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Exercices ⋆ : `a préparer `a la maison avant le TD, seront corrigés en début de TD f) La forme polaire de f est la forme bilinéaire symétrique (A, B) ↦→ tr(AB)

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1 Véri?er que Q est une forme quadratique sur E 2 Déterminer en fonction de l et m le rang et la signature de Q Analyser en particulier les cas (l;m) = (1;0) et (l;m)=(0;1) Correction H [005807] Exercice 3 ** Soit Q une forme quadratique sur un R-espace vectoriel E On note j sa forme polaire

Exercices formes bilinéaires et quadratiques

Exercice 6 — 1- Montrer que si fg? L(E;F) sont telles que pour tout x ? E existe ? x ? k tel que f(x)=? xg(x)alorsf et g sont proportionnels 2- Soit ? une forme bilin´eaire sur E × E telle que pour tout xy ? E ?(xy) est colin´eaire ?(yx)

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Formes bilinéaires formes quadratiques Exercice 1 Déterminer parmi les applications suivantes quelles sont les applications bilinéaires sur l’espace vectoriel E spécifié E = R2 ?((x1 x2) (y1 y2)) = x1y1 + x2y2 ; E = R2 ?((x1 x2) (y1 y2)) = x2 + x1y2 ; E = R2 ?((x1 x2) (y1 y2)) = (x2 + x1)y2 ;

TD n : Formes bilineaires et formes quadratiques´

1 et B 2 Exercice 6 Donner la forme bilineaire associ´ ee´ a chacune des formes quadratiques suivantes sa` matrice dans la base canonique de R2 et son rang a) Q 1(x) = x2 1 b) Q 2(x) = x 1x 2 c) Q 3(x) = 2x2 1 1 3 x 1x 2 d) Q 4(x) = x2 1 +9x 2 2 e) Q 5(x) = 3x 1x 2 x2 2 f) Q 6(x) = 4x2 1 +6x 1x 2 3x22 Exercice 7

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La linearite de l'integrale assure que B est bilineaire On a B(1; X) = 1=2 et B(X; 1) = 0 et donc B n'est ni symetrique ni antisymetrique On a f(1) = 0 et donc 1 2 Rn[X] est un vecteur isotrope Notons que la forme polaire de f n'est pas B mais sa symetrisee a savoir Bs(P; Q) := (B(P; Q) + B(Q; P )) :

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