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IRL QRUPMOH

I) Loi Normale cenWrée réTuiWe N ( 0 ; 1 )

1) MéfiniWion

La loi normale centrée réduite notée N ( 0 ; 1 ) est la loi continue ayant pour densité la fonction ࢌ définie sur Թ par :

Remarques J

La fonction ݂est conWinue eW à valeurV VWricWemenW poViWiveV Vur Թ L'aire du domaine situĠ sous la courbe et au-dessus de l'adže des abscisses ǀaut 1 (aTmiV) Monc on peuW en conclure que la foncWion f peuW bien êWre conViTérée comme TenViWé Te probabiliWé Vur Թ.

Courbe de la fonction

2) PropriéWé

normale centrée réduite est 0 et son écart type est 1

3) CalculV Te probabiliWéV pour une variable aléaWoire X

VuivanW N ( 0 ; 1 )

Casio Texas

Syntaxe

Touche OPTN puis choisir

STAT, puis DIST, puis

NORM

Menu distrib ( 2nde , var )

P(a < X < b) Choisir Ncd NormCD(a,b) normalFrep(a,b)

Nombre réel k tel que

P(X

Choisir InvN

InvNormCD(c)

FracNormale(c)

RQ M 3; " 0 3 ; • 0 0D

Pour calculer P(X K a ) ou P ( X L a ) on peuW Tonc uWiliVer la méWUoTe VuivanWe J

ProbabiliWé GrapUique Calcul

P(XKa)H a K0

0H5± P (aKXK0)

P(XKa)H a L0

0H5 + P (0KXKa)

P(XLa )H aK0

0H5+P(aKXK0)

P(XLa)H a L 0

0H5± P(0KXKa)

Exemple J

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N ( 0 ; 1 )

1) Calculer P( ± 0D3 " ; " 13

Avec la calculatrice on obtient P(± 0D3 " ; " 13 0H60514

2) Calculer P (; " 17

Avec la calculaWrice 3 " 17 = 0,5 + P (0 " ܺ

0H5 + 0H4554 0H9554

II) Loi normale N Nj ı2 )

1) Définition

Soit ࣆ un nombre réel et ࣌ un réel strictement positif. La variable ࣌ suit la loi normale centrée réduite N ( 0 ; 1 )

Remarques J

2)Calculs de probabilités pour une variable aléatoire X

VuivanW N Nj ı2 )

Casio Texas

Syntaxe Touche OPTN puis choisir

STAT, puis DIST, puis

NORM

Menu distrib ( 2nde , var )

P(a < X < b) Choisir Ncd

Ncd NormCD(a,b, ı Nj)

normalFrep(a,b,Nj,ı)

Nombre réel k tel que

P(X

Choisir InvN

InvNormCD(c,ı Nj)

FracNormale(c,Nj,ı)

Remarque J Comme la courbe Te ࢌ eVW VyméWrique par rapporW à la TroiWe x = ʅ

RQ M 3; " ʅ 3 ; • ʅ ) = 0H5

Pour calculer P(X < a ) ou P ( X > a ) on peut donc utiliser la méthode suivante

ProbabiliWé GrapUique Calcul

P(XKa)H a K ʅ

0H5±P (aKXK ʅ)

P(XKa)H a L ʅ

0H5 + P (ʅ KXKa)

P(XLa )H aK ʅ

0H5+P(aKXK ʅ)

P(XLa)H a L ʅ

0H5±P(ʅ KXKa)

3) Propriétés

1. P(ࣆെ ࣌൑ࢄ ൑ࣆ൅ ࣌ ) ൎ 0,683

2. P(ࣆെ ૛࣌൑ࢄ ൑ࣆ൅ ૛࣌ ) ൎ 0,954

3. P(ࣆെ ૜࣌൑ࢄ ൑ࣆ൅ ૜࣌ ) ൎ 0,997

4)NVpérance maWUémaWique eW écarW Wype

N ൫ࣆ Ǣ ࣌૛ ൯ est ࣆ et son écart type de de X est ࣌

Exemples de calculs

Soit ܺ

Comme précédemment pour le calcul de probabilités on utilisera soit la calculaWriceH VoiW une Wable Te valeurV. Sur une calculaWriceH on peuW calculer leV SURNMNLOLPpV 3 M " ܺ réelsquotesdbs_dbs7.pdfusesText_5