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Le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l'axe O; i du domaine plan limité par la courbe de la fonction f , les droites 

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14 sept 2020 · On intègre ensuite les aires des surfaces obtenues par ce découpage suivant l' axe normal à ces plans Solide de révolution : solide engendrée 

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avec : aire totale : aire latérale : aire d'une base Parallélépipède rectangle : cylindre de révolution : Rappel : un prisme droit est un solide de l'espace dont deux 

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II Les solides de révolution Un solide de révolution est engendré par une surface plane fermée qui tourne autour d'un axe situé dans le même plan

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En effet, l'aire sous la courbe correspond à l'aire du rectangle de base égale au M Decamps Page 24 5 5 2 Calcul du volume d'un solide de révolution

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Calculer l'aire du domaine limité par les courbes d'équations : b) Déterminer le volume du solide engendré par la révolution de ce domaine autour de l'axe

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On veut calculer la valeur exacte du volume du solide de révolution engendré par la courbe lors de sa rotation autour de l'axe des abscisses On rappelle que la 

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3 6 Calcul du volume d'un solide de révolution À la section précédente nous avons utilisé l'intégrale pour obtenir l'aire d'une région bornée par deux courbes

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DERNIÈRE IMPRESSION LE14 septembre 2020 à 13:00

Calcul du volume d"un solide de révolution

1 Présentation d"une méthode de calcul

ci par des plans parallèles. On intègre ensuite les aires des surfaces obtenues par ce découpage suivant l"axe normal à ces plans.

Solide de révolution :solide engendrée par

une surface de révolution Surface de révolution :surface engendrée par une courbe (directrice) tournant autour d"un axe. Si l"axe (Oz)est l"axe de révolution, le volume V du solide de révolution est égal à : V=? b aS(z)dz=? b aπr2(z)dz •dzz r(z)S(z) ab

2 Volume d"une sphère

On découpe la sphère avec des plan perpendiculaires à l"axe (Oz). Les surfaces obtenues sont des disques de rayonr(z)d"aire :S(z) =πr2(z). Dans OMN rectangle en N, d"après le théorème de

Pythagore :r2(z) =R2-z2.

On obtient alors le volume de la sphère :

V=? R -RS(z)dzsymétrie=2? R

0π(R2-z2)dz

=2π? R 2z-z3 3? R 0 =2π? R

3-R33?

=43πR3 •••Nr(z) R -RR O M

3 Volume d"un cône

On découpe le cône d"axe (Oz)avec des plans perpendiculaires à l"axe (Oz). Les surfaces obtenues sont alors des disques de rayonr(z).

Dans OBB" les droites (AA") et (BB") sont paral-

lèles, d"après le théorème de Thalès : OA

OB=AA"BB"?zh=r(z)R?r(z) =Rzh

On obtient ainsi le volume du cône :

V=? h

0πr2(z)dz=?

h

0πR2z2

h2dz=πR2h2? h 0z2dz

πR2

h2? z33? h 0 =πR2h2? h33? =13πR2h h OA B B" A"R r(z)

PAUL MILAN1TERMINALE MATHS SPÉ

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