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??PQLes emprunts indivisAdministrationÉconomique etSociale

Mathématiques

XA100M

??PQLes empruntsindivissont les emprunts faits auprèsd"un seul prêteur. On va étudier le cas où le prêteur met à disposition de l"emprunteur un capital pour une durée fixée à l"avance, et où l"emprunteur rembourse ce capital selon un rythme convenu et verse des intérêts à échéances périodiques.

??PQ1.LE CAS GÉNÉRALLors de chaque annuité (remboursement), on fait la part entre-La somme qui participe auremboursement du capital emprunté;-La somme qui participe auremboursement de l"intérêt.

La somme qui participe au remboursement du capital emprunté s"appelle l"amortissement. ??PQSiApest l"annuité de la périodep, c"est-à-dire le montant payéà la finde la périodep, on a +Ap=Ip+Mp avec-L"intérêt crée pendant la périodepet remboursé en fin de cette période, notéIp;-L"amortissement de la périodep, notéMp. ??PQSituationEmprunt d"un capitalD0au taux d"intérêtipar période pendantnpériodes. ??PQNotations-Le capital restant dû endébutde périodepest notéDp-1;-Le montant de l"annuité payée enfinde période

pest notéAp;-L"intérêt versé enfinde la périodepest notéIp;-L"amortissement versé enfinde la périodepest

notéMp. ??PQPrincipe due et crée un intérêtIp=Dp-1ipendant la période. À la fin, de la période, on rembourse l"annuitéApqui paye l"intérêtIpet contribue au remboursement de la dette :Ap=Ip+Mp. La dette de début de périodep+1 est alorsDp= D p-1-Mp. suite d"annuités certaines temporaires (chapitreAnnuités, §3.1) avecA0=0 et où la dette était notéeVau lieu deD. ??PQOn résume la situation par période dans un tableau, appelétableau d"amortissement. ??PQTableau d"amortissementPériodeCapital dû en début de périodeIntérêt de la périodeAmortissement de la périodeAnnuité de

la période1D0I1=D0iM1A1=I1+M12D1=D0-M1I2=D1iM2A2=I2+M23D2=D1-M2I3=D2iM3A3=I3+M3...............pDp-1=Dp-2-Mp-1Ip=Dp-1iMpAp=Ip+Mp...............nDn-1=Dn-2-Mn-1In=Dn-1iMnAn=In+MnLa dette en fin denepériode (donc en début den+1e) doit être totalement

payée donc +Dn=Dn-1-Mn=0. ??PQCoût de l"emprunt La somme remboursée au total est la somme de toutes les annuités versées, c"est-à-direA1+A2+···+An, la somme empruntée au début estD0 le coût de l"emprunt est donc +A1+A2+···+An-D0. ??PQSomme restant à payer La somme qui reste à payer au début de la périodep+1 est la valeur actuelle annuités restantes, intérêt compris). ´D"après le chapitreAnnuités, §3.1, on a donc +Dp=n? k=p+1A k(1+i)p-k Pour chaque valeur dekcomprise entrep+1 etn, on calculeAk(1+i)p-kpuis on fait la somme de tous les termes calculés. D ??PQSomme empruntée En particulier, la somme due en début de première période,D0, est la somme empruntée. Lors d"un emprunt surnpériodes, au tauxipar périodes, en remboursantAk à la périodek(k=1,2,...,n), on peut emprunter +D0=n? k=1A k(1+i)-k Pour chaque valeur dekcomprise entre 1 etn, on calculeAk(1+i)-kpuis on fait la somme de tous les termes calculés. D ??PQAmortissement On peut relier l"amortissement d"une période à l"amortissement de la période précédente. M p+1=(1+i)Mp+Ap+1-Ap. ??PQEn effet,Ap+1=Mp+1+Ip+1doncMp+1=Ap+1-Ip+1. Puis, I p+1=DpidoncMp+1=Ap+1-Dpi. Puis D p=Dp-1-Mp donc (1)Mp+1=Ap+1-Dp-1i+Mpi. Or, D p-1i=IpetAp=Mp+Ip donc (2)Dp-1i=Ap-Mp.

En reportant (2) dans (1), on obtient

M p+1=Ap+1-Ap+Mp+Mpi=(1+i)Mp+Ap+1-Ap. ??PQ2.LE CAS PARTICULIER DES ANNUITÉS CONSTANTES2.1.Somme empruntable.

Dans le cas général, on a vu que

D Ici, A

1=A2=···=An-1=An=a.

On a donc

D mier terme (1+i)-1et de raison (1+i)-1, donc D ??PQLors d"un emprunt pendantnpériodes, au tauxipar période, en remboursant apar période, on peut emprunter +D0=a1-(1+i)-ni.

´Voir le chapitreAnnuités, §3.2.2.

??PQ2.2.Valeur de l"annuité. Lorsqu"on veut acheter un bien, on connaît la valeur de ce bien, c"est cette sommeD0qu"on veut emprunter. Quelles annuités doit-on payer pour rem- bourser cet emprunt lors d"un emprunt pendantnpériodes, au tauxipar pé- riode à annuités constantes?

On a vu que

D

0=a1-(1+i)-ni.

donc +a=D0i1-(1+i)-n. ??PQ!

Les expressions

D

0=a1-(1+i)-ni

et a=D0i1-(1+i)-n

ne sont que deux expressions différentes d"une même formule.????N"en retenez qu"une et retrouvez l"autre immédiatement.

??PQ2.3.Dette en début de période.

Dans le cas général, on a vu que

D Ici, A p+1=Ap+2=···=An-1=An=a.

On a donc

D On reconnaît la somme desn-ppremiers termes d"une suite géométrique de premier terme (1+i)-1et de raison (1+i)-1, donc D ??PQLors d"un emprunt pendantnpériodes, au tauxipar période, en remboursant apar période, la dette en début dep+1epériode (c"est-à-dire, la dette après paiement de l"annuité depepériode) est +Dp=a1-(1+i)p-ni. ??PQ2.4.Lien entre somme empruntée et dette. Il n"est pas nécessaire de connaître l"annuité pour calculer la dette en début de p+1epériode à partir de la somme empruntée. En effet, on a D p=a1-(1+i)p-ni et a=D0i1-(1+i)-n donc D p=D0i1-(1+i)-n1-(1+i)p-ni =D01-(1+i)p-n1-(1+i)-n puis, en multipliant numérateur et dénominateur par (1+i)n, on obtient D p=D0(1+i)n-(1+i)p(1+i)n-1. ??PQLors d"un emprunt deD0, pendantnpériodes, au tauxipar période, la dette endébutdep+1epériode(c"est-à-dire,la detteaprèspaiementdel"annuitéde p epériode) est +Dp=D0(1+i)n-(1+i)p(1+i)n-1. ??PQ2.5.Amortissement.

Dans le cas général, on a vu la relation

M p+1=(1+i)Mp+Ap+1-Ap.

Ici,Ap+1=Apdonc

M p+1=(1+i)Mp.+????Dans un emprunt par annuités constantes, les amortissements sont en suite géométrique de raison 1+i. ??PQLe premier amortissement est M

1=A1-I1=a-D0i.

Or, a=D0i1-(1+i)-n donc M

1=D0i(1+i)-n1-(1+i)-n=D0i(1+i)n-1.

PuisqueMp=(1+i)Mp-1, on aMp=(1+i)p-1M1et donc

M p=D0i(1+i)p-1(1+i)n-1. ??PQ3.UN EXEMPLEOn emprunte un capital de 76000eau taux d"intérêt annuel 10% pour 5 ans. Les remboursements se font à la fin de chaque année par annuités constantes.

Le montant de chaque annuité est

Le capital dû en début de 1

reannée est doncD0=76000e. Pendant la première année, cette somme produit un intérêt, en euros, de I

1=D0i=76000×0,1=7600.

L"annuité estA1=20048,61e, de sorte que l"amortissement en euros de cette première année est M

1=A1-I1=20048,61-7600=12448,61.

??PQPériodeCapital dû en début de périodeIntérêt de la périodeAmortissement de la périodeAnnuité de la période176000e7600e12448,61e20048,61e2345 ??PQLe capital dû en début de 1reannée estD0=76000e. L"amortissement de cette première année estM1=12448,61edonc le capital dû en début de 2eannée est, en euros, D

1=D0-M1=76000-12448,61=63551,39.

Pendant la deuxième année, cette somme produit un intérêt, en euros, de I

2=D1i=63551,39×0,1=6355,14.

L"annuité estA2=20048,61e, de sorte que l"amortissement en euros de cette deuxième année est M

2=A2-I2=20048,61-6355,14=13693,47.

??PQPériodeCapital dû en début de périodeIntérêt de la périodeAmortissement de la périodeAnnuité de la période176000e7600e12448,61e20048,61e263551,39e6355,14e13693,47e20048,61e345 ??PQEn répétant ce qu"on a fait pour la deuxième année, on construit pas-à-pas le tableauPériodeCapital dû en début de périodeIntérêt de la périodeAmortissement de la périodeAnnuité de

la période176000e7600e12448,61e20048,61e263551,39e6355,14e13693,47e20048,61e349857,92e4985,80e15062,82e20048,61e434795,10e3479,51e16569,10e20048,61e518226e1822,6e18226e20048,61e

??PQMéthode rapide

Le montant de chaque annuité est obtenu par

A p=a=D0i1-(1+i)-n.

En utilisant la formule

D p=a1-(1+i)p-ni on remplit rapidement la colonnecapital dû. En utilisant I p=Dp-1i, on remplit alors rapidement la colonneintérêt. Enfin, en utilisant M p=Ap-Ip, on remplit rapidement la colonneamortissement. Tout cela est facilement programmable avec un logiciel tableur.

??PQUn autre exemple, de calcul de prêt immobilier, est disponible surhttp://www.univ-montp3.fr/miap/ens/AES/XA100M/

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