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Thierry Champion - Univ. Toulon - 2017/201836

4 Etude des fonctions numériques

4.1 Limites des fonctions numériques

Dans ce qui suit,

f R R est une fonction numérique dé fi nie sur son ensemble de dé fi nition D f Dé fi nition 36 (limite en un point) Soit l un nombre réel. On dit que la limite de f en a est

égale à

l si 0 0 x D f x a f x l

Dans ce cas, on note

lim x a f x l

On dit que

la limite de f en a est égale à si M R 0 x D f x a f x > M.

Dans ce cas, on note

lim x a f x

On dit que

la limite de f en a est égale à si M R 0 x D f x a f x < M.

Dans ce cas, on note

lim x a f x

Notation 13.

Par abus de langage, on dit souvent

la limite de f x ) quand x tend vers a plutôt que la limite de f en a

Remarque 31.

Au lycée, on dit que la limite de

f en a est égale à l si tout intervalle ouvert I qui contient l contient toutes les valeurs f x lorsque x est su ffi samment proche de a . La dé fi nition ci-dessus exprime cette condition en termes mathématiques précis.

Exemple 54.

On a les limites classiques suivantes :

lim x

0sin(x)

x = 1; lim x

01-cos(x)

x 2 1 2 ; lim x

0ln(1+x)

x = 1; R lim x

0(1+x)

1 x

Remarquez qu'aucune de ces fonctions n'est dé

fi nie en 0, ce qui n'empêche pas de calculer une limite.

Par contre la fonction dé

fi nie sur R par x cos 1 x n'a pas de limite en 0 : quand x s'approche de

0, elle oscille "de plus en plus vite" entre

1 et 1.

Dé fi nition 37 (limite en un point par valeurs supérieures ou inférieures)

Dans cette dé

fi nition l désigne soit un nombre réel, soit ou

On dit que

la limite de f en a par valeurs supérieures est égale à l si la restriction de f a, a pour limite l quand x tend vers a . Dans ce cas on note lim x ax≥a f x l ou lim x a f x l

Thierry Champion - Univ. Toulon - 2017/201837

On dit que

la limite de f en a par valeurs inférieures est égale à l si la restriction de f ,a a pour limite l quand x tend vers a lim x f x l ou lim x a f x l

Remarque 32.

Lorsqu'on étudie la limite de

f en a par valeurs supérieures (ou inférieures), on ne s'intéresse donc qu'aux valeurs de f x ) pour x proche de a et supérieur à a . Cela permet souvent de préciser des comportements de f x ) qui peuvent être di ff

érents selon que

x s'approche de a par au-dessus ou par au-dessous, comme pour la fonction inverse en 0 puisque : lim x

0x≥0

1 x= limx→0 1 1 x= limx→0 1 x= -∞

Exemple 55.

Pour la fonction Logarithme Népérien, on a lim x 0 ln( x Dé fi nition 38 (limite en + Soit l un nombre réel. On dit que la limite de f en est

égale à

l si 0 A R x > A, f x l

Dans ce cas, on note

lim x f x l

On dit que

la limite de f en est égale à si M R A R x > A, f x > M.

Dans ce cas, on note

lim x f x

On dit que

la limite de f en est égale à si M R A R x > A, f xquotesdbs_dbs6.pdfusesText_12