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LE COURS

[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche]

Note liminaire

Programme selon les sections :

- probabilitĠs d'ĠǀĠnements indépendants : toutes sections - probabilités conditionnelles : STMG, ST2S, ES/L, S - Epreuve de Bernouilli, loi binomiale, espérance, variance, écart-type : STMG, ES/L, S

Prérequis

calcul de puissances

Plan du cours

1. Vocabulaire

2. ProbabilitĠs d'ĠǀĠnements indĠpendants

3. Probabilités conditionnelles

1. Vocabulaire

On nomme cette section " probabilités discrètes » car les issues possibles des expériences aléatoires

traitées sont en nombre fini. (" discret ͩ s'oppose ă ͨ continu »)

Expérience aléatoire :

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut connaître le résultat a priori. Les

résultats possibles sont appelées issues ou éventualités. Ex : un lancer de dé est une expérience aléatoire. Il y a 6 issues possibles.

Univers :

L'uniǀers d'une edžpĠrience alĠatoire est l'ensemble de ses issues possibles. On le note

Ex : pour le lancer de dé,

Evénement :

Un événement est un sous-ensemble de l'uniǀers.

Ex : pour le lancer de dé,

et sont des événements. Ils peuvent se formuler " faire un nombre strictement inférieur à 3 » et " faire un nombre pair ».

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche]

Evénement élémentaire : Un événement élémentaire est un sous-ensemble de l'uniǀers composĠ d'une seule issue.

Ex : est un événement élémentaire.

Cardinal :

Le cardinal d'un ensemble est le nombre d'ĠlĠments dans cet ensemble. Ex :

Evénement certain :

entier. Ex : Il est certain en lançant un dé de faire soit 1, soit 2, soit 3, soit 4, soit 5, soit 6.

Evénement impossible :

L'ĠǀĠnement impossible est l'ensemble ǀide Ex : Il est impossible en lançant un dé de ne faire aucun nombre.

Intersection d'ĠǀĠnements :

L'intersection de deudž ĠǀĠnements A et B (notĠe dans A et à la fois dans B.

Ex ͗ pour l'edžemple prĠcĠdent,

Union d'ĠǀĠnements :

L'union de deux événements A et B (notée

dans B.

Ex ͗ pour l'exemple précédent,

Evénement contraire :

L'ĠǀĠnement contraire d'un ĠǀĠnement A (notĠ qui n'appartiennent pas ă A. On appelle aussi le complĠmentaire de l'ĠǀĠnement A.

On a donc :

et

Ex ͗ pour l'edžemple prĠcĠdent,

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3

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche]

Evénements incompatibles :

Deudž ĠǀĠnements A et B sont incompatibles s'ils ne peuǀent se rĠaliser simultanĠment (s'ils n'ont

aucune issue en commun).

On a donc :

(Deux événements contraires sont donc incompatibles.)

Ex ͗ pour l'edžemple prĠcĠdents,

et sont incompatibles.

2. ProbabilitĠs d'ĠǀĠnements indĠpendants

Loi de probabilité :

Soit une expérience aléatoire avec un univers chaque éventualité (avec ) on peut associer un nombre tel que : - la somme des est égale à 1 ( - à chaque événement on peut associer le nombre

Le nombre

est la probabilitĠ de l'ĠǀentualitĠ , le nombre est la probabilité de l'ĠǀĠnement

Propriétés :

(probabilitĠ de l'ĠǀĠnement certain) (probabilitĠ de l'ĠǀĠnement impossible) - si A et B sont incompatibles alors

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4

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche]

Définition : On dit que n événements

forment une partition de l'ensemble s'ils sont incompatibles entre eux (pour tout et pour tout ) et si

On a alors pour tout k

et 1

Equiprobabilité :

la même probabilité. Ex : Dans un lancer de dé, toutes les faces ont une probabilité de

Ex : La probabilitĠ de l'ĠǀĠnement

(" faire un nombre strictement inférieur à 3 ») est

La probabilitĠ de l'ĠǀĠnement

(" faire un nombre pair ») est

Des expériences identiques sont des expériences qui ont les mêmes issues et probabilités associées.

Des expériences indépendantes sont des expériences dont les rĠsultats ne s'influent pas mutuellement. et indépendantes. Si on a fait un 6 au premier lancer, puis encore un 6 au deuxième lancer, la probabilité de faire un 6 au troisième lancer sera toujours de Soit

l'uniǀers d'une edžpĠrience. Si on répète n fois cette expérience de manière indépendante

alors le cardinal (l'ensemble des possibilitĠs) de cette sĠrie d'edžpĠriences est Ex : si on lance un dé 3 fois successivement, il y aura combinaisons possibles.

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] Propriété : Si A et B sont deux événements indépendants alors

Arbre pondéré :

successivement par un arbre pondéré.

Ex : Appelons

" faire un nombre strictement inférieur à 3 au premier lancer », " faire un nombre strictement inférieur à 3 au deuxième lancer », " faire un nombre strictement inférieur à

3 au troisième lancer ».

On a par conséquent :

Pour obtenir les probabilitĠs d'intersections d'ĠǀĠnements on multiplie les probabilitĠs associĠes sur

chaque branche correspondante.

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6

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche]

Par exemple, la probabilitĠ d'obtenir un nombre strictement inférieur à 3 la première fois, puis des

nombres supérieurs ou égaux à 3 ensuite est :

Variable aléatoire :

Ex : Si dans un jeu de dé on perd 2 euros en faisant 1, on gagne 5 euros en faisant 6, et rien en faisant

2,3,4, 5, on définit une variable aléatoire.

que les probabilités associées. Ex : pour le jeu de dé, l'ensemble des ǀaleurs prises par X est et

Espérance :

Espérance associée à la variable aléatoire X ( et probabilités associées

Ex ͗ pour l'edžemple prĠcĠdent,

. On peut espérer gagner en moyenne 0,5 euros par lancer de dé.

Variance :

(" la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne »)

Ex : pour le jeu de dé,

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche]

Ecart-type :

Ex : pour le jeu de dé,

réellement gagner ou perdre et le gain moyen de 0,5 euros.

Epreuve de Bernouilli :

possibles. On appelle l'une " succès » et l'autre " échec ».

Si le succès a une probabilité

, l'Ġchec a donc une probabilitĠ " faire un 6 » est un succès et " ne pas faire un 6 » est un échec.

La variable de Bernouilli est la variable aléatoire X qui au succès associe 1 et ă l'Ġchec associe 0. On

appelle la loi de probabilité de X loi de Bernouilli.

Ex ͗ pour l'edžemple prĠcĠdent,

et

Loi binomiale :

lesquelles le succès a une probabilité p.

La variable aléatoire X correspond alors au nombre de succès obtenus lors de cette série de n

épreuves de Bernouilli identiques.

On appelle la loi de probabilité de X loi binomiale de paramètres n et p. On la note

On a la formule suivante pour k entier tel que

(k correspondant au nombre de succès) :

Propriétés :

Si X suit une loi binomiale

, alors :

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche]

Coefficient binomial :

On appelle le nombre

coefficient binomial. Il se lit " k parmi n ». Il correspond au nombre de façons possibles de faire k succès parmi la série de n expériences.

Ex : pour 3 lancers de dés répétés, il y a 3 façons possibles de faire 2 fois un 6 (2 fois un " succès ») :

un 6 au premier lancer et un 6 au deuxième, un 6 au premier et un 6 au troisième, un 6 au deuxième

et un 6 au troisième. (il y a environ 7% de chances de faire 2 fois un 6 en lançant 3 fois un dé)

Le coefficient binomial se calcule ă la calculatrice, son edžpression n'est pas au programme. La ǀoici

néanmoins pour information :

Propriétés :

et - pour k entier tel que - pour k entier tel que

3. Probabilités conditionnelles

Les probabilités conditionnelles concernent des expériences aléatoires qui ne sont pas forcément

indépendantes les unes des autres.

Définition :

Soient A et B deux événements tels que

La probabilité que B advienne sachant que A est advenu est :

Elle se lit " P de B sachant A ».

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche]

Corollaire : On a donc :

Ex : Soit une urne contenant 6 boules rouges et 4 boules blanches. On effectue deux tirages successifs sans remise (il y a donc 10 boules dans l'urne au premier tirage, puis 9 au deudžiğme

tirage). Soit A " tirer une boule blanche au premier tirage » et B " tirer une boule blanche au deuxième tirage ».

Arbre pondéré :

- On inscrit sur chaque branche la probabilité conditionnelle associée. sur chaque branche correspondante. Ex ͗ arbre pondĠrĠ de l'edžemple prĠcĠdent - probabilité de tirer deux boules rouges : - probabilité de tirer une boule rouge puis une boule blanche :

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche]

Propriétés : -

- si A et B sont incompatibles alors et Formule des probabilités totales : Soient n événements formant une partition de . Soit un événement B.

On a donc :

Indépendance :

Si deux événements A et B sont indépendants alors et

Si A et B sont indépendants, alors A et

sont indépendants, et B sont indépendants, et sont indépendants.quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28