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ES/L Métropole-La Réunion juin 2015

Exercice 1 6 points

Le service marketing d'un magasin de téléphoniea procédé à une étude ducomportement de sa clien-

tèle. Il a ainsi observé que celle-ci est composée de 42 % de femmes, 35 % des femmes qui entrent dans le

magasin y effectuent un achat, alors que cette proportion est de 55 % pour les hommes.

Une personne entre dans le magasin. On note :

. F l'événement : " La personne est une femme » . R l'événement : " La personne repart sans rien acheter ». Pour tout événement A, on note ̄A son événement contraire et P(A) sa probabilité. Dans tout l'exercice, donner les valeurs approchées des résultat au millième. Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.

2. Calculer la probabilité que la personne qui est entrée dans le magasin soit une femme et qu'elle

repart sans rien acheter.

3. Montrer que P(R)=0,534.

Partie B

Un client du magasin s'inquète de la durée de vie du téléphone de type T1qu'il vient de s'offrir.

On note X la variable aléatoire qui , à chaque téléphone de type T1 prélevé au hasard dans la pro-

duction, associe sa durée de vie, en mois. On admet que la variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance

μ=48 et d'écart type σ=10.

1. Justifier que la probabilité que le téléphone de type

T1 prélevé fonction plus de 3 ans, c'est à dire 36 mois, est d'environ 0,885.

2. On sait que le téléphone de type

T1prélevé a fonctionné plus de 3 ans. Quelle est la probabilité qu'il fonctionne moins de 5 ans ?

Partie C

Le gérant du magasin émet l'hypothèse que 30 % des personnes venant au magasin achètent unique-

ment dezs accessoires(housse, chargeur . . .). Afin de vérifier son hypothèse, le srvice marqueting complète son étude.

1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de person-nes ayant

uniquement acheté des accessoires dans un échantillon de taille 1500.

2. Le service marketing interroge un éhantillon de 1500 personnes. L'étude indique que 430 person-

nes ont acheté uniquement des accessoires. Doit-on rejeter au seuil de 5 % l'hypothèse formulée par

le gérant ?

ES/L Métropole-La Réunion juin 2015

CORRECTION

Partie A

1. L'énoncé précise :

" La clintèle du magasin est composée de 42 % de femmes » donc P(F)=0,42.

Et la probabilité que la personne qui entre, dans le magasin, soit un homme est P(̄F)=1-042=0,58

" 35 % des femmes qui entrent dans le magasin effectuent un achat » donc PF(̄R)=0,35.

Et PF(R)=1-PF(̄R)=1-0,35=0,65" 55 % des hommes qui entrent dans le magasin effectuent un achat » donc P̄F(̄R)=0,55.

Et P̄F(̄R)=1-P̄F(̄R)=1-0,55=0,45

On obtient l'arbre pondéré suivant :

2. On demande de calculer P(F∩R)

3. En utilisant l'arbre pondéré ou la formule des probabilités totales, on obtient :

P(R)=0,534

Partie B

La variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne 48 et d'écart type 10.

1. On utilise la calculatrice pour calculer

P(36⩽X)On obtient : P(36⩽X)=0,885.

2. Sachant que (36⩽X), on doit calculer la probabilité d'avoir

(X⩽60).

Soit P(36⩽X)=P((36⩽X)∩(X⩽60))

P(36⩽X)=P(36⩽X⩽60)

P(36⩽X).

En utilisant la calculatrice, on obtient :

P(36⩽X)(X⩽60)=0,76986

0,884930=0,870.

Partie C

1. On suppose que 30 % des personnes venant au magasin achète uniquement des accessoires

donc p=0,3.

ES/L Métropole-La Réunion juin 2015n=1500⩾30 ; np=450⩾5 ; n(1-p)=1050⩾5On peut donc considérer l'intervalle de fluctuation asymptotique

I= n]I=

1500]1,96×

1500=0,023à 10-3 près.

I=[0,277;0,323]

2. La proportion constatée dans l'échantillon de 1500 personnes est : f=430

1500=0,287 à 10-3 près.

0,287 appartient à l'intervalle I, donc on ne doit pas rejeter au seuil de 5 % , l'hypothèse formulée

par le gérant.quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13