[PDF] La fonction rationnelle

Manipulation dexpressions algébriques - Formation EDA

www alloprof qc ca/BV/Pages/m1044 aspx p 7-8, #1- 2 1 Fonction polynomiale du second degré

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La fonction rationnelle

f (ressource sous la forme d'une vidéo) cliquez ici Solution détaillée minateur est un polynôme de degré 2, ou bien le factoriser (c'est ce que nous ferons ici) f(x) = x2 − 5 x + 6

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La fonction rationnelle

Éléments de base à connnaître

Qu"est-ce qu"un polynôme?

Qu"est-ce qu"une fonction rationnelle?

Comment identifier des asymptotes verticales d"une fonction rationelle? Comment déterminer les zéros d"une fonction rationnelle?

Comment déterminer les abscisses des points d"une fonction rationelle dont l"ordonnée est donnée.

Comment déterminer l"ensemble de définition d"une fraction rationnelle (comment déterminer le domaine d"une fonction rationnelle)?

Exemple

La règle de correspondance d"une fonction réelle estf(x) =x25x+ 6x

26x+ 8

a)

Déterminer le domaine de cette fonction.

b)

Simplifier cette fonction sur son domaine.

c) Déterminer les équations des asymptotes v erticales. d) Déterminer les p ointsdon tl"ordonnée est 3.

Solution détaillée à la page suivante

Ressources du web

1.Club Pythagore(ressource sous la forme écrite)cliquez ici

Vocabulaire. Un exemple pour la détermination du domaine d"une fonction rationnelle.

2.Alloprof(ressources sous la forme écrite)

i)

Solution détaillée à un problème comp ortantune mise en s ituation,don tla résolution néces sitele

traitement d"une fonction rationnelle.cliquez ici ii) Résolution d"une équation rationnelle. cliquez ici Note : Se limiter à la première définition et aux 3 premiers exemples.

3.Alloprof(ressource sous la forme d"une vidéo)cliquez ici

Solution détaillée à un problème comportant une mise en situation (différente de celle indiquée plus haut

sous la forme écrite), dont la résolution nécessite le traitement d"une fonction rationnelle.

Remarque: Dans cette vidéo, on laisse sous-entendre qu"une fonction rationnelle est le quotient de

deux polynômes du premier degré alors qu"en général, une fonction rationnelle est un quotient de deux

polynômes, sans restriction sur les degrés.

Résolution de l"exemple

La règle de correspondance d"une fonction réelle est f(x) =x25x+ 6x

26x+ 8

a)

Déterminer le domaine de cette fonction.

Cette fonction est définie pour toutes les valeurs dex, sauf celles où le dénominateur s"annule. Pour

déterminer les valeurs qui annulent le dénominateur, on peut utiliser la formule quadratique car le déno-

minateur est un polynôme de degré 2, ou bien le factoriser (c"est ce que nous ferons ici). f(x) =x25x+ 6x

26x+ 8=x25x+ 6(x2)(x4)

Ainsi on pourra toujours calculerf(x)sauf lorsquex= 2oux= 4. Ainsi, le domaine def(x)estRnf2;4g. b)

Simplifier cette fonction sur son domaine.

f(x) =x25x+ 6x

26x+ 8=(x2)(x3)(x2)(x4)=x3x4(lorsquex6= 2)

Ainsi, pourx6= 2, la fonctionf(x)coïncide avec la fonctiong(x) =x3x4. c) Déterminer les équations des asymptotes v erticales.

Dans le cas des fonctions rationnelles, on a une asymptote verticale pour chaque valeur qui annule le

dénominateur de la fonction simplifiée. Ainsi, dans le cas de la fonctionf(x), on a une asymptote verticale

lorsquex= 4. L"équation de l"unique asymptote verticale est doncx= 4. d) Déterminer les p ointsdon tl"ordonnée est 3.

On a déjà l"ordonnée, il reste à trouver les abscisses. Pour cela, il suffit d"imposer l"égalitéf(x) = 3, ce

qui revient à imposerg(x) = 3(on peut travailler directement avec la fonction simplifiée). g(x) = 3 x3x4= 3 x3 = 3(x4) x3 = 3x12 x3x=12 + 3 2x=9 x=92 Il n"y a qu"un seul point dont l"ordonnée est 3 et c"est le point(92 ;3). 2

Remarque: Comme complément, voici la représentation graphique des fonctionsf(x)etg(x)sur une partie

de leur domaine.Figure1 - Observez la subtile différence entre les graphiques def(x)etg(x).

Exercice

Répondre aux sous-questions de l"exemple de la première page, mais avec la fonctionf(x) =x2+x12x

2+ 2x15

Réponses

a)

Le domaine de f(x)estRn f3;5g.

b) P ourx6= 3, la fonctionf(x)coïncide avec la fonctiong(x) =x+ 4x+ 5. c) Il y a une seule asymptote v erticaleet son équation est x=5. d)

Le p ointdon tl"ordonnée es t3est le point(112

;3).

Mise en garde:Des profe sseursp euventa voirdes faço nsde faire d ifférentesde celles que l"on p eutv oirdans les liens

donnés en référence à la rubriqueRessources du web, ou bien dans la solution proposée à l"exemple. Soyez attentifs

aux directives qu"ils pourraient vous donner concernant la présentation des solutions et le détail des calculs.

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