Corrigé du baccalauréat S Métropole–La Réunion 21 juin 2012
Corrigé du baccalauréat S Métropole–La Réunion 21 juin 2012 EXERCICE 1 4 points
Corrigé du baccalauréat S Métropole 13 septembre 2012
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Corrige complet du bac S Mathématiques - Sujet de bac
s le graphique, la courbe représentative C ′ de la fonction f′ est en dessous de l'axe des
Métropole - Juin 2012 BAC S Correction - Physiquemaths
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Correction du sujet de mathématiques de lépreuve E4 du Bac
ion du sujet de mathématiques de l'épreuve E4 du Bac Pro métropole 2012 Exercice 1 PARTIE
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?Corrigé du baccalauréat S Métropole 13 septembre 2012?0.
9 137<12d2n??un+1-?7
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?Corrigé du baccalauréat S Métropole 13 septembre 2012?
EXERCICE15 points
Commun à tous lescandidats
1.D"après le tableau de variationsfest croissante puis décroissante, donc :
f?(x)>0 sur ]-∞;a[;
f?(x)<0 sur ]a;+∞[;
f?(a)=0.
2. a.Seuls les points deC2ont des ordonnées positives puis négatives, donc seuleC2peut être la
courbe représentative def?. DoncC1est la courbe représentative d"une primitiveFdef. b.C2coupe l"axe des abscisses au point d"abscissea; d"après la figure 13. a.Sig(x)=αx+β, alorsg?(x)=α.
On a donc :
g(x)-2g?(x)=x??αx+β-2α=x. Cette égalité est vraie quel que soit le réelx. En particulier pourx=0, on aβ-2α=0??β=2α.Pourx=1, on aα+β-2α=1??α=1.
Finalementα=1 etβ=2α=2.
La fonctiongdéfinie surRparg(x)=x+2 vérifie l"équation différentielle. b.La dérivée de la fonctionf-gest la fonctionf?-g?et f ?(x)-g?(x)=1 La fonctionf-gest donc une solution de l"équation différentielley?=1 2y.c.On sait que les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies par
x?-→ke12x, aveck?Rquelconque.
On a doncf(x)-g(x)=ke1
2x??f(x)=ke12x+g(x)=ke12x+x+2.
d.On af?(x)=k×1 2e1 2x+1.On sait quef?(0)=1
2??k×12e1
2×0+1=12??k2+1=12??k2=-12??k=-1.
On a donc pour tout réelx,f(x)=x+2-e1
2x. Une primitive de la fonctionx?-→xest la fonctionx?-→x2 2; Une primitive de la fonctionx?-→2 est la fonctionx?-→2x;Une primitive de la fonctionx?-→-e1
2xest la fonctionx?-→-2e12x;
On a doncF(x)=x2
2+2x-2e1
2x+CsurR.
CommeF(0)=-2?? -2+C=-2??C=0, on a finalement
F(x)=x2
2+2x-2e1
2xsurR.
Maximum def:f?(x)=0??1-1
2e12x=0??e12x=2??12x=ln2 (par croissance de la
fonction logarithme népérien)??x=2ln2. Donca=2ln2.Le maximum est donc égal àf(2ln2)=2ln2+2-1
2e12×2ln2=2ln2+2-12eln2. Doncb=2ln2.
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
AB OC 2 C1-→
CfEXERCICE25 points
Commun à tous lescandidats
Les questions1et2sont indépendantes
1. a.On peut dresser l"arbre suivant :
R 1 4 6R 2 4 6 N 2 2 6 N 1 2 6R 2 4 5 N 2 1 5On ap(R1∩R2)=p(R1)×pR1(R2)=4
6×46=49.
b.pN2=pR1(N2)+pN1(N2)=46×26+26×15=29+115=10+345=1345.
On apN2(R1)=p(N2∩R1)
p(N2)=p(R1∩N2)p(N2)=46×26
13 45=29 13
45=29×4513=1013.
2. a.La probabilité detirer une boule rouge,sachant qu"il y a4 rouges etnnoirespour un total den+4
boules est égale à :p=4 n+4. b.La probabilité de tirer quatre boules rouges est égale à?4 n+4? 4 , donc l"évènement contraire, soit l"une au moins des boules est noire, a une probabilité deqn=1-?4 n+4? 4 c.On aqn?0,9999??1-?4 n+4? 4 ?0,9999??0,0001??4n+4? 4 ??0,1?4n+4??0,1(n+4)?4??0,1n+0,4?4??0,1n?3,6??n?36.
On a doncq36=0,9999.
Métropole213 septembre 2012
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
EXERCICE35 points
Commun à tous lescandidats
1.fest dérivable sur ]0 ;+∞[ et sur cet intervalle :
f ?(x)=1 2?1-7x2?
=12x2?x2-7?qui est du signe dex2-7.Doncf?(x)=0??x2-7=0???x-?
7??x+?7?=0??x=?7 oux=?7.
Il y a donc une solution dans l"intervalle ]0 ;+∞[ :? 7. Le trinômex2-7 est positif sauf entre ses racines donc ici sur?0 ;? 7?.Conclusion :fest décroissante sur?0 ;?
7?puis croissante sur??7 ;+∞?; doncf??7?est le mini-
mum defsur ]0 ;+∞[. f7?=12?
?7+7?7? =12??7+?7?=?7. Par définition du minimum, on a donc pour tout entier natureln,un??7 y comprisu0=3, car 32>7.
2. a.un+1-un=1
2? u n+7un? -un=12?7un-un?
=12?7-u2nun?
Comme 12>0,un>0 et queun??7?u2n?7?u2n-7?0?7-u2n?0, on en conclut que
u n+1-un?0Donc la suite
(un)est décroissante. b.La suite(un)étant décroissante et minorée par?7 est donc convergente vers une limite supé-
rieure ou égale à? 7. c.?=1 2? ?+7?? ??2?=?+7????=7????2=7???=?7 (puisque la limite est positive).3.un+1-?
7=12? u n+7un? -?7=12? u n+7un-2?7? =12? u2n+7-2un? 7 un? 12? un-? 7?2 un. (identité remarquable)4. a.Initialisation:u0-?
7=3-?7≈0,35 etd0=1.
On a bienu0-?
7?d0.Hérédité:
Remarque préliminaire : on a démontré queun??7, doncun>1 ou encore1un<1 (2).
Supposons qu"il existe un naturelntel queun-?
7?dn.On a démontré à la question 3 que :
u n+1-? 7=12? un-? 7?2 un. Donc commeun-?7?dn??un-?7?2?d2n, l"égalité du 3 donne : u n+1-?7<12d2n×1un<12d2nd"après l"inégalité (2) ci-dessus.
Finalementun+1-?
7<12d2n??un+1-?7 L"hérédité est établie.
Pour tout entier natureln,
u n-? 7?dn. b.L"algorithme indique que pour quedn?10-9il faut quen?5. On a doncd5?10-9.
Commeu5-?
7 par excès de? 7 à 10-9près.
Métropole313 septembre 2012
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
EXERCICE45 points
Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité 1.Soit A le point d"affixe 1-2i et B le point d"affixe-3+4i.
On a|z-1+2i|=|z+3-4i| ??|z-zA|=|z-zB|??AM=BM.
Les pointsMéquidistants de A et de B appartiennent à la médiatrice de [AB]. On vérifie que|5+5i-1+2i|2=|4+7i|2=16+49=65 et que|5+5i+3-4i|2=|8+i|2=64+1=65. Le point H est bien un point de la médiatrice. VRAIE 2.Il faut vérifier si effectivement--→AC=-2--→ABc"est-à-dire siz--→AC=-2z--→AB.
z --→AC=3-2i-(2-i)=1-i; -2--→AB=-2(1+i-(2-i))=-2(-1+2i)=2-4i. Affirmation FAUSSE. 3.On az?=-?
2 2(1-i)z=z?
2 2+i? 2 2? =z?cos3π4+isin3π4?=z×e3π4. fest donc la rotation de centre O et d"angle3π 4. Comme3π4?=π2l"affirmation est FAUSSE.
4.SoitM(x;y;z) un point deD.
Comme 3(2-t)+1+3t-7=6-3t+1+3t-7=0 tout point deDest un point deP. La droiteDest incluse dans le planP, donc lui est parallèle. Autreméthode:leplanaunvecteurnormal-→n(3; 1; 0)etladroiteDaunvecteurdirecteur-→u(-1; 3; 1).
Or-→n·-→u=-3+3+0=0.
Un vecteur directeur deDest orthogonal à un vecteur normal deP, donc la droiteDest bien paral- lèle au planP. Affirmation VRAIE. 5.La distance du pointAau planPest égale à :
d(A,P)=|1+12+4+1| ?12+32+42=18?26. d 2(A,P)=182
26=32426≈12,46<16 carrédurayondelasphère, donclasphère et leplan sont sécants.
Affirmation VRAIE.
EXERCICE45 points
Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité 1.Une solution "évidente» de cette équation est le couple (-3 ; 3) car :
5×(-3)+6×3=3. Or 18k+3=-3??18k= -6??3k=-1 et cette équation n"a pas de solution
quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8
L"hérédité est établie.
Pour tout entier natureln,
u n-? 7?dn. b.L"algorithme indique que pour quedn?10-9il faut quen?5.On a doncd5?10-9.
Commeu5-?
7 par excès de? 7 à 10-9près.
Métropole313 septembre 2012
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
EXERCICE45 points
Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité 1.Soit A le point d"affixe 1-2i et B le point d"affixe-3+4i.
On a|z-1+2i|=|z+3-4i| ??|z-zA|=|z-zB|??AM=BM.
Les pointsMéquidistants de A et de B appartiennent à la médiatrice de [AB]. On vérifie que|5+5i-1+2i|2=|4+7i|2=16+49=65 et que|5+5i+3-4i|2=|8+i|2=64+1=65. Le point H est bien un point de la médiatrice. VRAIE 2.Il faut vérifier si effectivement--→AC=-2--→ABc"est-à-dire siz--→AC=-2z--→AB.
z --→AC=3-2i-(2-i)=1-i; -2--→AB=-2(1+i-(2-i))=-2(-1+2i)=2-4i. Affirmation FAUSSE. 3.On az?=-?
2 2(1-i)z=z?
2 2+i? 2 2? =z?cos3π4+isin3π4?=z×e3π4. fest donc la rotation de centre O et d"angle3π 4. Comme3π4?=π2l"affirmation est FAUSSE.
4.SoitM(x;y;z) un point deD.
Comme 3(2-t)+1+3t-7=6-3t+1+3t-7=0 tout point deDest un point deP. La droiteDest incluse dans le planP, donc lui est parallèle. Autreméthode:leplanaunvecteurnormal-→n(3; 1; 0)etladroiteDaunvecteurdirecteur-→u(-1; 3; 1).
Or-→n·-→u=-3+3+0=0.
Un vecteur directeur deDest orthogonal à un vecteur normal deP, donc la droiteDest bien paral- lèle au planP. Affirmation VRAIE. 5.La distance du pointAau planPest égale à :
d(A,P)=|1+12+4+1| ?12+32+42=18?26. d 2(A,P)=182
26=32426≈12,46<16 carrédurayondelasphère, donclasphère et leplan sont sécants.
Affirmation VRAIE.
EXERCICE45 points
Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité 1.Une solution "évidente» de cette équation est le couple (-3 ; 3) car :
5×(-3)+6×3=3. Or 18k+3=-3??18k= -6??3k=-1 et cette équation n"a pas de solution
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7 à 10-9près.
Métropole313 septembre 2012
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
EXERCICE45 points
Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité1.Soit A le point d"affixe 1-2i et B le point d"affixe-3+4i.
On a|z-1+2i|=|z+3-4i| ??|z-zA|=|z-zB|??AM=BM.
Les pointsMéquidistants de A et de B appartiennent à la médiatrice de [AB]. On vérifie que|5+5i-1+2i|2=|4+7i|2=16+49=65 et que|5+5i+3-4i|2=|8+i|2=64+1=65. Le point H est bien un point de la médiatrice. VRAIE2.Il faut vérifier si effectivement--→AC=-2--→ABc"est-à-dire siz--→AC=-2z--→AB.
z --→AC=3-2i-(2-i)=1-i; -2--→AB=-2(1+i-(2-i))=-2(-1+2i)=2-4i. Affirmation FAUSSE.3.On az?=-?
22(1-i)z=z?
2 2+i? 2 2? =z?cos3π4+isin3π4?=z×e3π4. fest donc la rotation de centre O et d"angle3π4. Comme3π4?=π2l"affirmation est FAUSSE.
4.SoitM(x;y;z) un point deD.
Comme 3(2-t)+1+3t-7=6-3t+1+3t-7=0 tout point deDest un point deP. La droiteDest incluse dans le planP, donc lui est parallèle.Autreméthode:leplanaunvecteurnormal-→n(3; 1; 0)etladroiteDaunvecteurdirecteur-→u(-1; 3; 1).