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A. P. M. E. P.
?Baccalauréat S Antilles-Guyane22 juin 2015?EXERCICE16POINTS
Commun à tous lescandidats
Soitfla fonction définie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ parf(x)=lnx. Pour tout réelastrictement positif, on définit sur ]0 ;+∞[ la fonctiongapar g a(x)=ax2.On noteCla courbe représentative de la fonctionfetΓacelle de la fonctiongadans un repère du plan.
Le but de l"exercice est d"étudier l"intersection des courbesCetΓasuivant les valeurs du réel strictement
positifa.PartieA
On a construit enannexe1(à rendre avec la copie) les courbesC,Γ0,05,Γ0,1,Γ0,19etΓ0,4.1.Nommer les différentes courbes sur le graphique. Aucune justification n"est demandée.
2.Utiliser le graphique pour émettre une conjecture sur le nombre de points d"intersection deCetΓa
suivant les valeurs (à préciser) du réela.PartieB
Pour un réelastrictement positif, on considère la fonctionhadéfinie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ par
h a(x)=lnx-ax2.1.Justifier quexest l"abscisse d"un pointMappartenant à l"intersection deCetΓasi et seulement si
h a(x)=0.2. a.On admet que la fonctionhaest dérivable sur ]0 ;+∞[, et on noteh?ala dérivée de la fonctionha
sur cet intervalle. Le tableau de variation de la fonctionhaest donné ci-dessous. Justifier, par le calcul, le signe deh?a(x) pourxappartenant à ]0 ;+∞[. x01?2a+∞ h ?a(x)+0- h a(x) -∞-1-ln(2a) 2 b.Rappeler la limite delnxxen+∞. En déduire la limite de la fonctionhaen+∞. On ne demande pas de justifier la limite dehaen 0.3.Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que
a=0,1. a.Justifier que, dans l"intervalle? 0 ;1 ?0,2? , l"équationh0,1(x)=0 admet une unique solution. On admet que cette équation a aussi une seule solution dans l"intervalle?1 ?0,2;+∞? b.Quel est le nombre de points d"intersection deCetΓ0,1?Baccalauréat SA. P. M. E. P.
4.Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que
a=1 2e. a.Déterminer la valeur du maximum deh1 2e. b.En déduire le nombre de points d"intersection des courbesCetΓ12e. Justifier.
5.Quelles sont les valeurs deapour lesquellesCetΓan"ont aucun point d"intersection?
Justifier.
EXERCICE25POINTS
Commun à tous lescandidats
La partie C peut être traitée indépendamment des parties A etBPartieA
On considère une variable aléatoireXqui suit la loi exponentielle de paramètreλavecλ>0.
On rappelle que, pour tout réelastrictement positif,P(X?a)=?
a 0λe-λtdt.
On se propose de calculer l"espérance mathématique deX, notéeE(X), et définie parE(X)=limx→+∞?
x 0λte-λtdt.
On noteRl"ensemble des nombres réels.
On admet que la fonctionFdéfinie surRparF(t)= -? t+1 e -λtest une primitive surRde la fonctionf définie surRparf(t)=λte-λt.1.Soitxun nombre réel strictement positif. Vérifier que
x 0λte-λtdt=1
-λxe-λx-e-λx+1?2.En déduire queE(X)=1
PartieB
La durée de vie, exprimée en années, d"un composant électronique peut être modélisée par une variable
aléatoire notéeXsuivant la loi exponentielle de paramètreλavecλ>0. La courbe de la fonction densité associée est représentée enannexe2.1.Sur le graphique de l"annexe 2 (à rendre avec la copie) :
a.Représenter la probabilitéP(X?1). b.Indiquer où se lit directement la valeur deλ.2.On suppose queE(X)=2.
a.Que représente dans le cadre de l"exercice la valeur de l"espérance mathématique de la variable
aléatoireX? b.Calculer la valeur deλ. c.CalculerP(X?2). On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 0,01près.Interpréter ce résultat.
Antilles-Guyane222 juin 2015
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
d.Sachant que le composant a déjà fonctionné une année, quelleest la probabilité que sa durée de
vie totale soit d"au moins trois années? On donnera la valeurexacte.PartieC
Un circuit électronique est composé de deux composants identiques numérotés 1 et 2. On noteD1l"évène-
ment "le composant 1 est défaillant avant un an» et on noteD2l"évènement "le composant 2 est défaillant
avant un an». On suppose que les deux évènementsD1etD2sont indépendants et que P (D1)=P(D2)=0,39. Deux montages possibles sont envisagés, présentés ci-dessous : 1 2Circuit en parallèle A
Circuit en série B
1 21.Lorsque les deux composants sont montés "en parallèle », le circuit A est défaillant uniquement si
les deux composants sont défaillants en même temps. Calculer la probabilité que le circuit A soit
défaillant avant un an.2.Lorsque les deux composants sont montés "ensérie»,le circuitBest défaillant dès quel"un aumoins
des deuxcomposants est défaillant. Calculer laprobabilité que le circuitB soit défaillant avant un an.
EXERCICE34POINTS
Commun à tous lescandidats
PartieA
On appelleCl"ensemble des nombres complexes.
Dans le plan complexe muni d"un repère orthonormé?O;-→u,-→v?
on a placé un pointMd"affixezapparte- nant àC, puis le pointRintersection du cercle de centre O passant parMet du demi-axe?O ;-→u?
??M RO-→u-→
v1.Exprimer l"affixe du pointRen fonction dez.
Antilles-Guyane322 juin 2015
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
2.Soit le pointM?d"affixez?définie par
z ?=1 2? z+|z|2? Reproduire la figure sur la copie et construire le pointM?.PartieB
On définit la suite de nombres complexes
(zn)par un premier termez0appartenant àCet, pour tout entier natureln, par la relation de récurrence : z n+1=zn+|zn| 4.Le but de cette partie est d"étudier si le comportement à l"infini de la suite(|zn|)dépend du choix dez0.
1.Que peut-on dire du comportement à l"infini de la suite(|zn|)quandz0est un nombre réel négatif?
2.Que peut-on dire du comportement à l"infini de la suite(|zn|)quandz0est un nombre réel positif?
3.On suppose désormais quez0n"est pas un nombre réel.
a.Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement à l"infini de la suite(|zn|)? b.Démontrer cette conjecture, puis conclure.EXERCICE45POINTS
Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialitéPartieA
On considère l"algorithme suivant :
Variables :ketpsont des entiers naturels
uest un réelEntrée :Demander la valeur dep
Traitement :Affecter àula valeur 5
Pourkvariant de 1 àp
Affecter àula valeur 0,5u+0,5(k-1)-1,5
Fin de pour
Sortie :Afficheru
Faire fonctionner cet algorithme pourp=2 en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.
Quel nombre obtient-on en sortie?
PartieB
Soit (un)la suite définie par son premier termeu0=5 et, pour tout entier naturelnpar u n+1=0,5un+0,5n-1,5.1.Modifier l"algorithme de la première partie pour obtenir en sortie toutes les valeurs deunpourn
variant de 1 àp.2.À l"aide de l"algorithme modifié, après avoir saisip=4, on obtient les résultats suivants :
Antilles-Guyane422 juin 2015
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
n1234 un1-0,5-0,75-0,375 Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite(un)est décroissante?Justifier.
3.Démontrer par récurrence que pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 3,un+1>un.
Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite (un)?4.Soit(vn)la suite définie pour tout entier naturelnparvn=0,1un-0,1n+0,5.
Démontrer que la suite
(vn)est géométrique de raison 0,5 et exprimer alorsvnen fonction den.5.En déduire que, pour tout entier natureln,
u n=10×0,5n+n-5.6.Déterminer alors la limite de la suite(un).
EXERCICE45POINTS
Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendantePartieA
Pour deux entiers naturels non nulsaetb, on noter(a,b) le reste dans la division euclidienne deaparb.
On considère l"algorithme suivant :
Variables :cest un entier naturel
aetbsont des entiers naturels non nulsEntrées :Demandera
Demanderb
Traitement :Affecter àcle nombrer(a,b)
Tant quec?=0
Affecter àale nombreb
Affecter àbla valeur dec
Affecter àcle nombrer(a,b)
Fin Tant que
Sortie :Afficherb
1.Faire fonctionner cet algorithme aveca=26 etb=9 en indiquant les valeurs dea,betcà chaque
étape.
2.Cet algorithme donne en sortie le PGCD des entiers naturels non nulsaetb.
Le modifier pour qu"il indique si deux entiers naturels non nulsaetbsont premiers entre eux ou non.PartieB
À chaque lettre de l"alphabet on associe grâce au tableau ci-dessous un nombre entier compris entre 0 et 25.
ABCDEFGHIJKLM
0123456789101112
NOPQRSTUVWXYZ
13141516171819202122232425
Antilles-Guyane522 juin 2015
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
On définit un procédé de codage de la façon suivante : Étape 1:on choisit deux entiers naturelspetqcompris entre 0 et 25.Étape 2:à la lettre que l"on veut coder, on associe l"entierxcorrespondant dans le tableau ci-dessus.
Étape 3:on calcule l"entierx?défini par les relations x ?≡px+q[26] et 0?x??25. Étape 4:à l"entierx?, on associe la lettre correspondante dans le tableau.