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?Corrigé du baccalauréat Terminale ES Liban?

5 juin 2017

Exercice13points

Commun à tous les candidats

1.On considère la fonctiongdéfinie sur ]0 ;+∞[ parg(x)=2

x. e-1? e 1 g(x)dx. Une primitive de la fonctiongsur l"intervalle ]0 ;+∞[ est la fonctionGdéfinie par :

G(x)=2 ln(x)

1 e-1? e 1

2.D"après le cours, nous savons que :P?μ-2σ?X?μ+2σ?≈0,95.

La courbe est symétrique autour de la droitex=μ=1. Donc en utilisant le graphique, on obtient :μ-2σ=0,6 donc 2σ=0,4 soitσ=0,2.Réponsed.

3.D"après l"énoncép=0,15.

On vérifie ensuite les trois conditions :n=50?30;np=7,5?5 etn(1-p)=42,5?5. L"in- tervalle de fluctuation au seuil de 95% de la proportion de clients qui devraient acheter un bouquet est : I 50=?
p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n?

0,15-1,96?

0,15×0,85?50; 0,15+1,96?

0,15×0,85?50?

[0,051 ; 0,249].Réponse a.

Exercice26points

Commun à tous les candidats

Les deux parties sont indépendantes

PartieA : L"accordde Kyoto (1997)

1.Le calcul du taux de baisse se calcule avec :VA-VD

VD×100=486-559559×100≈-13,1%.

En 2011 la France respectait donc déjà cet engagement.

2.Le nombre de mégatonnes en équivalent CO2émises par la France en 2010 sera :

486÷?

1-5,6 100?
≈514,8 (mégatonnes). PartieB : Étude des émissions de gaz à effet de serred"une zoneindustrielle

1.u0=41. Puis on enlève 2% àu0et on ajoute 200 tonnes soit 0,2 milliers de tonnes,

soitu1=41-41×2

100+0,2=0,98×41+0,2=40,38.

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

2.Pour calculer la quantité émise l"annéen+1, on enlève 2% (il restera donc 98%) à la quantité

émise lors de l"annéenpuis on ajoute 0,2 (200 tonnes en milliers de tonnes). Donc pour tout entier natureln, on a :un+1=0,98×un+0,2.

3.On considère la suite(vn)définie, pour tout entier natureln, parvn=un-10.

a.Pour tout entier natureln:vn+1=un+1-10=0,98×un+0,2-10=0,98×un-9,8=0,98× un-10)=0,98×vn.

Donc la suite

(vn)est géométrique de raison 0,98. Son premier terme estv0=u0-10=31. b.Pour tout entier natureln,vn=v0×qn=31×0,98n. c.Pour tout entier natureln,vn=un-10 doncun=vn+10=31×(0,98)n+10. u n=31×(0,98)n+10,n?N.

4. a.Nous savons queq?]-1 ; 1[ donc la suite géométrique de raisonqtend vers 0 lorsque

ntend vers l"infini. Donc la suite(vn)a pour limite 0 en l"infini. La limite de la suite(un) quandntend vers l"infini est donc égale à 10. b.Cela veut donc dire qu"au bout d"un très grand nombre d"année, les émissions de cette zone industrielle tendrons vers 10 milliers de tonnes, sanspouvoir descendre encore en dessous de cette limite. 5. a.

Recopier et compléter les lignes 7 et 9 de

l"algorithme

1 Variables

2Uest du type nombre

3nest du type nombre entier

4 Début Algorithme

5Uprend la valeur 41

6nprend la valeur 0

7 Tant queU?20,5faire

8 Début Tant que

9Uprend la valeur0,98×U+0,2

10nprend la valeurn+1

11 Fin Tant que

12 Affichern

13 Fin Algorithme

b.L"algorithme affiche 54. Donc au bout de 54 années après 2005,et donc en 2059, les émis- sions de la zone industrielle auront diminué de moitié.

Exercice35points

CandidatsES n"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité etcandidats de la sérieL

Les parties A et B sont indépendantes

PartieA

1.D"après l"énoncé,p(S)=0,18 etp

F(S)=0,175.

2.Recopier l"arbre ci-dessous et compléter les pointillés par les probabilités associées.

F 0,52S S

F1-0,52=0,48

S0,175

S1-0,175=0,825

Liban25 juin 2017

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

3.Formule de Bayes :p?F∩S?

=pF(S)×p?F? =0,175×0,48=0,084. La probabilité que la fiche prélevée soit celle d"un homme demandeur d"emploi sans expé- rience est égale à 0,084.

4.On cherche :pS?

F? . La formule de Bayes donne :pS?F? =p?

F∩S?

p(S)=0,0840,18≈0,467. La probabilité que la fiche d"un demandeur d"emploi sans expérience soit celle d"un homme est environ 0,467.

5.Formule des probabilités totales :p(S)=p(S∩F)+p?

S∩

F? =pF(S)×p(F)+pF(S)×p?F?

DoncpF(S)=p(S)-p

F(S)×p?F?

p(F)=0,18-0,0840,52≈0,185. La probabilité que la fiche d"une femme soit celle d"un demandeur d"emploi sans expérience est au millième près 0,185.

PartieB

On appelleXla variable aléatoire comptant le nombre de fiches de demandeurs d"emploi sans expé-

rience.

L"expérience est répétée 5 fois. Les tirages sont indépendants, identiques et aléatoires. À chaque fiche

il y a deux issues : il est sans expérience, avec une probabilité de 0,18, ou il est avec expérience avec

une probabilité de 0,82. La variable aléatoireXsuit donc la loi binomiale de paramètresn=5 et

p=0,18. On veut déterminerP(X?1) :

P(X?1)=1-p(X<1)=1-p(X=0)=1-?

5 0?

×0,180×0,825≈0,629.

La probabilité que, parmi les cinq fiches tirées au hasard, ily ait au moins une fiche de demandeur

d"emploi sans expérience est 0,629 au millième près.

Exercice35points

Candidatsde la sérieES ayantsuivi l"enseignementde spécialité

Les partiesAetBsont indépendantes

PartieA

1.Le graphe probabiliste :

A B 0,12 0,14

0,880,86

2.a0=0,30 etb0=1-a0=0,70.

3.CalculonsP3=?a3b3?.

P

3=?a0b0?×M3=?0,30 0,70?×?0,88 0,120,14 0,86?

3 ≈?0,442 0,558?Donc en 2018, il y aura environ 44,2% des abonnés chez l"opérateur Alpha.

4. a.Les termes de la matrice de transitionMne sont pas nus, donc l"étatPnconverge vers un

état stableP=?x y?qui se trouve en résolvant le système d"équations suivant : ?x y?=?x y?×?0,88 0,120,14 0,86? , d"où :?x=0,88x+0,14y y=0,12x+0,86y

Liban35 juin 2017

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

Ces deux équations se simplifient pour obtenir : 0,12x+0,86y=0. De plusx+y=1. Donc le couple (x;y) est solution du système :?0,12x-0,14y=0 x+y=1 b.Par substitution :?0,12x-0,14y=0 x+y=1???0,12(1-y)-0,14y=0 x=1-y??

0,12-0,26y=0

x=1-y???????y=0,12

0,26=1226=613

x=1-6

13=713

L"état stable du système estP=?7

13613?

c.On a6

13≈0,462 et713≈0,538.

Au bout d"un grand nombre d"années, l"opérateur Alpha aura environ 53,8% des abonnés, et Bravo 46,2%.

PartieB

1.À l"aide de l"algorithme de Dijkstra on obtient le tableau suivant :

ABCDEFGHISommets

25 (C)30 (C)×20 (C)∞∞∞∞∞D

25 (C)30 (C)××40 (D)∞∞∞35 (D)A

×30 (C)××40 (D)∞∞35 (A)35 (D)B

××××40 (D)∞∞35 (A)35 (D)H

××××40 (D)45 (H)55 (H)×35 (D)I

××××40 (D)45 (H)55 (H)××E

×××××45 (H)55 (H)××F

××××××50 (F)××G

Le tracé le moins cher pour aller de C à G sera : C - A - H - F - G.

2.Son coût est de 50 milliers d"euros.

Exercice46points

Commun à tous les candidats

Les deux parties sont liées

PartieA

1.La fonctionfest continue, dérivable sur l"intervalle [0; 10]. De plus,fest de la forme1

u, de dérivée-u? u2.

Doncf?(x)=--100e-x

(0,5+100e-x)2=100e-x(0,5+100e-x)2

2. a.Sur l"intervalle [0; 10],100e-x-0,5?0??100e-x?0,5??e-x?0,5

100??e-x?0,005?? -x?ln(0,005)

??x?-ln(0,005).

Liban45 juin 2017

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

b.Le tableau de signes de la fonctionf??sur l"intervalle [0; 10] : x0-ln(0,005) 10 f??(x)+++0---

3.La dérivée secondef??s"annule et change de signe pourx= -ln(0,005). DoncCfadmet un

point d"inflexion au point d"abscissex=-ln(0,005)=ln?1

0,005?

=ln200≈5,3.

4.De plus le signe def??(x) sur l"intervalle [0; 10] nous permet d"affirmer que la fonctionfest

concave sur l"intervalle [ ln200; 10] carf??(x)?0 sur cet intervalle.

PartieB

Dans toute cette partie les températures seront exprimées en degrés Celsius, notés °C

1. a.f(10)=1

0,5+100e-10≈1,98, en arrondissant le résultat au centième.

b.2150=1900+10×25 donc cela correspond àx=10. Cela signifie donc qu"en l"année 2150 l"augmentation de température sera de 1,98 degré. L"objectif de l"accord de Paris sera res- pecté.

2. a.L"abscisse dupointd"inflexion est:x=-ln(0,005)≈5,298, doncceseraversl"année 1900+

5,3×25≈2032.

b.f(-ln(0,005))=1

0,5+100e-(-ln(0,005))=10,5+100×(0,005)=1, soit 1 degré Celsius sup-

plémentaire par rapport à 1900.

3. a.La fonctionf?est strictement positive pour toutx. La fonctionfest donc strictement

croissante sur l"intervalle [0; 10]. La température terrestre augmentera donc continuelle- ment. Par conséquent l"affirmation est fausse. b.La fonctionfest concave sur l"intervalle [ln200 ; 10]. Cela signifie doncque la fonction

dérivée defest décroissante sur cet intervalle. Orx=ln200≈5,298 correspond à l"année

2032. La vitesse du réchauffement climatique diminuera donc après 2032 donc à partir de

2033.

4.La fonctionfest strictement croissante etcontinue sur l"intervalle [0; 10 ]. Deplusf(0)≈0 et

f(10)≈2. 1,5?[f(0) ;f(10)] donc d"après le théorème des valeurs intermédiaires,l"équation

f(x)=1,5 possède une unique solution notéeαdans l"intervalle [ 0 ; 10 ].

À l"aide de la calculatrice on trouveα≈6,4. C"est donc au cours de l"année 1900+6,4×25≈

2060 que la température terrestre atteindra d"après ce modèle son seuil critique.

Liban55 juin 2017

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