

-BD= 2c; -ME= 6 2c.

Ainsi,Aire(BDE) =BDME

2=

2c⎷6

2c2= 3 2c2. (b) On a

Aire(ABCD) =c2>

3 2???? <1c2=Aire(BDE).

4. On prendP=Fet on aAire(BDF) =BDMF

2.

En effet,Mest milieu de[BD](propriété du centre d"un carré), puisMest pied de la hauteur issue

deFdans le triangleBDFisacèle enF(la médiane est hauteur).

Ensuite,Aire(BDF) =BDMF

2=MDMF=Aire(MDHF) =Aire(ABCD).

Exercice 3

1. En utilisant le critère de divisibilité par4(cité en amont du problème, mais qui sera démontré ulté-

rieurement),52étant divisible par4(52 = 413), le nombre123 412 893 135 552l"est aussi.

Question. A-t-on le droit d"utiliser un critère non encore prouvé? Mais le choix du nombre123 412 893 135 552

tend à montrer que les auteurs du sujet attendent plutôt ce typede réponse qu"une division euclidienne

par4.

2. (a) La division euclidienne denpar100induit directement l"existence de deux entiers naturelsqet

rtels quen= 100q+ravec0r <100. Dans le cas particulier de la division par100, lesqetront des significations en relation avec notre principe de numération :qest le nombre de centaines denetrest le nombre composé des deux derniers chiffres den. (b) Sirest divisible par4, alors, on peut trouver un entier naturelktel quer= 4k. Puis, comme n= 100q+r, on obtientn= 4(25q+k)etnest divisible par4. (c) Sinest divisible par4, alors, on peut trouver un entier naturelktel quen= 4k. Puis, comme n= 100q+r, on obtientr= 4(k25q)etrest divisible par4. (d) Tout est montré! Sinest un nombre entier naturel ayant au moins deux chiffres,nest divisible par4si et seulement si le nombre composé de ses deux derniers chiffres (i.e. le reste dans la division euclidienne denpar100) est divisible par4. Denis Vekemans -3/4-Mathématiqueset sciences expérimentales et technologie

CRPEPG32011

3. (a) Par extension ... Sinest un nombre entier naturel ayant au moins trois chiffres,nest divisible par

8si et seulement si le nombre composé de ses trois derniers chiffres (i.e. le reste dans la division

euclidienne denpar1000) est divisible par8. La démonstration est analogue à celle du point 2. (b)552étant divisible par8(552 = 869), le nombre123 412 893 135 552l"est aussi.

4. (a) En généralisant encore ... Sinest un nombre entier naturel ayant au moinspchiffres,nest

divisible par2psi et seulement si le nombre composé de sespderniers chiffres (i.e. le reste dans la division euclidienne denpar10p) est divisible par2p. La démonstration est analogue à celle du point 2.

Pour information.

La division euclidienne denpar10pinduit directement l"existence de deux entiers naturelsqetr tels quen= 10pq+ravec0r <10p. Dans le cas particulier de la division par10p, lesqetront des significations en relation avec notre principe de numération :qest le nombre de10pdenetrest le nombre composé despderniers chiffres den. Sirest divisible par2p, alors, on peut trouver un entier naturelktel quer= 2pk. Puis, comme n= 10pq+r, on obtientn= 2p(5pq+k)etnest divisible par2p. Sinest divisible par2p, alors, on peut trouver un entier naturelktel quen= 2pk. Puis, commen= 10pq+r, on obtientr= 2p(k5pq)etrest divisible par4. (b) -5 552étant divisible par16(5 552 = 16347), le nombre123 412 893 135 552l"est aussi. -35 552étant divisible par32(35 552 = 321 111), le nombre123 412 893 135 552l"est aussi. -135 552étant divisible par64(135 552 = 642 118), le nombre123 412 893 135 552l"est aussi. -3 135 552n"étant pas divisible par128(3 135 552 = 12824 496+64), le nombre123 412 893 135 552 ne l"est pas non plus. La plus grande puissance de2qui divise le nombre123 412 893 135 552est donc64 = 26. Denis Vekemans -4/4-Mathématiqueset sciences expérimentales et technologiequotesdbs_dbs20.pdfusesText_26