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MESURE ET INT´EGRATION
EN UNE DIMENSION
Notes de cours
Andr´e Giroux
D´epartement de Math´ematiques et StatistiqueUniversit´e de Montr´eal
Mai 2004
Table des mati`eres1 INTRODUCTION21.1 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 ENSEMBLES MESURABLES52.1 Mesure ext´erieure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52.2 Ensembles mesurables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82.3 Mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153 FONCTIONS MESURABLES173.1 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .214 INT´EGRATION234.1 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .355 ESPACES DE LEBESGUE395.1 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .496 D´ERIVATION536.1 Fonctions `a variation born´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . .536.2 Fonctions absolument continues. . . . . . . . . . . . . . . . .626.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .677 INT´EGRATION ABSTRAITE707.0.1 Le mod`ele probabiliste. . . . . . . . . . . . . . . . . .767.1 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .798 INT´EGRALES IT´ER´EES818.1 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .899 APPLICATIONS919.1 S´erie de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .919.2 Transform´ee de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1009.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1101
1 INTRODUCTION
L"aire d"un rectangleRde cˆot´esaetbestab, par d´efinition. Lorsque aetbsont des entiers, cette aire est ´egale au nombre de carr´es de cˆot´e unit´e n´ecessaires pour recouvrirR. L"aire du triangle rectangle de baseaet de hauteurbest bien ´evidemmentab/2. On en d´eduit l"aire d"un triangle quelconque puis, par triangulation, celle d"un polygone arbitraire. Le calcul de l"aire d"un domaineDd´elimit´e par des courbes plus com- plexes, par exemple des arcs de cercle ou des segments de parabole, n´ecessite un passage `a la limite. Dans le cas o`uDest d´etermin´e par le graphe d"une fonctionfcontinue et positive sur un intervalle compact [a,b]1, consid´erons avec Riemann une partitionPde l"intervalle [a,b] : P={x0,x1,x2,...,xn}o`ua=x0< x1< x2<···< xn=b.Alors la somme sup´erieure
S(f,P) =n?
fournit une borne sup´erieure pour l"aire requise et la somme inf´erieure s(f,P) =n? en fournit une borne inf´erieure. En utilisant les propri´et´es des fonctions continues sur les intervalles compacts, on montre que inf{S(f,P)| P}= sup{s(f,P)| P} et c"est cette valeur commune que l"on prend pour mesure de l"aire du do- maineD. On exprime ceci en disant que la fonctionfest int´egrable au sens de Riemann sur l"intervalle [a,b], d"int´egrale b af(x)dx= inf{S(f,P)| P}= sup{s(f,P)| P}.1[a,b] d´esigne un intervalle contenant ses extr´emit´es, ]a,b[ d´esigne un intervalle ne
contenant pas ses extr´emit´es et (a,b) d´esigne un intervalle contenant peut-ˆetre ses extr´emit´es.2 Lorsque la fonctionfn"est pas continue, il n"est plus certain qu"elle soit int´egrable au sens de Riemann, mˆeme si elle est positive et born´ee. Un exemple d"une telle fonction est fourni par la fonction indicatrice des nombres rationnelsf=IQ, d´efinie par IQ(x) =?1 six?Q
0 sinon,
qui n"est int´egrable sur aucun intervalle [a,b] puisque l"on a toujoursS(IQ,P) =b-a , s(IQ,P) = 0.
On peut essayer d"´elargir la classe des fonctions int´egrables, et ceci est l"objet de notre cours, en consid´erant avec Lebesgue des partitions de l"axe des ordonn´ees plutˆot que des partitions de l"axe des abscisses. Nous ´etendrons d"abord la notion de longueur d"un intervalle,λ([a,b]) =b-a,
`a une classe plus vaste d"ensembles (nous les nommerons : ensembles me- surables et la longueur g´en´eralis´ee : mesure). Nous consid´ererons alors la somme m(f) =m? k=0kmλ(Ek) o`u E k=? etλ(Ek) est la mesure deEk. ( Pour all´eger l"expos´e, nous avons suppos´e ici une bonne approximation de l"aire du domaineDcherch´ee : lorsquemest grand en effet,fest presque constante surEk. La complexit´e de la fonction se traduit par la complexit´e des ensemblesEk. Sifest monotone par exemple, les ensemblesEksont des intervalles et la sommeσm(f) se r´eduit `a la somme s(f,P) correspondante. Pour une classe tr`es vaste de fonctions (nous les appellerons : fonctions mesurables), nous verrons que lim m→+∞σm(f) existe et g´en´eralise effectivement la notion d"aire pr´ec´edemment obtenue. Une telle fonction sera dite int´egrable au sens de Lebesgue, d"int´egrale 1 0 f= limm→+∞σm(f).3 La propri´et´e de la mesure qui permettra ces d´eveloppements est la pro- pri´et´e d"additivit´e : d´esignant par? nEnla r´eunion d"une suite finie ou infinie d"ensembles mesurables deux `a deux disjoints2, nous aurons nE n? nλ(En) et c"est sur cette propri´et´e fondamentale que reposera toute la th´eorie.1.1 Exercices1.V´erifier que la fonction
x?→IQ(x) est partout discontinue.2.D´eterminer l"ensemble des points de continuit´e de la fonctionx?→xIQ(x).3.D´eterminer les ensemblesEkassoci´es `a la fonctionIQ.2et parE1+E2la r´eunion de deux ensembles disjoints.4
2 ENSEMBLES MESURABLES
Nous allons g´en´eraliser la notion de longueur en deux ´etapes. Nous asso- cierons d"abord `a tout ensembleE?Run ´el´ementλ?(E) de [0,+∞]3appel´e mesure ext´erieure deEqui, lorsqueEest un intervalle, se r´eduit `a sa lon- gueur. Nous restreindrons ensuite la fonctionE?→λ?(E) ainsi d´efinie sur l"ensembleP(R) de toutes les parties deR`a une familleLappropri´ee d"en- sembles de fa¸con `a avoir la propri´et´e d"additivit´e. Ces ensembles seront les ensembles mesurables et la fonction restreinte sera la mesure. Nous verrons ensuite des exemples d"ensembles mesurables et ´etudierons des propri´et´es suppl´ementaires de la mesure.2.1 Mesure ext´erieure
Lamesure ext´erieureλ?(E) d"un ensembleE?Rest d´efinie par l"´equation ?(E) = inf?? k(bk-ak)|E?? k]ak,bk[? ,(1) la borne inf´erieure ´etant calcul´ee sur la famille des suites finies ou infinies d"intervalles ouverts{]ak,bk[}krecouvrantE. Pour ´etudier ses propri´et´es,nous nous appuierons sur le th´eor`eme suivant.Th´eor`eme 1 (Borel-Lebesgue)Tout recouvrement d"un intervalle com-
pact[a,b]par des intervalles ouverts{]aα,bα[}α?Acontient un sous-recouvrement fini.D´emonstration.
Supposons le contraire. Alors au moins l"un des deux intervalles [a,a+b2],[a+b2,b] ne pourrait ˆetre recouvert par un nombre fini des intervalles ]aα,bα[. Donc au moins l"un des quatre intervalles[a,3a+b4],[3a+b4,a+b2],[a+b2,a+ 3b4],[a+ 3b4,b]3On convient que sia?[0,+∞],a+(+∞) = +∞, que sia?]0,+∞],a×(+∞) = +∞
et enfin que 0×(+∞) = 0.5 ne pourrait l"ˆetre. Ainsi de suite. On obtiendrait de cette fa¸con une suite d"intervalles emboˆıt´es, I1?I2?I3? ···,
dont leni`emeaurait pour longueur (b-a)/2n. L"intersection de tous ces intervalles se r´eduirait `a un pointxde [a,b]. Il existerait donc un intervalle ]aα,bα[ contenant ce point et, par suite, tous les intervallesIn`a partir d"un certain rang, contredisant leur d´efinition. C.Q.F.D. Dans le th´eor`eme suivant,E+x0d´esigne le translat´e deEparx0:E+x0={y|y=x+x0, x?E}.
(Ne pas confondreE+x0avecE+{x0}.)Th´eor`eme 2La mesure ext´erieureλ?:P(R)→[0,+∞]poss`ede les pro-
kE k? kλ ?(Ek).D´emonstration.
La premi`ere propri´et´e (monotonie) suit de ce que tout recouvrement deF est aussi un recouvrement deEet la deuxi`eme (invariance sous translation) d´ecoule de ce que la longueur d"un intervalle est invariante sous translation. Pour d´emontrer la troisi`eme, consid´erons d"abord le cas d"un intervalle compact [a,b]. Soit? >0. La relation [a,b]?]a-?,b+?[ montre que donc,? >0 ´etant arbitraire, que Pour obtenir l"in´egalit´e oppos´ee, il suffit, en vertu du th´eor`eme de Borel-Lebesgue, de montrer que, si
[a,b]?N? k=1]ak,bk[, on a k=1(bk-ak). Pour ce faire, on peut supposer que les intervalles du recouvrement fini sont´enum´er´es de telle sorte que
a1< a < a2< b1< a3< b2<···< aN-1< bN-2< aN< bN-1< b < bN.
Alors (bN-aN) + (bN-1-aN-1) +···+ (b2-a2) + (b1-a1) =bN+ (bN-1-aN) + (bN-2-aN-1) +···+ (b1-a2)-a1 > bN-a1> b-a.
Si l"intervalle (a,b) est born´e, les inclusions [a+?,b-?]?(a,b)?[a,b] entraˆınent Enfin, si l"intervalle (a,b) n"est pas born´e, il contient des intervalles born´es de mesure ext´erieure arbitrairement grande et, par monotonie, ?((a,b)) = +∞=b-a. Pour d´emontrer la quatri`eme propri´et´e (sous-additivit´e), consid´erons pour chaquekune suite d"intervalles ouverts{]akj,bkj[}jtels que E k?? j]akj,bkj[,? Alors les intervalles{]akj,bkj[}j,kforment une famille au plus d´enombrable (c"est-`a-dire peuvent ˆetre rang´es en une suite finie ou infinie) telle que kE k?? k? j]akj,bkj[,7 d"o`u kE k? k? kλ ?(Ek) +?.C.Q.F.D.
2.2 Ensembles mesurables
La fonctionλ?que l"on vient d"introduire ne devient additive que si on la restreint `a la classe des ensembles mesurables. Un ensembleE?Rest un ensemble mesurablesi quel que soitA?R, λ?(A) =λ?(AE) +λ?(AEc).Puisque, par sous-additivit´e, on a toujours
il suffit, pour d´emontrer qu"un ensembleEest mesurable, de v´erifier l"in´egalit´e quel que soitA?R, λ?(A)≥λ?(AE) +λ?(AEc) et, pour ce faire, on peut bien sˆur supposer que ?(A)<+∞.Th´eor`eme 3Pour toute suite finie ou infinie d"ensembles mesurables{Ek}k deux `a deux disjoints, on a kE k? kλ ?(Ek).D´emonstration.
Consid´erons un ensembleA?Rquelconque et v´erifions d"abord, par r´ecurrence surN, que N? k=1AE k? =N? k=1λ ?(AEk).(2)8 Cet ´enonc´e est en effet trivial pourN= 1 et, s"il est vrai pourN, N+1? k=1AE k? N+1? k=1AE k? E N+1? N+1? k=1AE k? E cN+1? =λ?(AEN+1) +λ?? N? k=1AE k? =N+1? k=1λ ?(AEk). que N? k=1E k? =N? k=1λ ?(Ek). N k=1λ ?(Ek) =λ?? N? k=1E k? k=1E k? donc que k=1λ k=1E k?La sous-additivit´e de la mesure ext´erieure implique l"in´egalit´e oppos´ee. C.Q.F.D.
Nous d´enoterons parLla famille des ensembles mesurables. Le th´eor`eme suivant peut s"´enoncer en disant que cette famille forme ce que l"on appelle unetribu.Th´eor`eme 4La familleL?P(R)des ensembles mesurables poss`ede lespropri´et´es suivantes :1.Rest mesurable;2.le compl´ementaireEcd"un ensemble mesurableEest mesurable;3.la r´eunion d"une suite finie ou infinie d"ensembles mesurables{Ek}k
est mesurable;4.l"intersection d"une suite finie ou infinie d"ensembles mesurables{Ek}k est mesurable.9