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Exercice 1 1 Soit C le code binaire : C = {00001100,00001111,01010101, 11011101} 1 Quelle est la longueur de C ? 2 La distance minimale de C est la plus 

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Le code par parité impaire n'est pas linéaire, sa capacité de détection est de 1 bit , pour tout n Exercice 4: a: toute erreur sur un nombre impair de bit Pas de 

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J Badrikian, Technosup, Ellipses (cours et exercices) Codes détecteurs et/ou correcteurs Un code qui corrige jusqu'à t erreurs est appelé t-correcteur 

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Exercices Codes Correcteurs On consid`ere le code binaire o`u on envoie 16 bits pour 9 bits significatifs de la mani`ere On rappelle qu'il corrige une erreur

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correction des erreurs Méthodes mises un code détecteur et correcteur d' erreurs Le CRC Exercice : y a-t-il une erreur dans le mot suivant ? 1 0 1 0 1 1

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ii) Quelle est la plus grande dimension d'un code linéaire binaire de longueur 8 qui corrige 2 erreurs? Construire un tel code Exercice 7 Soit C le code linéaire 

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Si on expédie des bits sur un canal binaire symétrique `a raison de 512 bits toutes les millisecondes, avec une probabilité d'erreur de 1 , quel est le nombre de 

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a donné aux codes correcteurs d'erreurs une grande importance Beaucoup Les codes utilisés sont souvent des codes de Hamming pouvant corriger une il ne peut pas être corrigé Par exemple (1000101) exercice : en trouver d'autres

[PDF] Exercice 1 Exercice 2

Feuille n°7 : codes correcteurs d'erreurs Les premiers exercices de cette feuille sont tirés de la base WIMS Exercice 1 1 Votre correspondant vous a transmis 

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C'est-à-dire, que le code corrige jusqu'à 7 erreurs de transmission : dans ce Exercice Soit p = ps la probabilité des perturbations de symboles au cours de la  

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Securite et Fiabilite des reseaux

R. Rioboo

Ann ee 2017-2018

Exercices Codes Correcteurs

Exercice 1

Donner la distance de Hamming entre les mots 100011111000 et 000011001000

| lorsqu'on les interprete dansF122| lorsqu'on les interprete dansF48ouF4est represente de la maniere suivante :0000

1001
010 + 1011 2100

2+ 1101

2+110

2++ 1111

Exercice 2

On considere le code binaire ou on envoie 16 bits pour 9 bits signicatifs de la maniere suivante : | on envoie les trois premiers bitsp1,p2,p3suivis d'un bit de parite (paire)b1, | on envoie les trois bitss1,s2,s3suivants suivis d'un bit de parite (paire)b2, | on envoie les trois derniers bitsd1,d2,d3suivis d'un bit de parite (paire)b3, | on envoie un paquet de 4 bits de contr^olec1,c2,c3,c4ouc1=p1+s1+d1,c2=p2+s2+d2, c

3=p3+s3+d3etc4=b1+b2+b3.

1. Montrer que ce code est lineaire, donnez sa matrice generatrice c'est a dire la matrice dont

les lignes sont formees des images des vecteurs de base deF92.

2. Coder le mot 100111000.

3. On suppose avoir recu le mot 0110101101100011. Retrouvez le mot envoye.

Exercice 3

Dans une procedure de contr^ole d'erreurs on decide d'envoyer des blocs de 12 bits en les codant sur deux octets de facon a ce que les 16 bits envoyes soient multiples deX4+X+1. Pour envoyer un blocPi=12 i=1bi, on l'interpr^ete comme le polyn^omePi=12 i=1biX12i. Ainsi le bitb1est le terme de plus haut degre du polyn^ome. | Interpreter le bloc de 12 bits 100110 011010 ou le premier bitb1est 1 en un polyn^omePu | On obtientPequi transite sur le reseau en ecrivant la division Euclidienne X

4Pu=K:(X4+X+ 1)R

etPevautX4Pu+R. Appliquer la procedure de codage surPupour obtenirPe. | Interpreter le bloc de 16 bits 10011100 11100110 avec les m^emes conventions que precedement pour obtenir un polyn^omeP0e. Appliquer la procedure de verication surP0e, est-il correct?

Exercice 4

On considere le codeCbinaire dont la matrice generatrice est : M=2

41 0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 1 0

0 0 1 0 1 0 13

5

1. Donner tous les mots deC,

2. donner la distance minimale deC, combien d'erreurs peut on corriger? Detecter?

Exercice 5

On considere le codeCbinaire dont la matrice generatrice est : M=2 6

641 0 1 0 0 0 1 0 1

0 1 1 0 0 0 0 1 1

0 0 0 1 0 1 1 0 1

0 0 0 0 1 1 0 1 13

7 75
Donner tous les mots deC, donner la distance minimale deC, combien d'erreurs peut on corriger?

Detecter?

Exercice 6 (

Enumerateurs de poids)

SoitKun corps ni, combien y a-t-il de mots deKnde poidsi?

Exercice 7 (Correction d'erreurs)

On reprend le codeCde la seance precedente donne par la matrice generatrice G=2

41 0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 1 0

0 0 1 0 1 0 13

5

On rappelle qu'il corrige une erreur.

| Calculer les syndromes des mots de poids 1. | Decoder le mot recu 1111011.

Exercice 8 (Codes Cycliques)

On admettra que le polyn^omeP(X) =X4+X+ 1 est irreductible dansF2[X], verier que c'est un diviseur deX15+ 1. On considere le code cycliqueCengendre parPquelle est sa longueur? Quelle est sa dimension On rappelle que le codage cyclique d'un polyn^omePu(X) s'obtient en faisant une multiplication par X k(oukest le degre du polyn^ome generateur du code) suivie d'une division euclidienne.

Coder le polyn^omePu(X) =X10+X7+X5+X4+X+ 1.

Comment obtenir la matrice generatrice deC?

Exercice 9

On considere le codeCdont une matrice generatrice est G=2 6

66641 1 0 0 1 0 1

0 1 1 1 1 0 0

0 1 0 1 0 1 1

1 0 0 1 1 0 0

1 0 0 0 1 1 13

7 7775
En utilisant la methode de Gauss, MettezCsous forme systematique. En deduire une matrice de contr^oleHpourC. Calculer le syndrome du mot 1111000. Pouvez vous le decoder? 2

Exercice 10 (codes Cycliques)

On interprete une suite de 3 bitsb1;b2;b3comme l'elementb1+b2+b32=B() deF8represente parF2[]= < 3++ 1>. On interprete ensuite une suiteB1();B2();B3() de 3 mots de 3 bits comme un polyn^omeB(X) =B1()+B2()X+B3()X2deF8[X]. Ce polyn^ome est ensuite code sur 15 bits en envoyant le polyn^omeC(X) =X2B(X)+R(X) ouRest le reste de la division euclidienne deX2B(X) parX2+X+ 1.

1. Coder la suite de 9 bits 110 100 001.

2. Ce code etant vu comme un code surF58, donner sa matrice generatrice.

3. Ce code etant vu comme un code surF152, montrer que le code est lineaire et donner sa

matrice generatrice.

Exercice 11 (Codes cycliques)

On se place surF4et on noteson generateur. Verifer que le polyn^omeG(X) =X3+est irreductble dansF4et que c'est un diviseur deX9+ 1. On considere le code cyclique de longueur 9 dansF4engendre parG(X). En calculant les puissances successives deXdansF4[X]=< G(X)>donner sa matrice generatrice et sa matrice de contr^ole en tant que code surF4.

Exercice 12 (Codes BCH)

Montrer queX4+X+1 est irredcutible dansF2[X], on admettra qu'il diviseX15+1. On se place dansF16represente parX4+X+ 1 et on notele generateur deF16. Montrer que2et4sont aussi racines deX4+X+ 1 dansF16et que3est racine de X

4+X3+X2+X+ 1. On admettra que ce dernier polyn^ome est egalement diviseur deX15+ 1.

Donner 4 racines consecutives du polyn^ome (X4+X+1)(X4+X3+X2+X+1). En deduire d'apres la borne BCH que le code cyclique de longueur 15 surF2engendre parX8+X7+X6+X4+1 est 2 correcteur. Quelle est sa dimension? 3quotesdbs_dbs30.pdfusesText_36