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Modèle de Bohr Modèle planétaire: l'électron décrit une trajectoire (orbite) circulaire autour du noyau de charge Z Z é orbite Ingrédients 

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Reste à démontrer théoriquement l'existence de la quantification...

Modèle de Bohr (1913)

Modèle de Bohr

Modèle planétaire: l'électron décrit une trajectoire (orbite) circulaire autour du noyau de charge Z

Z orbite

Ingrédients

Modèle de Bohr

Z r!!=dvdt!T+v2r!N r est la distance Noyau-électron Equation fondamentale de la dynamique: !N!F!=me!!!T

Modèle de Bohr

Mouvement circulaire uniforme : Forces en présence: 1-Attraction d'origine électrostatique é-Noyau 2-Attraction gravitationnelle é-Noyau

dvdt=0!!!=v2r!N!FG=GmeMNr2!N!FCoulomb>>!FG!me!!"Ze24"#or!N=mev2r!N14!"o=8.99 109Nm2/C2!FCoulomb!1.602 10"19210"208.99109=2.310"8Newton!FGrav.!6.674210"111.673x10"279.1110"31 10"20!10"47Newton

G = 6,6742.10

-11

N·m

2

·kg

-2 . AN: !FCoulomb=Ze24!"or2!N

Modèle de Bohr

Hypothèse fondamentale de Bohr: Seules certaines orbites sont possibles le moment cinétique de l'électron est quantifiée.

!r!!v"!r#!v=!r !vZe24!"or2=mev2r avec J=merv=n!

Pour une trajectoire circulaire,

!J=!r!!p=me!r!!v=n!=nh2! [h]=Js=KL 2 T -2 .T [J]=L KLT -1 =[h]

Modèle de Bohr

v=n!mer !e2Z4!"or2=men2!2me2r3 !1r=e2Z me4!"on2!2Etotale=Eéc+Ep=12mev2+Ep(?) Expression de l'énergie totale du système électron-Noyau (fixe)

Modèle de Bohr

Def:!Ep=Ep(")#Ep(r)=#!Wextr"$=#F!"extr"$. dr!"!

Z !NF!"ext=F!"coulomb=Ze24!"or2N!"!, dr!"!=!N!"!dr!"Ep=Ep(#)$Ep(r)=Ze24!"or!Ep(r)=$Ze24!"or! r !Wextr!"=F!"extr!". dr!"!=#Ze24!"or2dr=Ze24!"o1r$%&'()r!"r!=#Ze24!"or

Modèle de Bohr

Etotale=Ec+Ep=12mev2!14!"oZe2ror mv2r=Ze24!"or2"Ec=12mv2=12Ze24!"or=!Ep2

Modèle de Bohr

Etotale=Ec+Ep=Ep2=!14!"oZe22r=!Ze22e2Z me(4!"o)2n2!2=!12Z2e4me(4!"o)2!2"#$$%&''1n2Etotale=!12mee4(4!"o)2!2"#$$%&''Z2n2

Les niveaux d'énergie sont quantifiés (nombre quantique principal n) L'atome peut passer d'un état d'énergie Ei à un état d'énergie Ef par absorption ou emission d'un photon:

Ef!Ei=h!

E=f(n)

mee4(4!"o)2!2!"##$%&&=KC4J2T2(C2N'1L'2)2=KN2L4J2T2Ec=12mv2!"#$%&=J[]=KL2T'2W(J[]=F.L[]=N L)N=KL2T'2L=KLT'2)KN2L4J2T2=K(K2L2T'4)L4(K2L4T'4)T2=KL2T'2=J

Dimension Termes entre crochets:

Etotale=!12mee4(4!"o)2!2"#$$%&''Z2n2=!12e'2aoZ2n2 (avec e'2=e24!"o et (4!"o)!2mee2"#$$%&''=ao (rayon de Bohr)

Dimension de ?? Expression de E

totale en fonction du rayon de Bohr

mee2(4!"o)!2!"##$%&&=KC2J2T2(C2N'1L'2)=KNL2J2T2N=KLT'2(KNL2J2T2=K(KLT'2)L2(K2L4T'4)T2=L'1(4!"o)!2mee2!"##$%&&=L=ao(rayon de Bohr)(4!"o)!2mee2!"##$%&&

Etotale=!12mee4(4!"o)2!2"#$$%&''Z2n2=!12e'2aoZ2n2e'2ao=27.2 eV1r=e2Z me4!"on2!2 Si Z=1 (atome H) E1=!12*e'2ao=-13.6 eVE2=!12*e'24ao=-3.4 eVE3=!12*e'29ao=-1.51 eV... etc!r =4!"on2!2e2Z me = n2aoZ

Rappel(s)

E,p=!k=h!E=h!,p=!k=h"i!!"("r,t)!t=H"("r,t)Etotale=!12mee4(4!"o)2!2"#$$%&''Z2n2=!12e'2aoZ2n2!r =n2Z4!"o!2e2me = n2Zao(4!"o)!2mee2!"##$%&&=ao

Dualité Onde-corpuscule Onde

Corpuscule

Diffraction Lorsque un faisceau lumineux rencontre un obstacle ou une ouverture dont les dimensions sont voisines de sa longueur d'onde, la lumière ne se propage plus en ligne droite Interférences lumineuses En 1905, Albert Einstein : la lumière serait constituée de petits " grains d'énergie » qui transportent chacun une énergie Effet photoélectrique mo=masse au repos de l'électron

Effet Compton

Pour Einstein, le photon est une particule transportant l'énergie !p=E!vc2 E=moc21!v2c2 m=mo1!v2c2 Mais la lumière (vide) se propage à la vitesse de la lumière: les photons sont relativistes

E=h!!p=!mo!v E=!moc2 avec !=11!v2c2

ou Puisque la vitesse du photon est égale à la vitesse de la lumière c, v=c !=11!v2c2"# !!

L'énergie du photon serait donc indéterminée ?? Or d'après Planck et Einstein, l'énergie du photon possède une valeur finie,

E=hv

La contradiction ne peut être levée que si l'on considère que la masse du photon est nulle (m

o =0) et E=hv est la valeur limite E=mc 2 , lorsque v->c

E=moc21!v2c2 limEmc2v!c"h!

Le photon ne peut-être considéré que comme une particule de masse nulle et de vitesse limite c

λ Θ=90° I λ Θ=135° I Λ' Θ=0° I Δλ λ λ Λ' Δλ Loi Or la thé orie ondul atoire prévoit que les radiations diffusées ont même λ que la radiation incidente car le milieu de propagation est le même !!

h!+moc2=Eé+h!'

Conservation de l'énergie

h!+moc2

Conservation de la quantité de mvt

!p="!k!p=!pé+!p'

Effet Compton

si !=k!"cos2"!!=1"I(x)#0 (interférences constructives)

Dualité Onde-corpuscule Fonction d'onde

Retour sur l'expérience des fentes d'Young: Constat=> Figure d'interférences:

Interférences lumineuses - Franges d'Young!

TP Interférences.DOC - C. Baillet - ENCPB / RNChimie - 2006!"

Interférences lumineuses

Principe!

#$%!&'()*+,)$%! -./)0$12(1$)3$%!1(%450$)0!-$!56!%4&$1&*%/0/*)! -$!7!*)-$%! 54+/)$4%$%8! 95%!)$!

5$%!*)-$%!%*)0!3*'(1$)0$%=!

$55$%!%*)0!&61655,5$%=! $55$%!*)0!+>+$!6+&5/04-$=!*4!&1$%;4$8! @*/0!@!4)$! %*413$!&*)304$55$! +*)*3'1*+60/;4$! (356/16)0!7!2$)0$%! @ A !$0!@ 7 !&1*3'$%!5.4)$!-$!

5.6401$=!+6/%!6%%$B!(5*/?)($%!-$!@8!S

1 et S 2 jouent le rôle de sources cohérentes=!3.$%0!C!-/1$! A !$0!@ 7 @*/0!5$;4$5!*)!*D%$1:$!5$%!216)?$%8!

E6)%!5$!01/6)?5$!@

A 7

N! 7 NO@ A 7 !H!O6! #.6)?5$!!$%0!01,%!26/D5$!361!E!!68!E6)%!3$!36%=!%/)!!!06)!!R!*)!$)!-(-4/0!S316)!

J! Q! A 7 A 7 K! E! N! P! @*413$!@! A 7

S316)!

T'6+&!

-./)0$12(1$)3$%! -$%!7!26/%3$64G 6!

-S'explique difficilement d'un point de vue corpusculaire: Trajectoires particulières pour les photons ou bien interaction photon-photon ??

-S 'explique aisément par un aspect purement ondulatoire ! (diff. marche)!"diff.phase"!=2"!#si !=(2k+1)2!"cos2"!!=#1"I(x)=0 (interférences destructives)

TD13 P00 1-MécaniqueQuant iqu e

Interférencesavecdesphotonsuniques

Ongard eundispositifi dentiqu eàceluidelafigure1,maisonatténue désormaistrèsfortement lasour cedetellemanièreq ueleflu xdephotonsso itdel'ordred'unph otonparseco ndeau niveaude

ladétecti on.Onremplacedoncl'écran parun ecaméraCCDtrèssensible,et onenregistrel 'arrivée

desphot onssurledétecteurentempsr éel.Chaqueph otonva doncproduireunsig nal quiest

enregistréàunepositiondel acam éra.Cesign alestprésentésurlafigure2po ur5,38 ,140et1 080

photonsdétectésparlacamér a. Figure2-I ma gesprisesàlacaméraCCD après5,38,140et1 080 impacts dephotons(d ega uche

àdr oite).

1.Enra pproc hantlesdeuxmodèles,corpusculaireetondu latoire,qu ellienpeut- onétablirentre

lecarré duchampélectri queetle lieud'impactdesph otons?

2.Lespi xelsdel acaméraCCDsontdeta illecom parabl eàceuxquevous tro uvezdansvos

appareilsphotonumériques.E stimezlatailled ecespixels.

3.Oncom pte150 pixelssurunelig neducapteur utiliséedanscette expérience.Quel leestdonc

l'échelledelafigure2?

4.L'exp érienceprésentéeiciaduré20minu tespourlacollectiondes données( 108 0photons).

Quelleintensités urfaciquedoitonutiliserpou rreproduirecetteexpérience?(enW.m -2

5.Alor s,lalumière:ondeou particu le?

2017-2018Page2sur4

Mais plusieurs faits troublants:

-Si on diminue l'intensité lumineuse (photon passe 1/1) => Cliquetis sur la plaque preuve d'un impact d'un " corpuscule » sur l'écran

La figure d'interf. est pourtant reconstituée après passage (1x1) d'un grand nombre de photons !!

-Si l'on cherche à savoir par où est passé le photon (S1 ou S2): 50% / 50% Mais on détruit la figure d'Interférences !!!!=> figure de diffraction d'une fente rect.)

Interférences lumineuses - Franges d'Young!

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Interférences lumineuses

Principe!

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Interférences lumineuses

Principe!

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Exercice 4. Diffraction par N fentes : Réseau

1 Calculer la figure de diffraction de N fentes (N >> 1) équidistantes identiques séparées d'une

de distance a.

2 - Que devient la figure précédente si a = l ?

Exercice 5. Figures de Diffraction

On éclaire des objets plans avec une onde plane monochromatique de longueur d'onde

!!"!#$$!!%&'!!On observe les figures de diffraction sur un écran placé dans le plan focal image

d'une lentille convergente de distance focale !(!"!!)!!&. Retrouver la forme des objets et leurs dimensions caractéristiques approximatives en faisant un schéma de l'objet correspondant à chacune des figures de diffraction suivantes. Les figures sont à la fin du présent document

Exercice 4. Diffraction par N fentes : Réseau

1 Calculer la figure de diffraction de N fentes (N >> 1) équidistantes identiques séparées d'une

de distance a.

2 - Que devient la figure précédente si a = l ?

Exercice 5. Figures de Diffraction

On éclaire des objets plans avec une onde plane monochromatique de longueur d'onde

!!"!#$$!!%&'!!On observe les figures de diffraction sur un écran placé dans le plan focal image

d'une lentille convergente de distance focale !(!"!!)!!&. Retrouver la forme des objets et leurs dimensions caractéristiques approximatives en faisant un schéma de l'objet correspondant à chacune des figures de diffraction suivantes. Les figures sont à la fin du présent document

1-On ne peut connaître précisément la trajectoire associée à une particule quantique (le photon est-il passé par S1 ou S2 ??) sans détruire la figure d'interférence => La mesure perturbe le système On doit dès lors considérer que la figure d'interférence résulte de la combinaison des amplitudes de probabilité de savoir par où (S1 ou S2) est passé le photon Les aspects ondulatoire et corpusculaire du photon (lumière) sont intimements liés

Conclusions:

C'est la dualité Onde-Corpuscule

Rappel(s)

E,p=!k=h!E=h!,p=!k=h"i!!"("r,t)!t=H"("r,t)Etotale=!12mee4(4!"o)2!2"#$$%&''Z2n2=!12e'2aoZ2n2!r =n2Z4!"o!2e2me = n2Zao(4!"o)!2mee2!"##$%&&=ao

Relation de Louis de Broglie Dualité Onde-Corpuscule A toute particule, on associe un aspect corpusculaire et ondulatoire

Corpuscule

E!p="!k, !=hp

Photon

E=h!!p="!k, !=hp

Relation de Louis De Broglie

12mnv2=p22mn=32kT (k=kB=1.38 10!23JK!1)

Une telle longueur d'onde est négligeable / taille du grain de poussière Exemple 2: Neutron !!1.4 10"10mmn=1.67 10!27kgµm=>10!6m!!

A T=300 K

!=hp=6.62 10!343mnkT (distance entre atomes au sein d'un réseau cristallin: diffraction, interférences) !=hp=6.62 10!34mv=6.62 10!3410!1510!3"6.610!16m!!

Exemple 1:

Grain de poussière

Ø= 1 μm, m= 10

-15 kg v=1mm/s Exemple 3: Accélération d'un électron dans un accélérateur de particules E=eVPour V=1 Volt!E =1.602 10"19J!E=1eVE=12mev2=p22me!p=2meE=2meeV!=hp=h2meeV=12.3V Ao

Pour des accélérations de plusieurs centaines d'electron-volt, on obtient des longueurs de de Broglie de l'ordre des distances interatomiques=> interférences d=nλ=> interférences constructives

Relation de Louis De Broglie

Exemple 4: Accélération d'un électron dans un accélérateur de particules relativistes

E!pc"!=hp=hcE

Si particule très relativiste:

E=p2c2+mo2c4!=hp

=> On peut explorer la structure du noyau atomiques à l'aide d'électrons relativistes Si E=1 Gev=109 eV!!=hcE=6.62 10"34. 3108109 1.602 10"19 #1.2 10"15m!1.2 Fermi (#10"15m)

Rappel: Equation d'onde pour les ondes

1c2!2"(x,t)!t2=!2"(x,t)!x2

Eq. d'onde (1 dim)

!(x,t)=Acos(kx"!t) avec k=2"#,!=2"$=2"c##2#t2!(x,t)=A!##tsin(kx"!t)="A!2cos(kx"!t)#2#x2!(x,t)="Ak##tsin(kx"!t)="Ak2cos(kx"!t)$"1c2!2!(x,t)="k2!(x,t)$k=!c=2"c#c=2"#

pulsation Nombre d'onde

Opérateur Laplacien

i!!"("r,t)!t=H"("r,t)i!!"("r,t)!t=#!22me$+V("r, t)%&'()*"("r,t) Plusieurs cas : I-V est indépendant du temps et est nul: V=cte=0 " Particule libre » !(!r,t)=f(t) g(!r) Pour que l'égalité soit verifiée, il faut Divisons par

Soit !(!r,t)=f(t) g(!r)i! g("r)!f(t)!t="!22mef(t)#g("r)i! 1f(t)!f(t)!t="!22me1g("r)#g("r)=Ctei! 1f(t)!f(t)!t="!22me1g("r)#g("r)

i! 1f(t)!f(t)!t=Cte"f(t)=e#iCt/!!!22me"g("r)=Cg("r)

" je fais la mesure de l'énergie cinétique de ma Particule libre dans l'état propre g(r) » " la mesure est C, la particule restant dans l'état propre g(r) »

C

Energie (E)

p=!k=>Ec=p22me=!2k22me

Pour une particule " libre » E=E

cinétique Dimension de la constante ? Or d'après L. De broglie

!E=Ec=!p22me!!22me"#$%&'(g("r)=!2k22meg("r))"g("r)=!k2g("r)g(!r) de la forme ei!k!r!(r,t)=f(t)g(r)=Aei(!k!r"Et/")!22me!"#$%&'=J2T2KL2=K2L4T(4T2KL2=KL2T(2=J(joule)

Proof

On retombe sur nos pieds

Analogie avec une onde plane

OP(!r,t)=Aei(!k!r!!t)"#(!r,t)=Aei(!k!r!Et/") $E="! (énergie particule libre) E=!2k22me$!=!k22me (rappel photon: !!=h"$!=2#c$)Rmq: onde plane dans le vide: v%=!k=c (milieu non dispersif) particule:v%=!k=!k2me(milieu dispersif)!(x,t)=Aei(kxx"!t) fonction propre de ˆp#ˆp!(x,t)=!k!(x,t)ˆpx!(x,t)="i!$$x!(x,t)%ˆpx="i!$$x"p="i!grad#$####&'()%ˆp2="!2*

Expression de l'opérateur

ˆpi!!"("r,t)!t=ˆp22me"("r,t)

Relation d'incertitude Heisenberg

!(!r,t)2d!"#1

Définition: la densité de probabilité (proba/unité de volume)de trouver la particule en r à l'instant t est donnée par:

!(!r,t)=f(t)g(!r)=Aei(!k!r"!t)

La probabilité de trouver une particule libre avec une onde plane associée est uniforme dans tout l'espace !! Autrement dit la probabilité de trouver la particule est la même partout !! Cette fonction n'est pas de carré sommable Onde plane

Pas physique

Question: comment rendre à la fonction d'onde cette propriété de carré sommable tout en vérifiant la forme en exp[i(kr-wt)] ??? => Paquet d'ondes (planes)

est de carré sommable Paquet d'onde associé à la particule !(x,t)=12!g(k)"#+#$ei(kx""t)dk k k o

Prix à payer: Incertitude (distribution) sur les k !! g(k) Incertitude sur la position de la particule ????

!*(x)!(x)dx:probabilité de trouver la particule entre x et x+dx v=vGroupe=(d!dk)k=ko=!kome=2vphase(ko) Remarque: pour un paquet d'onde, Remarque: pour une onde plane, Milieu dispersif v=vGroupe=d!dk

Comparaison avec le photon dans le vide :

vphase(k)=!k=!k2me c: vitesse de la lumière Dans un milieu d'indice n, v=c/n (2) ko ko-Δk/2 ko+Δk/2 (3) (1) (3) (1) (2) (2) (3) (1) x M (t) x x M (t=0) x 0 0 vphase(k)=!k=!k2me

A t, les 3 ondes se sont déplacées avec des vitesses de phase v(k) différentes. Le maximum du paquet d'onde est situé alors en x=x

M (t). La vitesse du paquet d'onde est différente des vitesses de phase des 3 ondes. (3) (3) (3)

Pendant t, distance parcourue par (2) de ko:

t=xM(t)vgroupe (2) A t= 0: la position du centre du paquet d'onde est x M

(0)=0. Les 3 maxima (2) sont alignés. Autre conséquence: On notera (sans démo) que le paquet s'élargi(ra) au cours du temps (2) (2) (1) (1) (1)

Conséquence: la fonction d'onde d'une particule est une superposition d'ondes planes pour lesquelles on associe à chacune un vecteur d'onde k et ω=f(k). La connaissance précise de la fonction d'onde en x signifie que l'incertitude en k est totale

Relation d'incertitude d'Heisenberg

!x !p"!2

L'incertitude quantique est très inférieure à la sensibilité de mesure de l'appareil: Cette incertitude ne peut être détectée et n'a donc pas d'incidence sur la mesure la particule a un comportement dit " classique »

Particule décrite comme un paquet d'onde dont le maximum représente la position du grain de poussière et dont la vitesse de groupe est égale à la vitesse v= 1mm/s et d' impulsion 10

-9 kgms-1 Grain de poussière de masse 1 micron-mètre et de masse 10 -6 kg et de vitesse 1mm/s p=mv !10"610"3kgms"1 Si j'ai une incertitude sur la position de la particule à 0.01 micron près Exemple: Parler d'un comportement classique consiste à imposer simultanément que : !x"10#3 m$!p"6.62 10#342!.10#3"10#31kgms#1!x!p<Verif sur l'athlète le + rapide du monde !! !x<L'incertitude quantique est (encore 1 x) très inférieure à la sensibilité de mesure de l'appareil !!

or vbolt=1009.58=10.44 ms!1"#v$v#tt$10.4410!29.58$10!2ms!1avec chrono au 1/100ème !r"!2!p =!2aO! = aO2!!

Modèle de Bohr

r = ao

1° orbite de bohr de H

avec rn = n2aoZv=n!mer Supposons que p soit connue avec une mauvaise précision !p=pv=!meaO !p=!aO Supposons que p soit connue avec une grande précision !p=10"3p!r"!2!p =!2103aO! =500 aO!! La Relation d'incertitude d'Heisenberg joue un rôle majeur pour les objets quantiques

J=merv=n!

Résumé(cours 1 et 2)

E=!2k22m,p=!kE=h!,p=!k=h"H=!!22m"Etotale=!12mee4(4!"o)2!2"#$$%&''Z2n2, r=nZao!r =n2Z4!"o!2e2me = n2Zao(4!"o)!2mee2!"##$%&&=ao!x !p"!2Aei(!k!r!Et/")E,p=!k=h!!(x,t)=12!g(k)"#+#$ei(kx"Et/!)dki!!"("r,t)!t=H"("r,t)

=> Relation d'incertitude d'Heisenberg Particule " libre (pas tout à fait)» piégée dans une boîte 1D

Cas des électrons

libres dans un métal ou les électrons dans les polyènes π conjugués électron où es-tu ?? V(L)=˿ V(0)=˿

Particule libre

• Énergie potentielle V(x)=0 • Force ΣF=0 => v=cte ou v=0 • Mouvement de translation uniforme 1D Classiquement: 2 000 v 2 1

E v )(mtxtx=+=

E totale =E cin Énergie cinétique pure En Mécanique classiquequotesdbs_dbs29.pdfusesText_35