On note Vs la tension de sortie du filtre, la fonction de transfert du filtre s'écrit: H = (on se souviendra que la composante continue de Ve n'est pas intégrée)
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On note Vs la tension de sortie du filtre, la fonction de transfert du filtre s'écrit: H = (on se souviendra que la composante continue de Ve n'est pas intégrée)
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PC - Lyc´ee Dumont D"UrvilleNotion de filtrage
I.Filtrage
Pour analyser les composantes fr´equentielles d"un signal sonore,on utilise un transducteur (microphone) qui
convertit le signal en une tensionVepuis un filtre passe-bande extrait les composantes sinusoidales deVede
fr´equence voisine d"une fr´equencef0donn´ee. On noteVsla tension de sortie du filtre, la fonction de transfert du filtre s"´ecrit: H =VsVe=F01 +jQ(ωω0-ω0ω)
1.Tracer l"allure du gainG=|H
|en fonction deω. Pr´eciser la nature du filtre et s"il y a lieu la pulsationet le gain `a r´esonance. D´efinir la bande passante et la porter surle sch´ema. Rappeler sans calcul, la relation
entre Δω,ω0etQ. Commenter.On se propose de d´eterminer les caract´eristiquesF0,Qetω0du filtre `a partir des oscillogrammes obtenus en
r´egime p´eriodique pour une tension d"entr´eeVerectangulaire pour deux valeurs de fr´equences. On rappelle
la d´ecomposition en s´erie de Fourier deVe(t) dans le cas o`uVe(t) est p´eriodique de p´eriode T avecVe(t) =V0
pour 0< t < T/2 etVe(t) = 0 pourT/2< t < T. V e(t) =V02+2V0π∞
k=012k+ 1sin((2k+ 1)2πf1t) 12.Pour l"exp´erience 1, d´eterminerV0etf1graphiquement. Tracer le spectre deVset le spectre deVe
(donner les fr´equences et les amplitudes des quatre premi`erescomposantes non nulles).3.Pourquoi, dans chaque exp´erience, la tension de sortieVsne comporte-t-elle pas de composante continue
contrairement `a la tension d"entr´eeVe?4.Premi`ere exp´erience : pourquoi peut-on obtenir une tension de sortie vs quasi-sinuso¨ıdale alors que la
tensionVeest rectangulaire ?5.D´eduire de l"oscillogramme de la premi`ere exp´erience et du commentaire qui l"accompagne : la pulsation
0et la valeur deF0.
6.Dans la deuxi`eme exp´erience,Vsest triangulaire alors queVeest rectangulaire. Le filtre a un comporte-
ment int´egrateur.6.a.Donner l"expression approch´ee deH
dans le domaine de fr´equence correspondant `a la deuxi`eme exp´erience.6.b.En utilisant l"oscillogramme de la deuxi`eme exp´erience, d´eterminer, en justifiant pr´ecis´ement
la m´ethode utilis´ee, le rapportF0ω0 Q(on se souviendra que la composante continue deVen"est pas int´egr´ee).En d´eduire la valeur de Q.
2II.Correction : Filtrage
1.La fonction de transfert s"´ecritH
=F01 +jQ(ωω0-ω0ω). On peut ´ecrire son module qui repr´esente le gain G=F01 +Q2(ωω0-ω0ω)2.
Pourω->0 et pourω->∞, le gain est nul, ce filtre coupe les basses et les hautes fr´equences. C"est un filtre passe-bande. La pulsation `a r´esonance est0(c"est la pulsation pour laquelle le gain est maxi-
mal, le gain est maximal lorsque le d´enominateur est minimal soit pourωω0-ω0ω= 0 donc pourω=ω0)
et le gain `a r´esonance vautF0. Qest le facteur de qualit´e (nombre sans unit´e v´erifiant Δω=ω0Q: plus le facteur de qualit´e est
grand et plus la bande passante est ´etroite. G GmaxGmax/ 2
Δω=ω0/Q
2. f1 3f1 5f1 f2V0/π
V0/22V0/3π
2V0/5π
0spectre de Ve
spectre de Vs f4kHz6V
f1=ω1
2πest la fr´equence du fondamental c"est la fr´equence du signal rectangle : on lit sur le graphe
T1= 5.50μssoitf1=1
T1= 4kHz.
On litV0= 2.0,5 = 1V.
3.La composante continue correspond `a une fr´equence nulle orG(ω= 0) =Vs
Ve= 0 (le filtre ne laisse pas
passer les basses fr´equences), donc le signal de sortie a une composante continue nulle.4.On peut dire d"un filtre passe-bande qu"il laisse passer les composantes comprises dans la bande passante
et qu"il coupe les composantes `a l"ext´erieur de la bande passante.La bande passante de ce filtre est suff-
isamment ´etroite pour que le filtre ne laisse passer qu"une composante du spectre deVe, le signal de sortie
est donc quasi-sinusoidal.5.Dans la premi`ere exp´erience,VeetVsont la mˆeme fr´equence. Ce filtre a donc laiss´e passer le mode
fondamental d"amplitude2V0 π. La tension de sortie diminue lorsque la fr´equence augmente ou diminue, ce qui signifie quef1est la fr´equence de r´esonance du filtre.Doncω0= 2πf1= 25 100rad/s.
On a alorsG(f1) =F0=Vs
VeavecVs= 6V(amplitude deVs) etVe=2V0π= 0,63 soitF0=60,63= 9,5. 6.6.a.La p´eriode du signal est dix fois plus petite que la p´eriode du signal pr´ec´edent, donc la fr´equence
est dix fois plus grande, on a donc iciω1= 10ω0(on se place `a haute fr´equence). Dans la fonction de transfert
on peut n´egligerω0ωdevantωω0, de mˆeme on peut n´egliger 1 devantQωω0. La fonction de transfert peut donc
s"´ecrire :H =F0jQωω0=ω0F0jωQ=V s Ve. 3On aVs=ω0F0QV
e jωqui devient en notation r´eelle:Vs=ω0F0Q? V e(t)dt: la tension de sortie est bien proportionnelle `a l"int´egrale de la tension d"entr´ee.6.b.D"apr`es ce qui pr´ec`ede on adVs
dt=ω0F0QVe. dV sdtrepr´esente ici la pente du signal triangulaire soit±6.0,22,5.5.10-6= 0,96.106V/s. AvecVe=±2V(le
signal d"entr´ee varie entre 0Vet 4Ven tenant compte de sa composante continue. Mais ici la composante
continue ne passe pas, donc tout se passe comme si le signal d"entr´ee varie entre-2Vet +2V.