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COMPL´EMENTS EN ANALYSE

COURS et

EXERCICES

Table des mati`eres1 Topologie g´en´erale7

1

TABLE DES MATI`ERES

2 Op´erateurs born´es...77

3 Op´erateurs compacts93

4 S´eries de Fourier et applications 115

TABLE DES MATI`ERES

5 Tranformation de Fourier sur1153

1 1

6 Analyse complexe165

A Quelques grands principes d"analyse fonctionnelle 231

TABLE DES MATI`ERES

B Quelques compl´ements d"analyse complexe 233

Bibliographie250

Chapitre 1Compl´ements de topologieg´en´erale1.1 Espaces topologiques1.1.1 D´efinition D´efinition 1.1.1Un espace topologique est un couple, o`uest un en- semble etest un ensemble de parties dev´erifiant les propri´et´es suivantes : Siest une famille (quelconque) d"´el´ements de, alors

Si1sont des ´el´ements de, alors

1 L"ensembles"appelle une topologie suret les ´el´ements deconstituent ce qu"on appelle les ouverts de la topologie. Un ferm´e d"une topologie est d´efini comme le compl´ementaire d"un ouvert.

CHAPITRE 1. TOPOLOGIE G´EN´ERALE

Siest un espace topologique et siest une partie de, alors l"adh´erence deest le plus petit ensemble ferm´e dequi contient. On la note ou. On dit qu"un pointdeest adh´erent `alorsque tout voisinage de rencontre. Proposition 1.1.2L"adh´erence deest ´egale `a l"ensemble des points qui lui sont adh´erents.

Preuve :

D´efinition 1.1.3Soientdeux topologies d´efinies sur un ensemble. On dit queest plus faible (ou moins fine) quesi tout ouvert deest un ouvert de Remarque 1.1.4Soitun espace topologique et on notela topologie discr`ete, c"est-`a-dire la topologie telle que tout sous-ensemble deest ouvert.

Alors n´ecessairementest plus faible que.

D´efinition 1.1.5Etant donn´ee une topologiesur un ensembleet. On appelle base de voisinage depour la topologietoute collection d"ouverts pourcontenantet telle que chaque voisinage ouvert de contient un ´el´ement de. Une collectiond"ouverts pourest appel´ee une base de la topologie si tout ouvert est une r´eunion d"ensembles de. Exemple 1.1.6Soientun ensemble muni de la topologie discr`ete et. Alors une base de voisinage pourest constitu´e du singleton. De plus, une base de la topologie discr`ete est donn´ee par la famille.

1.1. ESPACES TOPOLOGIQUES

Exemple 1.1.7Soientun espace m´etrique et. Une base de voisi- nage pourest constitu´ee par la famille0des boules ouvertes centr´ees en. Une base de la topologie est alors donn´ee par l"ensemble des boules ouvertes. En particulier, sur, l"ensemble des intervalles ouverts, o`uetd´ecrivent , est une base de la topologie de.

1.1.2 Rappel sur la topologie la moins fine rendant conti-

nues une famille d"applications Lemme 1.1.8Soient,et(,) des ensembles quelconques. Alors i o`uest l"ensemble de toutes les applications.

Preuve :

i

CHAPITRE 1. TOPOLOGIE G´EN´ERALE

Proposition 1.1.9Soitl"ensemble des parties dede la forme j 1 o`ud´esigne un ouvert quelconque de,est un sous-ensemble fini quelconque deetest un ensemble quelconque d"indices. Alorsd´efinit une topologie sur. De plus,est la topologie la plus faible qui rende continue toutes les applications,.

Preuve :

1 1 1 j 1 Proposition 1.1.10Soientun ensemble,une famille d"espaces topo- logiques et?une famille d"applications. Soitla topologie la plus faible rendant continue chaque,. Etant donn´e un point, une base

1.1. ESPACES TOPOLOGIQUES

de voisinage depour la topologieest obtenue en consid´erant les ensembles de la forme 1 o`uest un sous-ensemble fini quelconque deetest un voisinage ouvert de dans.

Preuve :

1 j 1 j 1 j 1 j 1 Exemple 1.1.11Soitun-espace vectoriel. On appelle semi-norme sur une application?satisfaisant les deux propri´et´es suivantes :

CHAPITRE 1. TOPOLOGIE G´EN´ERALE

et pour tousdanset tous. Soit maintenantune famille de semi-normes sur un espace vectoriel . On appelle la topologie la plus faible rendant continue les applications,. Exemple 1.1.12Soientun ensemble,un espace topologique et l"ensemble de toutes les applications dedans. La Proposition 1.1.13Soient1une suite deet. Les assertions suivantes sont ´equivalentes :

La suite1converge verspour la topologie.

Pour chaque, la suite1converge versdans l"espace

topologique.

Preuve :

1 1

1.2. ESPACES TOPOLOGIQUES COMPACTS

Proposition 1.1.14Soitun espace topologique et soitune application de dans. Les assertions suivantes sont ´equivalentes :

L"applicationest continue.

Pour chaque, l"application?est continue.

Preuve :

1 j 1 1 j 11 j1 1 1

1.2 Espaces topologiques compacts

1.2.1 D´efinition et propri´et´es ´el´ementaires

D´efinition 1.2.1Soitun espace topologique. On dit queests´epar´esi pour tous,, il existedeux ouverts disjoints tels que et

CHAPITRE 1. TOPOLOGIE G´EN´ERALE

Remarque 1.2.2Il est clair que tout espace m´etrique est un espace topologique s´epar´e. D´efinition 1.2.3Soitun espace topologique s´epar´e etune partie de. On dit queestcompactesi de chaque recouvrement depar des ouverts de, on peut extraire un recouvrement fini, soit en explicitant : quelque soit la famille d"ensembles ouverts detelle que il existe une partie finiedetelle que Th´eor`eme 1.2.4Soitun espace topologique s´epar´e etune partie de.

Siest compacte alorsest ferm´ee.

Siest compact etest ferm´ee, alorsest compacte.

Preuve :

aa,f aa,f

1.2. ESPACES TOPOLOGIQUES COMPACTS

12 =1 =1 12 =1 k =1 k Proposition 1.2.5Soientdeux espaces topologiques s´epar´es etune ap- plication continue dedans. Siest une partie compacte de, alors est une partie compacte de.

Preuve :

CHAPITRE 1. TOPOLOGIE G´EN´ERALE

1 1 12 =1 1j =1 j Corollaire 1.2.6Soientdeux espaces m´etriques,une partie deet ?une isom´etrie, c"est-`a-dire une application v´erifiant :

Les assertions suivantes sont ´equivalentes :

est compact. est compact.

Preuve : 1

1 11

Corollaire 1.2.7Soientdeux espaces topologiques s´epar´es et? une bijection continue. Siest compact alorsest un hom´eomorphisme, c"est- `a-dire que1est continue.

Preuve : 11

11

1.2. ESPACES TOPOLOGIQUES COMPACTS

1

1.2.2 M´etrisabilit´e d"un espace topologique compact

Lemme 1.2.8Soient1et2deux topologies sur un ensemble. Supposons que les deux topologies v´erifient les conditions suivantes :

1est plus faible que2, c"est-`a-dire que12;

1est s´epar´e;

2est compact.

Alors les deux topologies1et2coincident.

Preuve : 2 2

2 1

2 1 1

1 21

Th´eor`eme 1.2.9Soitun espace topologique compact et supposons que, pour tout, il existe une fonction ?continue et telle que la suite1s´epare les points de. Alorsest m´etrisable, c"est-`a-dire qu"il existe une distance surqui induit la mˆeme topologie que.

CHAPITRE 1. TOPOLOGIE G´EN´ERALE

Preuve :

=1

1.2.3 Pr´ecompacit´e et compacit´e s´equentielle

D´efinition 1.2.10Soitun espace topologique,0une suite de points de . On dit que la suite0admet le pointdepourvaleur d"adh´erence si, pour tout voisinagede, l"ensembleest infini. Lemme 1.2.11Soitun espace topologique s´epar´e et0une suite de points de. Si, alors son adh´erence est la r´eunion de et de l"ensemble des valeurs d"adh´erence de la suite0. En particulier, si

0n"a pas de valeurs d"adh´erence, alorsest ferm´e.

1.2. ESPACES TOPOLOGIQUES COMPACTS

Preuve : 0

12n k 1 0 Lemme 1.2.12Soitun espace m´etrique et0une suite de. Les assertions suivantes sont ´equivalentes : est une valeur d"adh´erence de0. il existe une sous-suitek0qui converge vers.

Preuve :

1

1 2 k

+1 k+1 k1 k k

0 0k

CHAPITRE 1. TOPOLOGIE G´EN´ERALE

Th´eor`eme 1.2.13Tout espace topologique compactv´erifie la propri´et´e sui- vante, appel´ee axiome de Bolzano-Weierstrass : toute suite de points deadmet au moins une valeur d"adh´erence.

Preuve : 0

Fait :

0 0 12 =1 i =1imax 12 max D´efinition 1.2.14Soitun espace m´etrique etune partie de.

1.2. ESPACES TOPOLOGIQUES COMPACTS

On dit queests´equentiellement compactsi chaque suite dea une sous-suite convergente vers un point de. On dit queestpr´ecompactesi pour tout , il existe un entier et des points1tels quesoit contenu dans la r´eunion des boules . Th´eor`eme 1.2.15Soitun espace m´etrique. Les assertions suivantes sont

´equivalentes :

est compact. est s´equentiellement compact. est complet et pr´ecompact.

Preuve :

0 0 0 12 =1

1 1

21 12 +1

=1 =1 1

CHAPITRE 1. TOPOLOGIE G´EN´ERALE

1 1

1 1 1

2 1

2 12 1212
2 1 +1 +1 +1 j ji i

1.2. ESPACES TOPOLOGIQUES COMPACTS

Fait :

1 p1 p p 12 =1 p =1 p

1.2.4 Ensembles relativement compacts

D´efinition 1.2.16Soitun espace topologique s´epar´e etune partie de. On dit queestrelativement compactdanssi son adh´erencedans est compacte.

CHAPITRE 1. TOPOLOGIE G´EN´ERALE

Remarque 1.2.17Soientun espace topologique s´epar´e etune partie com- pacte de. Alors toute partie deest relativement compacte. En effet, si, alors (carest ferm´e d"apr`es le th´eor`eme 1.2.4) et doncest compacte toujours d"apr`es ce mˆeme th´eor`eme. Th´eor`eme 1.2.18Soitun espace m´etrique complet etune partie de.

Les assertions suivantes sont ´equivalentes :

est relativement compact. est pr´ecompact. Pour toute suite1de points de, il existe une sous-suitek1 qui converge (vers un ´el´ement

Preuve :

1 k1 12 =1

1 1

1.2. ESPACES TOPOLOGIQUES COMPACTS

Corollaire 1.2.19Soitune partie d"un espace m´etrique complet. Sup- posons que pour tout , il existe une partie compactedetelle que

Alorsest relativement compacte.

Preuve :

12 =1 =1 Proposition 1.2.20Soitune partie d"un espace de Banach. Alorsest relativement compacte si et seulement siv´erifie les deux conditions suivantes : l"ensemble A est born´e;

CHAPITRE 1. TOPOLOGIE G´EN´ERALE

pour tout , il existe un sous-espace vectorielde dimension finie tel que pour tout

Preuve :

12 =1

1.3. LA TOPOLOGIE FAIBLE

Proposition 1.2.21Soient1et2deux compacts dans un espace de Banach . Alors l"ensemble12est compact. De plus, si1et2sont relativement compacts dans l"espace dans, alors l"ensemble12est aussi relativement compact dans.

Preuve : 12

1212
12 12

1.3 La topologie faible()

D´efinition 1.3.1Etant donn´eun espace de Banach, la topologie faible sur est la topologie la plus faible surrendant continues toutes les applications . On la note. Proposition 1.3.2Soitun espace de Banach. La topologie faibleest s´epar´ee.

Preuve :1212

12 1 12 212

12 11

22

1?1 11

CHAPITRE 1. TOPOLOGIE G´EN´ERALE

2?2 12

12

1 12 21 2

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