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Licence de Mathématiques : Intégration, Analyse de Fourier et Probabilités Page 2 I F P 2003–2004 Ce polycopié regroupe les devoirs à la maison, D S et examens donnés en I F P On note λ la mesure de Lebesgue sur R Soit A l' ensemble des réels x pour 10 points sur tout ce qui précède (exercices et problème)

Soit m la mesure de Lebesgue sur R et soit ε > 0 arbitrairement petit 10 Corrigé de l'examen 5 Exercice 1 (a) Faisons ε := 1, prenons n := N(1), et, pour tout x

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de Licence de Mathématiques INTEGRATION, Feuille d'exercices 1 nombre premier, chercher les diviseurs de 0 de Z/nZ pour n ∈ {4,6,8,9,10} et lire un Soit X un ensemble et µ la mesure de comptage définie sur P(X) par µ(A) = CardA Corrigé cf l'exercice 1 du 14/11/1998 dans le paragraphe examens corrigés

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Licence de mathématiques Intégration par rapport `a une mesure image 28 TRIBUS MESURES 10 f Supposons que E est engendrée par une partition au

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Exercice 3 Soit (E,T ,µ) un espace mesuré et (An)n∈Nune suite d'éléments de T 1 Exercice 10 1) Soit U un ouvert de R Si U est borné, montrer que λ(U) est finie Exercice 13 Intégration terme `a terme d'une série de fonctions positives

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mesure extérieure de E qui, lorsque E est un intervalle, se réduit `a sa lon- gueur 10 Montrer qu'un ensemble E ⊆ R est mesurable si et seulement si on

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10 CHAPITRE 2 THÉORIE DE LA MESURE Remarque 2 3 7 La valeur de ∫ Ω f(x)µ(dx) est indépendante de la partition associée `a f 2 4 Fonctions

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3 Année Licence Mathématiques, Mesure et Intégration Exercices corrigés Exercice 1 Question 1 1 − 1=0 si µ(A)=1 ou bien 1 − 0=1 si µ(A)=0 10

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Mesure extérieure Fonctions mesurables 2 Intégration des fonctions Intégration des THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DE L'INTÉGRATION 10 THÉORÈME 2 — Soit [ ] f : a,b E → llmib s_1j,n ple s de îzt td'fons tncSc) rablAS 4 A l:_Lt