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?Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane20 juin 2016?
EXERCICE15points
Commun à tous les candidats
Les valeurs approchées des résultats seront données à10-4près.Les partiesAetBsont indépendantes
PartieA
Un fabricant d"ampoules possède deux machines, notées A et B. La machine A fournit 65 % de laproduction,et lamachine Bfournit le reste.Certaines ampoules présentent un défaut defabrication:
à la sortie de la machine A, 8 % des ampoules présentent un défaut; à la sortie de la machine B, 5 % des ampoules présentent un défaut.On définit les évènements suivants :
A: "l"ampoule provient de la machine A»;
B: "l"ampoule provient de la machine B»;
D: "l"ampoule présente un défaut».
1.On prélève un ampoule au hasard parmi la production totale d"une journée.
a.Arbre pondéré représentant la situation : A 0,65? D 0,08 D0,92 B 0,35? D 0,05 D0,95 b.On utilise la formule des probabilités totales : p? D? =pA?D?×p(A)+pB?D?
×p(B)=0,92×0,65+0,95×0,35=
0,598+0,3325=
0,9305.
c.pD(A)=p?
A∩
D? p?D? =0,5980,9305≈0,6427.2.On prélève 10 ampoules au hasard parmi la production d"une journée à la sortie de la machine
A. La taille du stock permet deconsidérer les épreuves commeindépendantes et d"assimiler les
tirages à tirages avec remise.NotonsNle nombre d"ampoules sans défaut. On a répétition d"épreuves identiques indépen-
dantes à deux issues;Nsuit la loi binomialeB(10 ; 0,92).On sait quep(X=k)=?10
k?0,92k×(1-0,92)10-k. p(N?9)=1-p(N?8)≈0,8121(calculé à la calculatrice)
PartieB
1.On rappelle que siTsuit une loi exponentielle de paramètreλ(λétant un réel strictement
positif) alors pour tout réel positifa,P(T?a)=? a 0λe-λxdx.
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
a.P(T?a)=1-P(T0λe-λxdx=1-?-e-λx?a0=1-?-e-λa-(-1)?=e-λa.
b.PT?t(T?t+a)=p([T?t]∩(T?t+a)) (loi de durée de vie sans vieillissement). Tqui suit la loi exponentielle d"espérance 10000. a.On sait que pour une loi exponentielle, l"espéranceE(T) estE(T)=1On a donc
1λ=1000 d"oùλ=0,0001.
b.P(T?5000)=e-0,0001×5000=e-0,5≈0,6065
c.P(T?7000)(T?12000)=P(T?5000)≈0,6065 (d"après 1. b.)PartieC
L"entreprise a cherché à améliorer la qualité de sa production et affirme qu"il n"y a pas plus de 6 %
d"ampoules défectueuses dans sa production. Une association de consommateurs réalise un test sur
un échantillon et obtient 71 ampoules défectueuses sur 1000.1.On ap=0,06,n=1000.
n?30
np=60?5
n(1-p)=9400?5
Les conditions sont réunies pour qu"on puisse calculer un intervalle de fluctuation asympto- tique au seuil de 95 %. I 95=?p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n? [0,0452 ; 0,0748].
2.La fréquence observée d"ampoules défectueuses estf=0,71
1000=0,071.
f?I95. Au risque d"erreur de 5 %, on il n"y a pas lieu de remettre en cause l"affirmation de l"entreprise.EXERCICE23points
Commun à tous les candidats
On munit le plan complexe d"un repère orthonormé direct?O ;-→u,-→v?
On noteCl"ensemble des pointsMdu plan d"affixeztels que|z-2|=1.1.Soit A le point d"affixe 2.|z-2|=1??AM=1 doncCest le cercle de centre A et de rayon 1.
2.M(z)?C∩D???|z-2|=1
y=ax???y=ax x-2+iax|=1. Le discriminant estΔ=16-12?1+a2?=4-12a2=4?1-3a2?. Pourqu"ilyaituneintersection, ilfautquecette équationaitaumoins unesolution réelle,donc queΔ?0.On doit avoir 1-3a2?0, donc
-?1 3?a?? 1 3.On peut alors distinguer trois cas :
Antilles-Guyane220 juin 2016
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
Premiercas.a??
-∞;-?3 3? 33;∞?
: aucun point d"intersection.Deuxième cas.a=±?
33: un seul point d"intersection (la droite et le cercle sont tangents).
Troisième cas.a??
3 3;? 3 3? : deux points d"intersection.EXERCICE37points
Commun à tous les candidats
PartieA
On considère la fonctionfdéfinie pour tout réelxparf(x)=xe1-x2.1.Pour toutx?=0,f(x)=xe×e-x2=e
x×x2ex2. lim x→+∞? ex2 x2? =limX→+∞eXX++∞(croissances comparées).Donc lim
x→+∞?x2 ex2? =0 .Comme lim
x→+∞?e x? =0, on en déduit quelimx→+∞f(x)=0. f(x)=e x×x2ex2. On admettra que la limite de la fonctionfen-∞est égale à 0.2. a.f=uevavec?u(x)=x
u ?(x)=1et?v(x)=1-x2 v ?(x)=-2x. f ?=u?ev+u×v?evd"où : f ?(x)=e1-x2+x×(-2x)e1-x2= ?1-2x2?e1-x2. b.Comme e1-x2>0,f?(x) est du signe de 1-2x2.1-2x2=0??x2=1
2??x= ±?
12= ±?
22et 1-2x2est positif (signe opposé à celui
du coefficient dex2) entre les racines. f? 1 2? 1 2e1 2=-?2 2e1 2=-?22×e=-?
2e 2etf? 1 2? 2e 2.Tableau de variations :
x-∞ -?2 2? 22+∞
f?(x)-0+0- f(x) 0? ???-?2e 2?? 2e2????0
PartieB
On considère la fonctiongdéfinie pour tout réelxparg(x)=e1-x.Sur le graphique ci-dessous, on a tracé dans un repère les courbes représentativesCfetCgrespecti-
vement des fonctionsfetg.