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???? ???ajb??bja? ?????b=ac????c2N??a=bd????d2N? ????b= (bd)c=b(dc)? ??dc2N? ?? ??? c= (ac)d=a(cd)? ??cd2N? ?? ??? ?????? ???ajc? q+q02Z? ????aj(b+c)? ???D(a) =D(b)? ???a=b??a=b? a=b? ?? ??? ????? ???D(a) =D(b)? ??a=b? ?????D(a) =D(b) =D(b)?

13 = 62 + 1? ????q0= 6??r0= 1?

6 = 32 + 0? ????q1= 3??r1= 0?

3 = 12 + 1? ????q2= 1??r2= 1?

1 = 02 + 1? ????q3= 0??r3= 1?

(13)

10= (111)3= (16)7?

????32= 9(mod10) =1(mod10)? ????312= (1)6(mod10) = 1(mod10)? ?? ?????? ??????? ??? ???? ?? 100

327(mod13)1(mod13)????? ???? ????k2N?

100

3k= (1003)k1(mod13):

101(mod3)? ????

1000 = 10

31(mod3):

100

1000= 1003k+1= 1003k100(19)(mod13)9(mod13):

???????09<13? ?? ????? ??????? ??? ???? ? ??

9k2Z:a=b+kn:

a n= (b+kn)n=nX p=0C pnbnpkpnp=bn+C1nbn1kn+nX p=2C pnbnpkpnp: a nbn=bn1kn2+nX p=2C pnbnpkpnp=" b n1k+nX p=2C pnbnpkpnp2# n 2:

8j72k+1+ 1()72k+1+ 10(mod8)()72k+1 1(mod8):

7

2(k+1)+1+ 1 = 72k+172+ 1(11 + 1)(mod8)0(mod8);

?? ???? ? ??????? ?? ???? ???72= 491(mod8)? ????8j72(k+1)+1+ 1? ??? ???????7 1(mod8)?7n(1)n(mod8)? ??n??? ????? ?? ? ????7n1(mod8)? ???? 7 n+ 1(1 + 1)(mod8)2(mod8):

R2 f0;:::;9g??? ???7(77)=R(mod10)?

??????N= 77? ?? ? ?72= 49 =1(mod10)? ????74= 1(mod10)? ???? ???? ????q2N?74q= (74)q= 7

N= 74q+r= 7r(mod10):

7 = 3(mod4) =)72= 9(mod4) = 1(mod4) =)76= 1(mod4) =)77= 7(mod4) = 3(mod4):

7 N= 73(mod10) = (727)(mod10) = (17)(mod10) = 3(mod10): 2 (4n+1)= 24n4= (24n)4= 24(mod7) = 16(mod7) = 2(mod7): ????2(4n+1)+ 5 = 0(mod7)?

61542 = 96514 + 2916?

6514 = 22916 + 682?

2916 = 4682 + 188?

682 = 3188 + 118?

188 = 1118 + 70?

118 = 170 + 48?

70 = 148 + 22?

48 = 222 + 4?

22 = 54 + 2?

4 = 22 + 0?

axb(modn)() 9k2N:axb=kn: ??? ??????? ???X??? ??? ????? ??? ??????? ??? ?? ??????? ?? ???? ??????? ?? ?? ?????4k+ 1??? ?????? ?? ????? ?????? ??? ?? ??????? ???X??? ??? ?? ?? ??????? ?????X=fp1;:::;png? ????a= 4p1 pn1? ??????? ??? (4k+ 1)(4k0+ 1) = 16kk0+ 4k+ 4k0+ 1 = 4(4kk0+k+k0) + 1:

4p1 pn=a+ 1 = 4k+ 2;????2p1 pn= 2k+ 1:

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