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et la fonction f ⇤ g s'appelle la convolée de f et g Example 35 1 Si f 2 L1 loc(Rd ) et g est continue à support compact, alors 

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fonctions continues sur R à support compact ( )2 A : toute fonction continue sur R à support compact, est limite uniforme sur 

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ANALYSE R

´EELLE

Notes du cours L3 ann

´ees 2007, 2009, 2010

Johannes Kellendonk(Version 1, 2007)kellendonk@math.univ-lyon1.frIta¨ı Ben Yaacov(Version 1.9.1088, 4th May 2010)http://math.univ-lyon1.fr/~begnac/

Universit

´e Claude Bernard Lyon I

2

TABLE DES MATI

`ERES TABLE DES MATI`ERESTable des mati `eres

1 Fonctions continues5

1.1 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Le Th

´eor`eme de Stone-Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Preuve du th

´eor`eme de Stone-Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Les espacesLp11

2.1 D

´efinition, in´egalit´es de H¨older et de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Compl

´etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Densit

´e des fonctions continues`a support compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Convolution et in

´egalit´e de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5 Densit

´e des fonctions lisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Espaces de Hilbert27

3.1 Produits scalaires et notion d"espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Somme directe et orthocomplement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Bases orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 La transformation de Fourier 33

4.1 La transformation de Fourier surL1(Rn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1.1 Transformation de Fourier et d

´erivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1.2 Convolution surL1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1.3 Synth

`ese spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2 La transformation de Fourier sur l"espace de SchwartzS(Rn). . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3 La transformation de Fourier-Plancherel surL2(Rn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Rappel sur les fonctions int

´egrables 39

5.1 Rappel sur l"int

´egrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.2 R

´esultats d"int´egration`a connaˆıtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2.1 Int

´egrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.3 Int

´egrales d´ependant d"un param`etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41AnalyseReelle.tex3Rev: 1088, May 4, 2010

4TABLE DES MATI`ERES

CHAPITRE 1. FONCTIONS CONTINUES

Chapitre 1

Fonctions continues

Les resultats de ce chapitre sont formul

´es pour des espaces m´etriques. N´eanmoins ils restent vrais pour des espaces topologiques.

1.1 Convergence uniforme

Dans ce chapitreXdenote un espace m´etrique etK=CouR. On noteC(X;K)l"espace des fonc- tions continues deX`a valeurs dansK. On dit qu"une fonctionf2C(X;K)s"annulle`a l"infini si pour tout >0il existe un compactYXt.q.jf(x)j< pourx =2Y. On note parC0(X;K)le sous-espace

C(X;K)des fonctions qui s"annullent`a l"infini. En particulier, les fonctions deC0(X;K)sont born´ees.

On note aussi que, siXest compact toute fonction s"annulle`a l"infini, doncC0(X) =C(X). D

´efinition 1.1.1.On appelle

kfk1= sup x2Xjf(x)j lanorme supounorme1def2C0(X;K). Une suite(fn)ndes fonctions deC(X;K)convergeuni- form ´ementvers une fonctionf:X!Ksi la suite des nombreskffnk1tend vers0pourn! 1. On va utiliser les notationsfnu!foufnkk

1!fpour la convergence uniforme.

La convergence uniforme d"une suite(fn)ndes fonctions versfentraine la convergence ponctuelle:

8x2X:fn(x)!f(x), mais la r´eciproque n"est pas juste.

Les r ´esultats suivants font partie du cours Topologie. Th ´eor`eme 1.1.2.Si la suite(fn)ndes fonctions deC0(X;K)converge uniform´ement vers une fonction f:X!Kalorsfest continue. Th

´eor`eme 1.1.3.(C0(X;K);kk1)est un espace de Banach (c"est-`a-dire, un espace vectoriel norm´e qui est

complet : toute suite de Cauchy admet une limite).

Le produit(fg)(x) =f(x)g(x)est associatif et distributif. Il d´efini donc la structure d"une alg`ebre sur

C

0(X;K).

Lemme 1.1.4.kfgk1 kfk1kgk1.AnalyseReelle.tex5Rev: 1088, May 4, 2010

6CHAPITRE 1. FONCTIONS CONTINUES

1.2 Le Th

´eor`eme de Stone-Weierstraß

On va maintenant consid

´erer le cas o`uXest compact et se poser le probl`eme d"approximer une fonction continue en sup-norme par des fonctions plus simples. Th ´eor`eme 1.2.1(Stone-Weierstraß).SoitXun espace m´etrique compact etK=CouR. SoitA

C(X;K)t.q.:

(i)Aest une sous-alg`ebre auto-adjointe (c"est-`a-dire,f2Aimpliquef2A). (ii)Acontient les fonctions constantes. (iii)As´epare les points deX(c"est-`a-dire, pour tousx;y2X,x6=y, il existe une fonctionf2At.q. f(x)6=f(y)). AlorsAest dense dansC(X;K)pour la topologie de la normekk1. Autrement dit, pour toute fonction f2C(X;K)il existe une suite(fn)ndansAqui converge uniform´ement versf. Exemple1.2.2.SoitX= [a;b]Run intervalle compact etAl"alg`ebre des polynˆomes sur[a;b]`a valeur

dansK.Xest compact etAsatisfait les crit`eres du Th´eor`eme 1.2.1 (le polynˆomeP(x) =xs´epare

les points). Donc toute fonction continue sur[a;b](`a valeur dansK) peutˆetre approxim´ee par des

polyn

ˆomes sur[a;b].

Remarque1.2.3.L"hypoth`ese de compacit´e est n´ecessaire. En effet, aucune fonction non polynˆomiale ne

peut ˆetre approxim´ee uniform´ement par des polynˆome surRtout entier. Exemple1.2.4.SoitX=S1=fz2C:jzj= 1getAl"alg`ebre des polynˆomes de Laurent surS1`a valeur dansC, c"est-`a-dire,L2Aest de la forme

L(z) =NX

n=Na nzn pour un certainN2Navecan2C. Commez=z1surS1on aL(z) =PN n=Na nzn, doncAest autoadjoint.Asatisfait les crit`eres du Th´eor`eme 1.2.1 et donc est dense dansC(S1;C). Posons~f:R!C,~f(t) =f(eit)pourf2C(S1;C). Alors~fest continue et2-p´eriodique. La densit´e deAdansC(S1;C)veut donc dire que toute fonction continue et2-p´eriodique surR(`a valeur dansC) peut

ˆetre approxim´ee par des polynˆomes trigonom´etriques, comme on appelle les fonctions de la forme~L(t) =PN

n=Naneint.

1.3 Preuve du th

´eor`eme de Stone-Weierstraß

La d ´emonstration est´el´ementaire mais longue. Nous la divisons en plusieurs´etapes.

Lemme 1.3.1.Il existe une suite de polynˆomesPn(x)2R[x]qui converge uniform´ement versf(x) =jxj

sur[1;1]. (Notons que ceci est un cas particulier du th´eor`eme de Stone-Weierstraß, o`uX= [1;1],K=R,

AC([1;1];R)est l"ensemble des fonctions polynˆomiales, et nous voulons montrer quef2A.) D ´emonstration.Nous d´efinissons par r´ecurrence: P

0(x) = 0; Pn+1(x) =12

(Pn(x)2+x):(1.1)

Un simple calcul donne:

2Pn+22Pn+1=P2n+1P2n= (Pn+1+Pn)(Pn+1Pn)

1.3. PREUVE DU TH

´EOR`EME DE STONE-WEIERSTRASS7

d"o `u P n+2Pn+1=12 (Pn+1+Pn)(Pn+1Pn):(1.2) On v

´erifie ais´ement par r´ecurrence que:

(i)Pn(x)est croissant sur[0;1], et0Pn(x)1pour toutx2[0;1]. (par (1.1)), et (ii)Pn+1(x)Pn(x)est croissant sur[0;1], et0Pn+1(x)Pn(x)pour toutx2[0;1](par (1.2)).

En particulier, pour toutnet pour toutx2[0;1]:

0Pn+1(x)Pn(x)Pn+1(1)Pn(1);

d"o `u, pour toutnm(et toutx2[0;1]):

0Pm(x)Pn(x)Pm(1)Pn(1);

et kPmPnk1 jPm(1)Pn(1)j;

Or, la suitePn(1)est croissante et born´ee (par1), donc convergente, et en particulier de Cauchy. Par

cons

´equence, la suite des fonctionsPnest de Cauchy dans dansC([0;1];R). Par compl´etude de ce dernier,

il existe une fonction continueg2C(X;R)telle quePn!guniform´ement sur[0;1].

En particulierPn(x)!g(x)pour toutx2[0;1], d"o`u

g(x) =12 (g(x)2x);ou :1g(x)2= 1x:

Or, nous savons d

´ej`a que1g(x)1, d"o`u:

1g(x) =p1x;i.e.,g(x) = 1p1x:

On a doncPn(x)!1p1xuniform´ement sur[0;1]. On en conclut que1Pn(1x2)!px 2=jxj uniform

´ement sur[1;1].1.3.1

Lemme 1.3.2(Th´eor`eme de Stone-Weierstraß pour les treillis).SoitXun espace compact contenant au

moins deux points,AC(X;R), et supposons que: (i)Pour tousx6=ydansX, tousr;s2Ret tout" >0il existef2Atelle quejf(x)rj< "et jf(y)sj< ". (ii)Pour tousf;g2Aon as aussimax(f;g)2Aetmin(f;g)2A.

AlorsAest dense dansC(X;R).

D ´emonstration.Soith2C(X;R), et soit" >0donn´e. D"abord, pour tousx;y2Xnous trouvons une fonctionsfxy2Atelle quejfxy(x)h(x)j< "etjfxy(y)h(y)j< "(comment fait-on six=y?). En particulier on a: f xy(x)< h(x) +"; fxy(y)> h(y)": Fixonsx2X, et pour touty2XposonsUxy=fz2X:fxy(z)> h(z)"g, observant que c"est un voisinage ouvert dey. On a doncX=S y2XUxy, et par compacit´e il existenty0;:::;ym12X

8CHAPITRE 1. FONCTIONS CONTINUES

tels queX=Sm1 i=0Uxyi. Nous posons alorsgx= max(fxy0;:::;fxym1). Par hypoth`esegx2A. et par construction nous avons: g x(x)< h(x) +"; gx(z)> h(z)"quelque soitz2X: Nous construisonsgx2Aavec ces propri´et´es pour chaquex2X, et posonsVx=fz2X:gx(z)< h(x) +"g. Comme avant,Vxest un voisinage dex, d"o`uX=S x2XVx, et par compacit´e il existent x

0;:::;xk1tels queX=Sk1

j=0. Nous posons alorsh"= min(gx0;:::;gxk1). Par hypoth`eseh"2A. et par construction nous avons: h "(z)< h(z) +"; h"(z)> h(z)"quelque soitz2X: Autrement dit,khh"k< ". Comme un telh"2Aexiste pour tout" >0, nous avons d´emontr´e que h2A.1.3.2 D

´emonstration du Th´eor`eme de Stone-Weierstraß.Nous observons d"abord que l"adh´erenceAsatisfait elle

aussi toutes les hypoth `eses du th´eor`eme. En effet, sifn!fetgn!guniform´ement, o`ufn;gn2A, alors il existe n ´ecessairementM2Rqui majorekfnk1,kfk,kgnk1etkgkpour toutn. Dans ce cas on a pour toutx2X: k(fn+gn)(f+g)k1 kfnfk1+kgngk1; kfngnfgk1=kfn(gng) +g(fnf)k1 kfnk1k(gng)k1+kgk1k(fnf)k1

Mk(gng)k1+Mk(fnf)k1;

k fnfk1=kfnfk1: Nous obtenons quefn+gn!f+g,fngn!fgetfn!funiform´ement, d"o`uf+g2A,fg2A etf2A. Cela montre queAest´egalement une sous alg`ebre auto-adjointe. Le fait queAcontient les fonctions constantes et s ´epare les points d´ecoule deAA. Comme il nous suffirait d"ailleurs de d ´emontrer queAest dense dansC(X;K)(et donc´egal`aC(X;K)), nous pouvons supposer queAest ferm

´e dansC(X;K).

Nous traitons d"abord le cas r

´eel,K=R. SiXne consiste que d"un seul point, toute fonction dans C(X;R)est constante, d"o`uA=C(X;R)par hypoth`ese. Nous pouvons donc supposer queXcontient au moins deux points. Soit(Qn(x))nla suite de polynˆomes dansR[x]qui converge uniform´ement versjxjsur[1;1]. Si f2Asatisfaitkfk11alorsQn(f)2A(carAest uneR-alg`ebre contenant les constantes) et Q n(f)! jfjuniform´ement (carf(x)2[1;1]pour toutx2X). Comme est suppos´e ferm´e,jfj 2A.

Sikfk1>1nous avonsfkfk12A,

fkfk1

1= 1etjfj=kfk1fkfk12A. Ainsi,jfj 2Apour tout

f2A. Sig2Aest une autre fonction alors: max(f;g) =12 (f+g+jfgj)2A;min(f;g) =12 (f+g jfgj)2A: Soient maintenantx6=y2X,r;s2R. Alors il existef2Atel quef(x)6=f(y). Posonsg(z) =

r+f(z)f(x)f(y)f(x)(sr). Alorsg2A,g(x) =retg(y) =s. D"apr`es le r´esultat pr´ec´edent,Aest dense dans

C(X;R), et doncA=C(X;R)(carAest ferm´e). Ceci conclut la d´emonstration du cas r´eel.

Dans le cas complexe, nous supposons

´egalement quef2A=)f2A. PosonsA0=A\C(X;R).

Alors pour toutf2Anous avonsRe(f) =f+f2

2A0etIm(f) =Re(if)2A0. Il est facile`a v´erifier

1.3. PREUVE DU TH

´EOR`EME DE STONE-WEIERSTRASS9

queA0v´erifie les hypoth`eses du cas r´eel, d"o`uA0=C(X;R). Or, toute fonctionf2C(X;C)peutˆetre

ecrite commef=g+iho`ug;h2C(X;R) =A0A, et commeAest uneC-alg`ebre:f=g+ih2A.

On a d

´emontr´e queA=C(X;C), et la preuve est finie.1.3.2

10CHAPITRE 1. FONCTIONS CONTINUES

CHAPITRE 2. LES ESPACESLPChapitre 2

Les espacesLp

2.1 D ´efinition, in´egalit´es de H¨older et de Minkowski

Les resultat sont formul

´es pour un espace m´esur´e(

;T;)quelconque, mais nous sommes princi- palement int

´eress´es au cas que

est une partie borelienne deRn(avec tribu borelien) et mesure de

Lebesgue, ou, dans le cas o

`u est discret, avec la mesure discr`ete. Pour

´eviter des cas exceptionnels, nous´etendons quelques op´erations arithm´etiques habituelles de

[0;1]`a[0;1]de la fac¸on naturelle. Donca+1=1pour touta2[0;1],1p=1pour0< p <1, et ainsi de suite. D

´efinition 2.1.1.On pose, pourp1

L p( ;) =ff: !Cmesurable t.q.kfkp<1g; kfkp= Z jfjpd 1p

On pose

´egalement

L 1( ;) =ff: !Cmesurable t.q.kfk1<1g; kfk1= inffM0:jf(x)j M -presque partoutg:

Il est facile

`a v´erifier que pour tout2Cetfmesurable:kfkp=jjkfkp, o`u nous convenons que

0 1= 0. En particulier:

Lemme 2.1.2.Les espacesLp(

;)sont desC-e.v. M

ˆeme si

est un espace topologique,L1( ;)est diff´erent deC( ;C)o`uC0( ;C), car les fonctions du premier ne sont pas forc ´ement continues. La d´efinition a un sens mˆeme pourp >0, mais ce qui suit seulement sip1. On va donc toujours supposerp1.

Sip2[1;1]on poseq2[1;1]t.q.1p

+1q = 1: sip= 1alorsq=1, sip=1alorsq= 1, et sinon:q=111p =pp1. On dit quep;qsont desexposants conjugu´es. Quelques identit´es pratiques pour les exposants conjugu

´es quandp;q >1:

p+q=pq p1 =pq :AnalyseReelle.tex11Rev: 1088, May 4, 2010

12CHAPITRE 2. LES ESPACESLP

Lemme 2.1.3(In´egalit´e de Young).Soienta;b0et1< p;q <1deux exposants conjugu´es. Alors abapp +bqq D ´emonstration.Sia= 0oub= 0c"est facile, donc on peut supposer quea;b >0. M ´ethode I (rapide):la fonctionexpest convexe, ce qui veut dire que pour tousx;yet pour tout2[0;1] nous avonsexp(x+ (1)y)exp(x) + (1)exp(y). En particulier: ab= exp(ln(ab)) = explnapp +lnbqq 1p exp(lnap) +1q exp(lnbq) app +bqq M ´ethode II (plus´el´ementaire):Nous observons queq1 =qp . Posonsf(t) =app +tqq at. Alorsquotesdbs_dbs8.pdfusesText_14