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Introduction a la theorie des probabilites et a la statistique

Segolen Geray

IUT Carquefou

Annee 2008-2009

segolen.geray@univ-nantes.fr

Segolen GerayIntro Proba-Stat

La demarche

Segolen GerayIntro Proba-Stat

Distinction Proba/Stat

La Theorie des probabilites:permet de modeliser des phenomenes aleatoires et d'y eectuer des calculs theoriquesconcerne lespopulations: on ne peut donc pas faire de

mesures.La Statistique:concerne lesechantillons, le monde reel, la pratique,on fait des mesures (observations) sur des individus,

repose sur la modelisation probabiliste des observations.

Segolen GerayIntro Proba-Stat

Un exemple concret

Un fabricant d'ampoules souhaite verier la qualite des

ampoules electriques produites dans sa chaine de montage.Pour cela, il propose donc d'evaluer la duree moyenne de bon

fonctionnement d'une ampoule.Comment faire? on ne peut pas tester toutes les ampoules produites par la chaine de montage!On tire un echantillon au hasard On realise l'experience, on eectue des mesures, on calcule la duree moyenne de bon fonctionnement des ampoules de l'echantillonOn approxime la duree moyenne de bon fonctionnement des ampoules de la population entiere par la duree moyenne de bon fonctionnement des ampoules de l'echantillon

Segolen GerayIntro Proba-Stat

Un exemple concret (suite)

Comment savoir si ce qu'on vient de faire est licite? Quelle est la qualite de l'approximation? Il faut etudier la theorie des probabilites et la statistique!Si on tire un autre echantillon, il y a de fortes chances que l'on n'obtienne pas les m^emes resultats.Ces uctuations (ou erreurs d'echantillonnage) sont dues a la variabilite. Cela signie que des objets semblables en apparence peuvent presenter des dierences lorsqu'on eectue des mesures.

Segolen GerayIntro Proba-Stat

Les dierents aspects de la Statistique

Observer ne sut pas!Statistique descriptive:Resumer les mesures sur un echantillon (moyenne, variance,...)

Representer les mesures (histogramme, distribution) Statistique inferentielle:Generaliser les proprietes d'un echantillon a une population en prenant en compte les uctuations d'echantillonnageil faut modeliser les observations (par des variables aleatoires) : on fait appel a la theorie des probabilitesTests d'hypotheses:Contr^oler la validite d'un modele

Comparer un echantillon a une reference

Statistique decisionnelle:Savoir prendre une decision alors que les resultats sont exprimes en termes de probabilites (i.e. de pourcentage de chances, de risques)

Segolen GerayIntro Proba-Stat

1 erepartieNotions de theorie des probabilites

Segolen GerayIntro Proba-Stat

Experience aleatoire, evenements

Une experience estaleatoiresi on ne peut pas prevoir a l'avance son resultat, et si, repetee dans des conditions identiques, elle peut donner lieu a des resultats dierents. Lorsqu'on eectue une experience, les valeurs obtenues s'appellent desrealisationsou des observations.Univers(note ) : ensemble de tous les resultats possibles

d'une experience. Il peut ^etre :ni, par exfx1;:::;xkginni denombrable : on peut indicer, numeroter ses elements

jusqu'a l'inni, par exfx1;;x2;:::;xn;:::ginni non-denombrable : ceci signie qu'il n'est pas possible de

decrire l'ensemble sous la forme d'une liste numerotee fx1;x2;:::;xk;:::g, par ex l'intervalle [0;1] est un ensemble inni non-denombrable.Evenement elementaire: un des elements de lorsqu'on peut les enumerer.Evenement: sous-ensemble de .Segolen GerayIntro Proba-Stat

Exercice : univers nis

1Soit l'experience\une personne lance un de cubique a 6 faces

et note la valeur obtenue sur la face superieure de ce de". Quel est l'univers associe a cette experience? Quels sont les evenements elementaires?2Soit l'experience\une personne lance simultanement deux des cubiques a 6 faces et note la valeur obtenue sur la face superieure de chaque de". Quel est l'univers associe a cette

experience? Quels sont les evenements elementaires?3Soit l'experience\une personne lance simultanement deux des

cubiques a 6 faces et note la somme des valeurs obtenues sur la face superieure de chaque de". Quel est l'univers associe a cette experience? Quels sont les evenements elementaires?

Segolen GerayIntro Proba-Stat

Exercice : univers innis

1Soit l'experience\Alex compte le nombre de vehicules se

presentant au peage de l'autoroute en une journee". Quel est l'univers associe a cette experience?2Soit l'experience\Mr Martin note, comme chaque midi, la temperature exterieure". Mr Martin habite a Paris ou la temperature a 12h peut varier de -10C a 43C. Quel est l'univers associe a cette experience?3Soit l'experience\Mr Jean note, comme chaque lundi, la duree de son vol Paris-Berlin". Le vol entre Paris et Berlin dure

1h45, peut avoir jusqu'a 15 minutes d'avance si le vent est

favorable et jusqu'a 3h de retard en cas de probleme. Quel est l'univers associe a cette experience?4Soit l'experience\le technicien mesure et pese une tige tiree de la production". La tige est usinee de sorte qu'elle pese entre

12g et 25g et mesure entre 8.5cm et 11.5cm. Quel est

l'univers associe a cette experience?

Segolen GerayIntro Proba-Stat

Rappel : operations sur les ensembles

SoientAetBdeux evenements d'un ensemble fondamental fAouBg=A[B= reunion de A et BfAetBg=A\B= intersection de A et Bcomplementaire deAdans =A=

A;= evenement impossible

= evenement certain AetBsont incompatibles ou disjoints lorsqueA\B=;Segolen GerayIntro Proba-Stat

Exercice : evenements

Soit l'experience\une personne lance un de cubique a 6 faces et

note la valeur obtenue sur la face superieure de ce de".1Comment decrire l'evenement A=\obtenir une valeur

inferieure a 4"?2Comment decrire l'evenement B=\obtenir une valeur paire"?

3Comment decrire l'evenement C=\obtenir une valeur inferieure

a 4 ou une valeur paire"?4Comment decrire l'evenement D=\obtenir une valeur inferieure a 4 et une valeur paire"?5Comment decrire l'evenement E=\obtenir une valeur superieure ou egale a 8"?6Comment decrire l'evenement F=\obtenir une valeur inferieure ou egale a 6"?

Segolen GerayIntro Proba-Stat

Exercice : evenements (suite)

Soit l'experience\une personne lance simultanement deux des cubiques a 6 faces et note la valeur obtenue sur la face superieure de chaque de".1Comment decrire l'evenement A=\obtenir au moins un 6"?

2Comment decrire l'evenement B=\obtenir une somme des

deux valeurs superieure ou egale a 10"?3Comment decrire l'evenement C=\obtenir au moins un 6 et obtenir une somme des deux valeurs superieure ou egale a

10"?4Comment decrire l'evenement D=\obtenir un produit des deux

valeurs superieur a 100"?

Segolen GerayIntro Proba-Stat

Regle de calcul des probabilites

Une probabilite est unefonctionnoteePqui attribue a tout evenementAune valeurP(A) designant la probabilite queA se realise.Une probabilite possede les proprietes suivantes :

0P(A)1 pour tout evenementAP(

) = 1P(;) = 0P(A) = 1P(A)AB)P(A)P(B)en general,P(A[B) =P(A) +P(B)P(A\B)mais siAetBsont disjoints,P(A[B) =P(A) +P(B)en general, on aP([ni=1Ai)Pn

i=1P(Ai)mais si lesAisont 2 a 2 disjoints,P([ni=1Ai) =Pn i=1P(Ai)Segolen GerayIntro Proba-Stat

Probabilites sur les univers nis

Soit est un universni, on peut alors l'ecrire sous la forme =f!1;:::;!ng. On note card( ) le nombre d'elements de qui represente le nombre de cas possibles a l'issue de l'experience aleatoire.Lorsque est un universni, il est parfois approprie de supposer que la probabilite associee a chaque evenement elementaire est identique i.e.P[!i] = 1=card( ) pour

i= 1;:::;n. On dit alors qu'il y aequiprobabilite.L'hypothese d'equiprobabilite implique que la probabilite d'un

evenementAs'obtient en calculant le rapport du nombre de cas possibles correspondant a l'evenementA(note card(A)) sur le nombre de cas possibles, soit :

P[A] =card(A)card(

Segolen GerayIntro Proba-Stat

Exemple d'equiprobabilite sur un univers ni

Soit l'experience\une personne lance un de cubique a 6 faces et note la valeur obtenue sur la face superieure de ce de". Soit, pour i= 1;2;:::;6, l'evenement!i=\obtenir la valeur i". Eectuer l'hypothese d'equiprobabilite revient a supposer queP[!i] = 1=6 pouri= 1;2;:::;6, ce qui correspond au cas ou le de est bien equilibre.Considerons l'evenement B=\obtenir une valeur paire". Que vautP[B]?Considerons C=\obtenir une valeur inferieure a 4 ou une valeur paire". Que vautP[C]? Attention, ceci ne tient pas si le de est truque de sorte que

P[!1] = 1=24,P[!i] = 1=6 pouri= 2;:::;5 etP[!6] = 7=24.Que valentP[B] etP[C] dans ce cas?Segolen GerayIntro Proba-Stat

Probabilites conditionnelles : introduction

Considerons une experience realisee sur une certaine population et un evenementAqui a une probabiliteP[A] de se realiser, par ex :A= presence d'une maladie M.Que devientP[A] si on se restreint a une sous-population?

par ex : sous-population = les individus presentant un signe S.On introduit un evenementBconditionnant, qui denit la

sous-population, par ex :B= presenter le signe S.P[B] ne doit pas ^etre nul.Segolen GerayIntro Proba-Stat

Probabilites conditionnelles : denition

La probabilite que l'evenementAse realise sachant que l'evenementBa eu lieu (=probabilite deAparmi la sous-population caracterisee parB) est denie par : P[AjB] =P[A\B]P[B]:De m^eme, la probabilite que l'evenementBse realise sachant que l'evenementAa eu lieu est denie par : P[BjA] =P[A\B]P[A]:Ne PAS confondreP[AjB]= probabilite queAse realise sachant qu'on a observeBavecP[A\B]=probabilite queA etBse realisent simultanement!!Segolen GerayIntro Proba-Stat

Exemples de probabilites conditionnelles

Considerons les chires suivants valables pour la France :P[^etre VHC+] = 600000=60000000 = 1%P[^etre VHC+ sachant que ^age = 15 ans] = faible,

certainement<104P[^etre VHC+ sachant qu'il y a toxicomanie IV depuis>5 ans]

= forte, certainement>50%P[^etre VHC+ sachant que la personne est asthmatique] = 1%Segolen GerayIntro Proba-Stat

Probabilites conditionnelles : regles de calcul

SoitBun evenementxe. La fonctionA!P[AjB] est une

vraie probabilite i.e. les regles de calcul avec les probabilites conditionnelles sont les m^emes qu'avec les probabilites classiques.0P(AjB)1 pour tout evenementAP( jB) = 1P(;jB) = 0P(AjB) = 1P(AjB)A

1A2)P(A1jB)P(A2jB)en general,

P(A1[A2jB) =P(A1jB) +P(A2jB)P(A1\A2jB)mais siA1etA2sont disjoints, P(A1[A2jB) =P(A1jB) +P(A2jB)en general, on aP([ni=1AijB)Pn i=1P(AijB)mais si lesAisont 2 a 2 disjoints,

P([ni=1AijB) =Pn

i=1P(AijB)Segolen GerayIntro Proba-Stat

Independance de 2 evenements : introduction

denition sans formule : soient A et B deux evenements. Si, lorsqu'on recoit l'information que B s'est produit, cela ne modie pas la probabilite de A, on dit que A et B sont independants. Autrement dit, des evenements independants

n'apportent pas d'information l'un sur l'autre.ex : l'asthme et le VHC sont independants : l'un n'aide pas au

diagnostic de l'autre. Notons queP[^etre VHC+] = 1% et que P[^etre VHC+ sachant que la personne est asthmatique] = 1%.

Segolen GerayIntro Proba-Stat

Independance de 2 evenements : denition formelle

1 eredenition avec formule : A et B sont independants si P[AjB] =P[A] ou/etP[BjA] =P[B]:ex : La frequence du VHC est 1% :P[VHC+] = 0:01. La frequence du VHC chez les asthmatiques est egalement de

1% :P[VHC+jasthmatique] = 0:01.2

emedenition avec formule : A et B sont independants si

P[A\B] =P[A]P[B]:

Cette formule est symetrique en A et B, on en deduit que si

P[AjB] =P[A], alors on a aussiP[BjA] =P[B].

ex :P[asthmatiquejVHC+] =P[asthmatique] puisque asthme et VHC sont independants.

Segolen GerayIntro Proba-Stat

Independance et incompatibilite

Ne pas confondre des evenements incompatibles et des evenements independants...ex : considerons A="l'enfant a na^tre est un garcon"et B="l'enfant a na^tre est une lle". Les evenements A et B sont incompatibles. Mais ils ne sont pas independants!!! En eet, P[A\B] = 06=P[A]P[B] = 0:50:5 = 0:25Segolen GerayIntro Proba-Stat

Systeme complet

Une famille d'evenementsfA1;A2;:::;Angforme un systeme complet d'evenements siA

16=;,A26=;,...,An6=;A

1\A2=;,A1\A3=;,...,An1\An=;(i.e. les

evenements du systeme complet sont deux a deux disjoints) =A1[A2[:::[AnPar exemple, soit l'univers =f1;2;3;4;5;6g. On peut denir un systeme complet d'evenementsfA1;A2;A3gavec, par exemple,A1=f1;2g,A2=f3;5getA3=f4;6g. On a bienA16=;,A26=;,A36=;,A1\A2=;,A1\A3=;, A

2\A3=;et

=A1[A2[A3.LorsqueAest un evenement de probabilite non nulle,fA;Ag forme un systeme complet d'evenements.Pour tout evenementB, on a

P[B] =Pn

i=1P[B\Ai] =Pn i=1P[BjAi]P[Ai] et en particulier P[B] =P[B\A] +P[B\A] =P[BjA]P[A] +P[BjA]P[A]Segolen GerayIntro Proba-Stat

Quelques formules utiles

Formule de Bayes: lorsqueAetBsont deux evenements de probabilite non-nulle, on peut ecrire : P(AjB) =P(BjA)P(A)P(B)Formule des probabilites totales: SoitfA1;:::;Angun systeme complet d'evenements. Pourk= 1;:::;n, on peut ecrire :

P(AkjB) =P(BjAk)P(Ak)P

n j=1P(BjAj)P(Aj) ce qui dans le cas d'un systeme complet d'evenements donne parfA;Agrevient a : P(AjB) =P(BjA)P(A)P(BjA)P(A) +P(BjA)P(A)Segolen GerayIntro Proba-Stat

Exercice : tubes d'aluminium

Un echantillon de 100 tubes d'aluminium est preleve dans la production de l'usine et chaque tube est classe en fonction de sa longueur (L) et de sa qualite de surface (QS). Chacune de ces caracteristiques peut ^etre consideree comme\conforme"ou non \conforme". Les resultats suivants sont obtenus :L conformeL non-conforme

QS conforme757

QS non-conforme108

SoitAl'evenement\le tube a une qualite de surface conforme"et

soitBl'evenement\le tube est de longueur conforme".Determiner les probabilites suivantes :P(A),P(B),P(A),

P(A\B),P(A[B),P(A[B),P(AjB) etP(BjA).Segolen GerayIntro Proba-Stat

Exercice : chasse au canard

Trois amis vont a la chasse. Le premier est bon tireur et a la probabilite 2/3 d'atteindre sa cible. Les deux autres sont moins performants et ont la probabilite 1/6 d'atteindre leur cible. Un canard s'envole : les trois amis tirent dessus.Quelles sont les chances de survie du canard?

Segolen GerayIntro Proba-Stat

Exercice : grippe et sympt^omes

Durant l'hiver, la probabilite pour qu'une personne ait la grippe est estimee a 30%. Le diagnostique clinique est pose lorsque la personne presente les sympt^omes suivants : courbatures, evre subite, signes respiratoires. Durant l'hiver, la probabilite pour qu'une personne presente ces sympt^omes est estimee a 40%. On sait aussi qu'une personne ayant la grippe a 80 chances sur 100 d'avoir ces sympt^omes.Quelle est la probabilite d'avoir la grippe et de presenter les sympt^omes decrits ci-dessus?Quelle est la probabilite d'avoir la grippe sachant qu'on presente les sympt^omes ci-dessus?

Segolen GerayIntro Proba-Stat

Exercice : tirage de 2 pieces parmi une production L'ingenieur d'usine de l'entreprise Product a note, en se basant sur une evaluation de plusieurs annees, que 2% de la production de l'usine est defectueuse. L'ingenieur tire successivement deux pieces dans la production. On suppose que le fait d'observer une piece defectueuse n'in

ue pas sur la qualite de l'autre piece.1Quelle est la probabilite que les 2 pieces tirees par l'ingenieur

soient defectueuses?2Quelle est la probabilite que l'une des deux pieces soit bonne et l'autre defectueuse?

Segolen GerayIntro Proba-Stat

Exercice : bris d'un dispositif electronique et arr^et d'une chaine d'empaquatage L'ingenieur d'usine de l'entreprise Electropak a note, en se basant sur une evaluation de plusieurs annees, qu'un dispositif electronique installe sur une chaine d'empaquetage a une probabilite de 20% de tomber en panne. Lorsque ce dispositif tombe en panne, la probabilite d'^etre oblige d'arr^eter completement la chaine

d'empaquetage (a cause d'un bris trop important) est de 50%.Quelle est la probabilite d'observer que le dispositif tombe en

panne et que la chaine d'empaquetage soit completement arr^etee?

Segolen GerayIntro Proba-Stat

Exercice : kermesse

Pour une kermesse d'ecole, un stand propose le jeu suivant. Le joueur tire une carte dans un jeu comportant 32 cartes. S'il obtient une gure (i.e. un valet, une dame ou un roi), il tire un billet dans la corbeille\Super Chance"qui contient 20 billets gagnants et 30 billets perdants. Si le joueur n'obtient pas de gure, il tire un billet dans la corbeille\Petite Chance"qui contient 10 billets gagnants et

40 billets perdants.Quelle est la probabilite pour un joueur de tirer un billet

gagnant?

Segolen GerayIntro Proba-Stat

Exercice : orthographe anglophone

Les anglais et les americans orthographient le mot\rigueur" respectivement\rigour"et\rigor". Un homme ayant pris une chambre dans un h^otel parisien a ecrit ce mot sur un bout de papier. Une lettre est prise au hasard dans ce mot et c'est une voyelle. Or, 40% des anglophones de l'h^otel sont des Anglais et

60% des americains.Quelle est la probabilite que l'auteur du mot soit anglais?

Segolen GerayIntro Proba-Stat

Exercice : alcootest

Une entreprise commercialisant un alcootest decide d'en verier la abilite. Les chires sont les suivants :25% des personnes contr^olees par la police sont eectivement en etat d'ebriete95 fois sur 100, l'alcootest s'est revele positif alors que la

personne etait reellement en etat d'ebriete1 fois sur 100, l'alcootest s'est revele positif alors que la

personne n'etait pas en etat d'ebriete1Quelle est la probabilite que l'alcootest donne une indication

correcte?2Quelle est la probabilite qu'une personne soit reellement en etat d'ebriete lorsque l'alcootest est positif?

Segolen GerayIntro Proba-Stat

Exercice : tirage de boules

Une urne etiquetee A contient 3 boules blanches, 2 boules noires et

5 boules rouges. Une urne etiquetee B contient 5 boules blanches,

3 boules noires et 2 boules rouges. On eectue l'hypothese

d'equiprobabilite a la fois en ce qui concerne le tirage des urnes et le tirage des boules.1On tire une boule au hasard dans une des urnes elle-m^eme tiree au hasard. Quelle est la probabilite que la boule tiree soit rouge?2On tire une boule au hasard dans une des urnes elle-m^eme tiree au hasard. La boule tiree etant rouge, quelle est la probabilite que celle-ci provienne de l'urne A?

Segolen GerayIntro Proba-Stat

Exercice : puces electroniques contaminees

Lors d'un procede de fabrication de semi-conducteurs, les puces qui ont ete soumises a une contamination due a la presence de poussieres tombent en panne avec une probabilite 0.1 tandis que les puces qui n'ont pas ete soumises a une contamination tombent en panne avec une probabilite 0.005. Pendant une sequence particuliere de production, la probabilite que les puces soient soumises a une contamination est 0.2.1Calculer la probabilite qu'une de ces puces tombent en panne.

2Sachant qu'une puce est tombee en panne, calculer la

probabilite que celle-ci ait ete contaminee lors de la production.

Segolen GerayIntro Proba-Stat

Exercice : microprocesseurs defectueux

On suppose que trois types de microprocesseurs utilises dans la fabrication d'ordinateurs se partagent le marche a raison de 25% pour le typeX, 35% pour le typeYet 40% pour le typeZ. Les pourcentages de defauts de fabrication sont : 5% pour les microprocesseurs de typeX, 4% pour ceux de typeYet 2% pour ceux de typeZ. Dans un lot constitue de microprocesseurs dans les proportions indiquees pour les typesX,YetZ, on preleve un microprocesseur.1Quelle est la probabilite qu'il soit defectueux?

2Sachant que le microprocesseur presente un defaut de

fabrication, quelle est la probabilite qu'il soit de typeX?Segolen GerayIntro Proba-Stat

Denition d'une variable aleatoire

Unevariable aleatoireXest le procede qui relie l'experience aleatoire a un nombre. On noteDXl'ensemble des valeurs queX peut prendre apres realisation de l'experience :DXs'appelle le domaine de denition deX.A chaque fois que l'on reproduit l'experience, on obtient une realisation deXque l'on notex:xest un nombre alors queXest une fonction!!!Soit l'experience\tirer une piece parmi une production"et soitXla variable aleatoire representant la longueur de la piece tiree. L'ingenieur d'usine eectue une 1ere fois cette experience, il obtient la realisationx1= 10:2cm. Il recommence une 2eme fois l'experience

et obtient la realisationx2= 9:9cm, etc...Soit l'experience\jeter un de"et soitXla variable aleatoire

representant la valeur inscrite sur la face superieure. Un joueur eectue une 1ere fois cette experience, il obtient la realisation x

1= 4. Il recommence une 2eme fois l'experience et obtient la

realisationx2= 3, etc...Segolen GerayIntro Proba-Stat

Les dierents types de variables

On distingue :les variables aleatoirescontinues: toute valeur d'un intervalle

deRest acceptable, ex : taille, poids, volume, temps ecoule...les variables aleatoiresdiscretes: elles prennent un nombre

denombrable (ni ou inni) de valeurs, par ex : nombre de pieces defectueuses dans la production journaliere d'une usine, nombre de clients arrivant a un guichet en une journee, variable aleatoire binaire codant pour\succes"ou\echec"...

Segolen GerayIntro Proba-Stat

Exemples de variables aleatoires et d'evenements associes A l'usine, on dispose d'un lot de 30 pieces prelevees dans la production sur lesquelles on eectue un contr^ole de qualite a l'issue duquel on declare les pieces conformes ou non-conformes. SoitXla variable aleatoire qui compte le nombre de pieces non-conformes.L'ensemble des valeurs possibles pourXest D

X=f0;1;:::;30g.L'evenement\2 pieces sont non-conformes"se notefX= 2g.fX= 50g=;f8:5X10:5gcode pour l'evenement\9 ou 10 pieces sont

non-conformes".On s'interesse au poids des pieces qui peut varier de 10g a

15g. SoitXla variable aleatoire representant le poids (en g)

d'une piece.L'ensemble des valeurs acceptables pourXestDX= [10;15].fX= 12g= le poids d'une piece est de 12g.fX= 50g=;f8:5X10:5g= le poids d'une piece est compris entre

8.5g et 10.5g.

Segolen GerayIntro Proba-Stat

Distribution de probabilite et fonction de repartition

Laloi de probabiliteaussi appelleedistribution de

probabiliteet noteefXd'une variable aleatoireXa pour but de decrire quelles sont les valeurs possibles prises par la variable et avec quelle probabilite ces dierentes valeurs sont prises.Une variable aleatoire est entierement caracterisee par sa distribution de probabilitefXou de maniere equivalente par sa fonction de repartitionnoteeFX.Latheorie des probabilitesvise a evaluer le comportement des variables aleatoires (esperance, variance, probabilites de depassement d'un seuil, comportement de sommes,...) etant donne la distribution de probabiliteFX.Lastatistiquefournit des methodes pour resoudre le probleme inverse dit d'inference statistique : caracteriserFX au vu des observations des variables.

Segolen GerayIntro Proba-Stat

Fonction de repartition d'une variable aleatoire

SoitXune variable aleatoire et soitxun nombre.Considerons l'evenementfXxg= ensemble des resultats

d'experience dont le codage est inferieur ou egal ax.P[Xx] est un nombre qui depend de la valeur dexOn denitFXla fonction de repartition deXpar

F X(x) =P[Xx]:Pour toutx, on a 0FX(x)1 avec limx!+1FX(x) = 1 et lim

x!1FX(x) = 0.On noteFX(x) =P[Xx] = 1P[Xx] i.e.P[X>x] = 1FX(x)P[Xx]P[X

X(b)FX(a) =P[a

X(b)FX(a) =P[aXb]F

X(b)FX(a) =P[a

X(b)FX(a) =P[aX

Quelques proprietes de la fonction de repartition

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