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M CUAZ, http://mathscyr free FONCTIONS EXPONENTIELLES EXERCICES CORRIGES Exercice n°1 Résoudre dans les équations suivantes R 1) 2) x

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Fonction exponentielle – Exercices Variations 1 Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la déri- vée et en déduire les variations a b 2 Soit la fonction  

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1 fonction exponentielle de base q : x ↦− → qx avec q > 0 2 3 4 corrigés exercices f est la fonction exponentielle de base q ⇐⇒ quel que soit x ∈ R : ✞

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Corrigé Exercice 1 : Etude de la fonction f définie sur R par f (x) = (2x 2 +x −1)e −x 1 Déterminer lim x→−∞ f (x) 2 a En écrivant f (x) = 2x 2 e−x +x e−x

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de cet objectif, on peut définir la fonction exponentielle dans les classes de Terminale, donc également question à la suite du cours de proposer des exercices 

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fonction exponentielle de base q

Table des matières

1 fonction exponentielle de baseq:x?-→qxavecq >02

1.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 2

1.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 4

1.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 5

1.4 devoir maison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 6

1.4.1 corrigé devoir maison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 6

2 fonction exponentielle de base e8

2.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 8

2.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 9

2.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 10

3 fonctions aveceu11

3.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 11

3.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 11

3.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 12

3.4 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 14

4 devoir maison15

4.1 devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 15

4.2 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 16

4.3 corrigé devoir maison 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 18

1

1 fonction exponentielle de baseq:x?-→qxavecq >0

1.1 activités

activité 1 :(croissance, décroissance exponentielle, continuité)

123456789

0 2 4 6 8-2-4-6-8-10

xq x x?-→1,25xx?-→0,8x x?-→1xune ville compte actuellement1 millier d"habitants

1. si la variation annuelle est de25%

(a) calculer la population dans1,2,10ans (b) exprimer la populationp(x)dansxannées (c) montrer qu"une variation annuelle de25%

équivaut à une variation mensuelle

d"environs1,877% en déduire la population dans6mois (d) proposer un moyen de retrouver ce résultat directement avecp(x) (e) déterminer la population dans7ans et3mois (f) quelle était la population il y a1,2,10ans? (g) quelle était la population il y a3ans et demi? (h) quelle est la nature de la fonctionp:x?-→1,25x?

2. si la variation annuelle est de-20%

(a) calculer la population dans1,2,10ans (b) exprimer la populationr(x)dansxannées (c) déterminer la population dans7ans et2mois (d) quelle était la population il y a8ans et demi? (e) quelle est la nature de la fonctionr:x?-→0,8x?

3. (a) que donne la calculatrice pour-0,52et-0,52,5

(b) pour quelles valeurs deq,f(x) =qxsemble t-elle définie pour tout nombre réelxdeR?

4. essayer de trouverxpour que0,8x= 0ou0,8x=-1ou1,25x= 0ou1,25x=-1?

5. conjecturer le sens de variation et les limites dex?-→qxen fonction deq

activité 2 :(propriétés algébriques)

1. on admet que les égalités sur les puissances entières vuesau collège se prolongent aux nombres réels,

compléter alors les égalités suivantes : (a) quels que soienta?R+?,x?Rety?R:ax×ay=... (b) quels que soienta?R+?,x?Rety?R:ax ay=... (c) quels que soienta?R+?etx?R:1 ax=... (d) quels que soienta?R+?,x?Rety?R:(ax)y=... (e) quels que soienta?R+?,b?R+?etx?R:ax×bx=... (f) quels que soienta?R+?,b?R+?etx?R:ax bx=... (g) quel que soita?R+?:a0=...

2. Montrer queA=B

(a)A= 8×2xetB= 2x+3 (b)A= 100×0,01xetB= 102-2x (c)A=4

0,25xetB= 4x+1

(d)A= 6×0,2x×5×5xetB= 30(e)A=16x

0,53etB= 24x+3

(f)A=15×0,3x

10×0,1xetB= 0,5×3x+1

1.2 à retenir

définition 1 :(fonction exponentielle de baseq) quel que soit le nombre réel positif strictq >0: fest la fonction exponentielle de baseq??quel que soitx?R:????f(x) =qx exemples : i. fonction exponentielle de base2:f(x) = 2x ii. fonction exponentielle de base0,5:f(x) = 0,5x propriété 1 :(fonction exponentielle de baseq) quels que soient les réelsa >0,b >0,xety ???ax×ay=ax+y? ax ay=ax-y????(ax)y=axy? 1 ax=a-x???? ax bx= (ab)x ???ax×bx= (ab)x????a0= 1????a1=a????ax>0(un exponentiel est positif strict) propriété 2:(limite et sens de variation ) quel que soit le nombre réel positif strictq >0: si????q >1 alorsf:x?-→qxest????strictement croissante? limx→+∞qx= +∞? limx→-∞qx= 0 q >1 si????q= 1 alorsf:x?-→qxest????constante? limx→+∞qx= 1? limx→-∞qx= 1 q= 1 si????0< q <1 alorsf:x?-→qxest????strictement décroissante? limx→+∞qx= 0? limx→-∞qx= +∞

0< q <1

exemples: i. soit la fonctionfdéfinie parf(x) = (4 5)x q=4

5= 0,8donc0< q <1doncfest strictement décroissantelimx→+∞(45)x= 0,limx→-∞(45)x= +∞

ii. soit la fonctionfdéfinie parf(x) = (5 4)x q=5

4= 1,25doncq >1doncfest strictement croissantelimx→+∞(54)x= +∞,limx→-∞(54)x= 0

remarques i. aveca?Retq >0, pour résoudre l"équation :? ???qx=aen valeur exacte

on utilisera ultérieurement la fonction logarithme népérien(sinon la calculatrice pour une valeur

approchée) 3 x= 12pourx?2,262au tableau de valeurs de la calculatrice pour une valeur approchée ii. aveca?Retq >0, pour résoudre l"équation :? ???xq=a on utilise la première propriété :? x

3= 12??x= 121/3(valeur exacte)?2,289(valeur approchée)

(ou bien au tableau de valeurs de la calculatrice pour une valeur approchée)

1.3 exercices

exercice 1 :

123456789

0 2 4 6 8-2-4-6-8-10

xf(x)g(x)1. conjecturer la nature des fonctions fetg

2. sous cette hypothèse, déterminer les

formules des deux fonctions sachant que les points marqués sont sur les courbes

3. à quelles variations relatives

correspondent-elles à 1% près?

4.Cgpasse t-elle parA(-7;8)?

5.Cfpasse parB(x;3), que vautx?

exercice 2 : soit le taux d"évolution annuel det= 24%

1. trouver le taux mensuel équivalent àtà0,01%près

2. trouver le taux trimestriel équivalent àtà0,01%près

3. trouver le taux semestriel équivalent àtà0,01%près

4. trouver le taux quotidien équivalent àtà0,01%près

exercice 3 :

une personne placé il y a quelques temps une certaine somme sur un compte épargne à5%d"intérêts

annuels et a ce jour, le compte a un solde de992e

1. la personne souhaite fermer son compte dans deux an trois mois et quatre jours, quel sera alors le

solde du compte?(une année = 365,25 jours; un mois = 30,4375 jours)

2. le compte a été crée il y a10ans trois mois et 20 jours, combien la personne a t-elle placéinitialement?

3. combien de jours devrait-elle attendre au minimum pour que son compte contienne2000e?(on

considère que la banque arrondi à l"euro inférieur) exercice 4 :

123456789

0 2 4 6 8-2-4-6-8-10

xf(x) g(x)on sait quef(x) = 1,5xetg(x) = 1,25x

1. graphiquement,en combien de points ces

courbes semblent-elles pouvoir se couper?

2. trouver la réponse algébriquement

( montrer quef(x) =g(x)??f(x) g(x)= 1 ??1,2x= 1puis conclure)

1.4 devoir maison1.4.1 corrigé devoir maison

corrigé devoir maison

Exercice 1 : (38 p 48)

1. on remarque qu"il semble que la valeur def(x)soit égale à0,25quelle que soit la valeur dex

2.f(x) =1

8(2x)5×0,55x-1=123×25x×125x-1

= 2-3×25x×(2-1)5x-1 f(x) = 2-3×25x×2-5x+1= 2-3+5x-5x+1= 2-2=1

22=14=????0,25

Exercice 2 : (45 p 48)

1.g(x) =qxetg(1) = 2doncq1= 2doncq= 2donc?

???g(x) = 2x k(x) =qxetk(-1) = 1,25doncq-1=1 q= 1,25doncq=11,25doncq= 0,8donc????k(x) = 0,8x

2.h(x) =qxeth(2) = 2doncq2= 2doncq=⎷

2(q=-⎷2est à rejeter carq >0)donc????h(x) = (⎷2)x

3.f(x) =qxetf(0,5) = 0,6doncq0,5=⎷

q= 0,6doncq= 0,62= 0,36donc????f(x) = 0,36x

Exercice 3 : (46 p 48)

1. une baisse de10%correspond à une multiplication parCM= 1-10

100= 0,9donc la valeur de la

machine danstannées est? ???f(t) = 10×0,9t

2.0< q <1donc la fonctionfest strictement décroissante

t0 10 10 f(t)? ?3,487 f(10) = 10×0,910?3,487

3. courbe

graphiquement, la machine perd la moitié de10000e? ???après 6,5 ans numériquement, avec la calculatrice pour résoudref(t)<5 t6,46,5 f(t)5,0414,989 comparaison à5> 5<5 on retrouve 6,5 ans

0123456789

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9xx?-→10×0,9x

Exercice 4 : (47 p 48)

1.? ???f(t) = 50200×0,8t(taux = -20% donne CM = 0,8)

2.t= 0correspond à l"année2011ett= 10correspond à l"année2021

3. numériquement, avec la calculatrice pour résoudref(t)<12500

t6,236,24 f(t)1250112473 comparaison à12500> 12500<12500 on trouve?6,23ans soit durant l"année2011 + 6 =????2017

2 fonction exponentielle de base e2.1 activité

soit la fonctionfdéfinie parf(x) =ex(exponentielx)

la fonction "exponentielle de basee" appelée plus simplement "fonction exponentielle" oùe?2,718(appelé

"nombre de Néper")

1. compléter le tableau de valeurs de defci dessous à 0,1 près

x-5-2-1012 f(x) =excommentaires :?e0=... e

1?...à 0,001

2. construire une partie de la courbe defci dessous ainsi que la tangente enx= 1

123456

-11-1-2-3-4-5y 0 x quandxtend vers+∞... c"est la courbe d"une fonction : convexe - concave

3. tableau de variation def:

x-∞+∞ f?(x) f(x) =ex ?lim x→+∞ex=... lim x→-∞ex=... fest ...

4. tableau de signes def:

x-∞+∞ f(x) =ex ?fne ... fest ...

5.ex= 0??... ex=-2??... ex= 1??... ex= 2??...

6. sachant que les tangentes sont en pointillés, compléter à0,01 près

x-1012 f(x) =ex f?(x) commentaires :???f ?(x) =...quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35