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CORRIGÉ BAC STD2A Métropole 2013
EXERCICE 1
Partie A : 1. Pour déterminer les nombres a et b, on utilise les points A et B :La parabole passe par A( - 4 ; 4), donc a(- 4)2 +b(- 4) + 4 = 4, soit 16a - 4b = 0, soit 4a - b = 0 ;
la parabole passe par B(3 ; 9,25), donc a(3)2 +b(3) + 4 = 9,25, soit 9a + 3b = 5,25, soit 3a + b = 1,75 ;
on ajoute les deux équations, et on trouve 7a = 1,75 , soit a = 0,25 ; on remplace cette valeur dans la première
équation et on trouve b = 4×0,25 = 1. Donc a = 0,25 et b = 1.2. La dérivée de cette fonction est f '(x) = 0,5x + 1 qui s'annule
pour x = - 2 et est négative sur [- 4 ; - 2] et positive sur [- 2 ; 3]. D'où le tableau de variations :Le tableau de valeurs :
Le tracé complété (voir partie B).
Partie B
: 1. a) La dérivée de cette fonction est g'(x) = -183x2 + 3
2 = -3
8x2 + 3
2 = -3
8(x2 - 4) = -3
8(x - 2)(x + 2).
b) La dérivée s'annule en x = - 2 et x = 2 et est du signe de a = -38 < 0 pour les valeurs extérieures à - 2 et 2.
Le tableau de variations :
2. Le tableau de valeurs :
3. On trouve f(- 4) = 4 (Partie A) et
g(- 4) = -18(- 4)3 + 3
2×(- 4) + 2 =
8 - 6 + 2 = 4.
Donc les courbes représentatives des
fonctions f et g se coupent au pointA(- 4 ; 4).
4. Le tracé complété :
Partie C
1. a) Le coefficient directeur de la tangente
à P en A est le nombre dérivé
f '(- 4) = 0,5(- 4) + 1 = - 1.Le coefficient directeur de la tangente à P
en B est le nombre dérivé f '(3) = 0,5×3 + 1 = 2,5. b) Le coefficient directeur de la droite (AC) est yA-yC xA-xC = 4-0,5 -4-(-0,5) = 3,5 -3,5 = - 1, est le męme coefficient directeur que la tangente à P en A ; ces deux droites passent par A, donc elles sont confondues. x - 4 - 23 f '(x)- 0 + f(x)4 39,25x-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4 3,25 3 3,25 4 5,25 7 9,25
f(x) x- 4 - 22 3 f '(x)- 0 + 0 - f(x)4 04 9,25 x-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 3,54 0,875 0 0,625 2 3,375 4 3,125 1,89
g(x) Le coefficient directeur de la droite (BC) est yB-yC xB-xC = 9,25-0,53-(-0,5) = 8,75
3,5 = 2,5, est le męme coefficient
directeur que la tangente à P en B ; ces deux droites passent par B, donc elles sont confondues.2. a) Coordonnées du vecteur
⃗CB(xB - xC ; yB - yC), soit ⃗CB(3,5 ; 8,75).Coordonnées du vecteur
⃗CA(xA - xC ; yA - yC), soit ⃗CA(- 3,5 ; 3,5).Le produit scalaire est
⃗CB.⃗CA = 3,5×(- 3,5) + 8,75×3,5 = 18,375. b) Le produit scalaire est ⃗CB.⃗CA = CB×CA×cos(̂ACB.On a CB =
Ainsi cos(
̂ACB = ⃗CB⋅⃗CA
CB×CA = 18,375
Et l'angle α ≈ cos
- 1 (0,3939) ≈ 66,8°. Cet angle est compris entre 60° et 70°, donc il se verra décerner le
label " confort + ».EXERCICE 2
1. Pour calculer l'aire de cette toile, on calcule la hauteur h du triangle issue de C, à l'aide du théorème de
Pythagore dans le triangle ACH rectangle en H milieu de [AB] : h2 = CH2 = AC2 - AH2 = 52 - 3,52 = 12,75, d'où h = 5 et l'aire est égale à AB×h2 ≈ 12,497 m2 .
2. On utilise la formule d'Al Kashi : AC
2 = AB2 + BC2 - 2AB×BC×cos(
̂ABC) = 49 + 25 - 70cos(̂ABC),
soit 25 = 74 - 70cos(̂ABC) , soit
d'où cos(̂ABC) = 25-74
-70 = 4970 = 0,7. D'où ̂ABC = cos - 1(0,7) ≈ 46°.
3. a) Les droites (OS) et (CF) sont verticales, donc parallèles, donc elles sont coplanaires et les quatre points
O, S, C et F sont coplanaires.
b) Construction de l'ombre du poteau FC en utilisant le point d'intersection des droites (OF) et (SC).
c) et d) L'ombre complète.