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?Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane?

11 septembre 2014

EXERCICE16 points

Commun à tous lescandidats

Une entreprise dejouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

divers tests permettant de rejeter les peluches ne répondant pas aux normes en vigueur. D"expérience,

le concepteur sait que 9% des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes.

À l"issue des tests, il est noté que

•96% des peluches répondant aux normes sont acceptées par lestests; •97% des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l"issue des tests. On prélève une peluche au hasard dans la production de l"entreprise. On note •Nl"évènement : "la peluche répond aux normes en vigueur»; •Al"évènement : "la peluche est acceptée à l"issue des tests».

Partie A

1.On construit un arbre pondéré représentant la situation exposée précédemment :

N

1-0,09=0,91

A0,96

A1-0,96=0,04

N 0,09A

1-0,97=0,03

A0,97

2.La probabilité qu"une peluche soit acceptée estP(A).

D"après la formule des probabilités totales :P(A)=P(N∩A)+P(

N∩A).

P?

N∩A?

=P?N?

×PN(A)=0,09×0,03=0,0027?

=?P(A)=0,8736+0,0027=0,8763

3.La probabilité qu"une peluche qui a été acceptée soit aux normes estPA(N) :

P

A(N)=P(N∩A)

P(A)=0,87360,8763≈0,9969

Partie B

On considère que la vie d"une peluche se termine lorsqu"ellesubit un dommage majeur. On admet que

la durée de vie en années d"une peluche, notéeD, suit une loi exponentielle de paramètreλ.

1.On sait queP(D?4)=0,5.

SiDsuit une loi exponentielle de paramètreλ, alorsP(D?a)=? a

λe-λtdt=1-e-λa.

4

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.On prendra iciλ=0,1733.

Le jour de ses trois ans, un enfant qui joue avec cette peluchedepuis sa naissance décide, voyant qu"elle est encore en parfait état, de la donner à sa soeur qui vient de naître. La probabilité pour que sa soeur la garde sans dommage majeur au moins cinq années supplé- mentaires est la probabilité conditionnellePD?3(D?3+5).

On sait que la loi exponentielle est une loi à "durée de vie sans vieillissement » donc que, pour

tous réels strictement positifssett:PD?t(D?s+t)=P(D?s).

Partie C

Un cabinet de sondages et d"expertise souhaite savoir quel est le réel intérêt des enfants pour ce jouet.

À la suite d"une étude, il apparaît que pour un enfant de quatre ans, le nombre de jours, notéJ, où la

peluche est son jouet préféré suit une loi normale de paramètresμetσ. Il apparaît queμ=358 jours.

1.D"après le cours, la variable aléatoireX=J-358

σsuit la loi normale centrée réduite, c"est-à-dire la loi normale de moyenne 0 et d"écart type 1.

2.On sait queP(J?385)=0,975.

J?385??J-358?27??J-358

σ?27σcarσest un nombre strictement positif.

On cherche doncσpour queP?

X?27 ?0,975 sachant queXsuit la loi normale centrée ré- duite.

La calculatrice donne

27
σ≈1,96 ce qui équivaut àσ≈13,77. On prendra doncσ=14.

EXERCICE26 points

Commun à tous lescandidats

Partie A

On considère la fonctionfdéfinie et dérivable sur l"intervalle[0 ;+∞[parf(x)=xe-x.

1.D"après le cours, limx→+∞e

x x=+∞; donc limx→+∞xex=0 ce qui équivaut à limx→+∞xe-x=0.

Donc lim

x→+∞f(x)=0

2.La fonctionfest dérivable surRdonc sur[0 ;+∞[et :

f Pour tout réelx, e-x>0 doncf?(x) est du signe de 1-x;f(0)=0 etf(1)=e-1≈0,37 D"où le tableau de variation de la fonctionfsur[0 ;+∞[: x0 1+∞ f?(x)+++0--- e-1 f(x) 00

On donne la courbeCfreprésentative de la fonctionfdans un repère du plan ainsi que la droiteΔ

d"équationy=x.

Antilles-Guyane211 septembre 2014

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

0,5

1 2Δ

C f

A0A1A2u

1 u 2

Partie B

Soit la suite(un)définie paru0=1 et, pour tout entier natureln,un+1=f(un).

1.On place sur le graphique, en utilisant la courbeCfet la droiteΔ, les pointsA0,A1etA2d"ordon-

nées nulles et d"abscisses respectivesu0,u1etu2.

2.SoitPnla propriétéun>0.

•u0=1>0 donc la propriété est vraie au rang 0. • On suppose la propriété vraie au rangp?0, c"est-à-direup>0. Pour tout réelx, e-x>0 donc pour tout réelx>0,xe-x>0 doncf(x)>0. Orup+1=f(up) etup>0 (hypothèse de récurrence); doncf(up)>0 et doncup+1>0.

La propriété est vraie au rangp+1.

• La propriété est vérifiée au rang 0, et elle est héréditaire pour toutp?0; elle est donc vraie

pour toutn?0. On a donc démontré que, pour tout entier natureln,un>0.

3.Pour tout réelx>0 :

-x<0??e-x0 ??f(x)0,f(x)0 doncf(un)4. a.La suite (un) est décroissante, minorée par 0, donc, d"après le théorèmede la convergence monotone, la suite (un) est convergente. b.On admet que la limite de la suite(un)est solution de l"équationxe-x=x.

On résout l"équationxe-x=x:

xe-x=x??x(e-x-1)=0??x=0 ou e-x-1=0 ??x=0 ou e-x=1??x=0 ou-x=0 Donc la limite de la suite (un) est égale à 0.

Partie C

On considère la suite

(Sn)définie pour tout entier naturelnparSn=k=n? k=0u k=u0+u1+...+un

L"algorithme suivant donneS100:

Antilles-Guyane311 septembre 2014

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

Déclaration des variables :Setusont des nombres réels kest un nombre entier

Initialisation :uprend la valeur1

Sprend la valeuru

Traitement : Pourkvariant de 1 à100

uprend la valeuru×e-u

Sprend la valeur

S+u

Fin Pour

AfficherS

EXERCICE33 points

Commun à tous lescandidats

Soit (E1) l"équation : ex-xn=0 oùxest un réel strictement positif etnun entier naturel non nul.

1.ex-xn=0??ex=xn

??ln(ex)=ln(xn) ??x=nln(x) ??x n=ln(x) ??ln(x)-x n=0 Donc les équations (E1) et (E2) sont équivalentes.

2.L"équation (E1) admet deux solutions si et seulement si l"équation (E2) admet deux solutions.

Soitfla fonction définie surI=]0;+∞[parf(x)=ln(x)-x n; résoudre l"équation (E2) revient donc à résoudre l"équationf(x)=0. Cherchons les limites de la fonctionfaux bornes de son ensemble de définition : lim x→0 x>0ln(x)=-∞ lim x→0x n=0????? par somme limx→0 x>0f(x)=-∞ f(x)=ln(x)-x npeut s"écrirex?ln(x)x-1n? pour toutxde]0;+∞[. lim x→+∞ln(x) x=0=?limx→+∞ln(x)x-1n=-1n<0 lim x→+∞x=+∞????? par produit lim x→+∞x?ln(x)x-1n? =-∞??limx→+∞f(x)=-∞

La fonctionfest dérivable surIetf?(x)=1

x-1n=n-xnx. f ?(x) s"annule et change de signe pourx=netf(n)=ln(n)-n n=ln(n)-1.

D"où le tableau de variation de la fonctionf:

x0n+∞ n-x+++0--- f?(x)+++0--- ln(n)-1 f(x)

Antilles-Guyane411 septembre 2014

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

D"après ce tableau de variation, l"équationf(x)=0 admet deux solutions dans]0;+∞[si et seulement si le maximum dela fonctionfest strictement positif, c"est-à-direquand ln(n)-1>0 : ln(n)-1>0??ln(n)>1??n>e??n?3 Donc on peut dire que l"équation (E1) admet deux solutions si et seulement sinest un entier naturel supérieur ou égal à 3.

EXERCICE45 points

Réservéaux candidatsn"ayant passuivi l"enseignementde spécialité

On noteCl"ensemble des nombres complexes.

Le plan complexe est muni d"un repère orthonormé?

O,-→u,-→v?

On considère la fonctionfqui à tout nombre complexezassocief(z)=z2+2z+9.

1.f?-1+i?

2.On résout dansCl"équationf(z)=5 :

3?2 Donc l"équation admet deux racines complexes conjuguées : -2+2i? 3

2=-1+i?3 et-1-i?3

On appelleAle point d"affixezA=-1+i?

3 etBle point d"affixezB=-1-i?3

zA|=? 1+3=2

SoitθAun argument dezA:cosθA=-1

2 sinθA=? 3

2???????

=?θA=2π

3+k2πoùk?Z

DonczA=2e2iπ

3 Les nombres complexeszAetzBsont conjugués, donc ils ont le même module et des arguments opposés donczB=2e-2iπ 3 zA|=2 donc le pointAse trouve sur le cercle de centreOet de rayon 2. Deplus la partie réelle de Avaut-1 doncAse trouve sur la droite d"équationx=-1. Idem pourB.

Voir graphique page??.

3.Soitλun nombre réel. On considère l"équationf(z)=λd"inconnuez.

f(z)=λ??z2+2z+9=λ??z2+2z+9-λ=0

Pour que l"équationf(z)=λadmette deux solutions complexes conjuguées, il faut et il suffit que

le discriminant du polynômez2+2z+9-λsoit strictement négatif. L"ensemble des valeurs deλpour lesquelles l"équationf(z)=λadmet deux solutions complexes conjuguées est l"intervalle]-∞; 8[.

4.Soit (F) l"ensemble des points du plan complexe dont l"affixezvérifie??f(z)-8??=3

f(z)-8=z2+2z+9-8=z2+2z+1=(z+1)2; donc??f(z)-8??=??(z+1)2??=|z+1|2car le module d"un carré est égal au carré du module.

Donc??f(z)-8??=3??|z+1|2=3??|z+1|=?

3 SoitΩle point d"affixe-1, donc de coordonnées (-1; 0); si on appelleMle point d"affixez, alors z+1|=?

3??|zM-zΩ|=?3.

L"ensemble des pointsMvérifiant|zM-zΩ|=?

3 est le cercle de centreΩet de rayon?3.

On trace (F) sur le graphique (voir page??).

5.Soitzun nombre complexe, tel quez=x+iyoùxetysont des nombres réels.

=x2-y2+2x+9+i(2xy+2y)

Antilles-Guyane511 septembre 2014

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

b.On note (E) l"ensemble des points du plan complexe dont l"affixezest telle quef(z) soit un nombre réel. f(z) réel??2xy+2y=0??2y(x+1)=0??y=0 oux=-1 Donc (E) est la réunion de deux droitesD1d"équationy=0 (l"axe des abscisses) etD2d"équa- tionx=-1. Le cercle (F) est de centreΩd"affixe-1 et de rayon?

3. Donc les points d"intersection du cercle

(F) avec l"axe des abscisses ont pour coordonnées?-1-?

3; 0?et?-1+?3; 0?.

Les pointsAetBont pour affixeszAetzBdont les parties réelles sont égales à-1; doncAetB sont situés sur la droiteD2.

ΩA=|zA-zΩ|=??-1+i?

3+1??=??i?3??=?3 donc le pointAappartient au cercle (F).

ΩB=|zB-zΩ|=??-1-i?

3+1??=??-i?3??=?3 donc le pointBappartient au cercle (F).

Les coordonnées des quatre points d"intersection des ensembles (E) et (F) sont :?-1-?

3; 0?,?-1+?3; 0?,?-1;?3?et?-1;-?3?

u? v O ?A B

Ω?(F)

D1 D2

EXERCICE45 points

Réservéaux candidatsayantsuivi la spécialité Dans une ville, une enseigne de banque nationale possède deux agences, appelées X et Y.

De plus, chaque année, le siège de la banque transfère une certaine somme à chaque agence.

Soitnun entier naturel. On notexnla quantité de fonds détenue par l"agence X, etynla quantité de

fonds détenue par l"agence Y au 1 erjanvier de l"année 2014+n, exprimées en millions d"euros.

On noteUnla matrice?xn

y n? et on noteI=?1 00 1?

On suppose que le 1

erjanvier de l"année 2014, l"agence X possède 50 millions d"euros et l"agence Y pos- sède 10 millions d"euros.

Antilles-Guyane611 septembre 2014

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

L"évolution dela quantité defonds est régiepar larelationUn+1=AUn+B,oùA=?0,6 0,150,2 0,4?

etB=?13?

6.1.Un+1=AUn+B???xn+1

y n+1? =?0,6 0,150,2 0,4?

×?xn

y n? +?13? ???xn+1=0,6xn+0,15yn+1 y n+1=0,2xn+0,4yn+3 Le coefficient 0,6 de la matriceAcorrespond au pourcentage de la somme qui reste d"une année sur l"autre à l"agence X. Le coefficient 3 de la matrice B correspond à la somme (en millions d"euros) qui est rajoutée chaque année à l"agence Y.

2.D"après le texte,U0=?5010?

La quantité de fonds dans chaque agence en 2015 est donnée parla matriceU1=AU0+B:?x1 y 1? =?0,6 0,150,2 0,4?

×?5010?

+?13? =?0,6×50+0,15×10+1

0,2×50+0,4×10+3?

=?32,5 17? En 2015, il y a donc 32,5 millions d"euros dans l"agence X et 17millions d"euros dans l"agence Y.

3.On noteD=?0,3 0

0 0,7?

,P=?1 3 -2 2? etQ=?0,25-0,375

0,25 0,125?

a.À la calculatrice, on trouve quePDQ=?0,6 0,150,2 0,4? donc quePDQ=A. b.QP=?0,25-0,375

0,25 0,125?

×?1 3

-2 2? Le coefficient situé sur la première ligne et la deuxième colonne de la matriceQPest donc :

0,25×3+(-0,375)×2=0,75-0,75=0

Dans la suite, on admettra queQP=I.

On admettra dans la suite de cet exercice que pour tout entiernaturel non nuln,An=PDnQ.

Ce résultat est assez facile à démontrer par récurrence en considérant les résultats des questions précé-

dentes; l"hérédité se démontre ainsi : A p+1=A×Ap=PDQ×PDpQ=PDDpQ=PDp+1Q carQ×P=I.

4.On pose pour tout entier natureln,Vn=Un-?5

20 3? ; doncUn=Vn+?5 203?
a.Vn+1=Un+1-?5 20 3? =AUn+B-?5 203?
=A? V n+?5 203??
+?13? -?5 203?
=AVn+?0,6 0,150,2 0,4?

×?5

20 3? +?13? -?5 203?
=AVn+?0,6×5+0,15×20 3+1-5

0,2×5+0,4×20

3+3-203?

=AVn+?00? =AVn b.V0=U0-?5 20 3? =?5010? -?5 203?
=?45 103?

On peut dire que, pour toutn,Vn=An×V0.

On peut considérer ce résultat comme "classique»; en cas de doute, on peut le démontrer par

récurrence en se rappelant que A 0=I.

5.Soitnun entier naturel. On admet queAn=?0,25×0,3n+0,75×0,7n0,375(-0,3n+0,7n)

0,5 (-0,3n+0,7n)0,75×0,3n+0,25×0,7n?

a.D"après les questions précédentes,Vn=An×V0donc le coefficient de la première ligne deVn

est : 3 =10×0,3n+35×0,7n b.Un=Vn+?5 20 3? etUn=?xn y n?

Doncxn=10×0,3n+35×0,7n+5

Antilles-Guyane711 septembre 2014

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

c.La suite (0,3n) est une suite géométrique de raison 0,3; or-1<0,3<1 donc limx→+∞0,3n=0.

Pour la même raison, on peut dire que lim

x→+∞0,7n=0.

D"après les théorèmes sur les limites de suites, on peut déduire que limx→+∞xn=5.

Cela signifie que la quantité de fonds disponibles dans l"agence X va tendre vers 5 millions d"euros.

Antilles-Guyane811 septembre 2014

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