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?Baccalauréat S Liban28 mai 2013?

EXERCICE14 points

Commun à tous lescandidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucunejustification n"est demandée. Pour chacune des

questions, une seule des propositions est correcte.

Chaque réponsecorrecterapporteun point. Uneréponseerronéeou une absencederéponsen"ôte pas depoint.

On notera sur la copie le numéro de la question, suivi de la lettre correspondant à la proposition choisie.

L"espace est rapporté à un repère orthonormé

O,-→ı,-→?,-→k?

Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives A(1 ;-1 ; 2), B(3 ; 3 ; 8), C(-3 ; 5 ; 4) et D(1; 2; 3).

On noteDla droite ayant pour représentation paramétrique???x=t+1 y=2t-1 z=3t+2,t?R etD?la droite ayant pour représentation paramétrique???x=k+1 y=k+3 z= -k+4,k?R.

On notePle plan d"équationx+y-z+2=0.

Question1 :

Propositiona.Les droitesDetD?sont parallèles.

Propositionb.Les droitesDetD?sont coplanaires.

Propositionc.Le point C appartient à la droiteD.

Propositiond.Les droitesDetD?sont orthogonales.

Question2 :

Propositiona.Le planPcontient la droiteDet est parallèle à la droiteD?. Propositionb.Le planPcontient la droiteD?et est parallèle à la droiteD. Propositionc.Le planPcontient la droiteDet est orthogonal à la droiteD?.

Propositiond.Le planPcontient les droitesDetD?.

Question3 :

Propositiona.Les points A, D et C sont alignés.

Propositionb.Le triangle ABC est rectangle en A.

Propositionc.Le triangle ABC est équilatéral. Propositiond.Le point D est le milieu du segment [AB].

Question4 :

On noteP?le plan contenant la droiteD?et le point A. Un vecteur normal à ce plan est :

Propositiona.-→n(-1 ; 5 ; 4)

Propositionb.-→n(3 ;-1 ; 2)

Propositionc.-→n(1 ; 2 ; 3)

Propositiond.-→n(1 ; 1 ;-1)

EXERCICE25 points

Commun à tous lescandidats

L"entrepriseFructidouxfabrique des compotes qu"elle conditionne en petits pots de50 grammes. Elle sou-

haite leur attribuer la dénomination "compote allégée».

La législation impose alors que la teneur en sucre, c"est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit

comprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit potde compote est conforme.

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

L"entreprise possède deux chaînes de fabrication F1et F2. Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment

PartieA

La chaîne de production F

2semble plus fiable que la chaîne de production F1. Elle est cependant moins

rapide.

Ainsi, dans la production totale, 70% des petits pots proviennent de la chaîne F1et 30% de la chaîne F2.

La chaîne F

1produit 5% de compotes non conformes et la chaîne F2en produit 1%.

On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les évènements :

E: "Le petit pot provient de la chaîne F2»

C: "Le petit pot est conforme.»

1.Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.

2.Calculer la probabilité de l"évènement : "Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de pro-

duction F

1.»

3.Déterminer la probabilité de l"évènementC.

4.Déterminer, à 10-3près, la probabilité de l"évènementEsachant que l"évènementCest réalisé.

PartieB

1.On noteXla variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F1,

associe sa teneur en sucre. On suppose queXsuit la loi normale d"espérancem1=0,17 et d"écart-typeσ1=0,006. Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous.

αβP(α?X?β)

0,130,150,0004

0,140,160,0478

0,150,170,4996

0,160,180,9044

0,170,190,4996

0,180,200,0478

0,190,210,0004

Donner une valeur approchée à 10-4près de la probabilité qu"un petit pot prélevé au hasard dansla

production de la chaîne F

1soit conforme.

2.On noteYla variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F2,

associe sa teneur en sucre. On suppose queYsuit la loi normale d"espérancem2=0,17 et d"écart-typeσ2.

On suppose de plus que la probabilité qu"un petit pot prélevéau hasard dans la production de la

chaîne F

2soit conforme est égale à 0,99.

Soit Z la variable aléatoire définie parZ=Y-m2

σ2.

a.Quelle loi la variable aléatoireZsuit-elle?

b.Déterminer, en fonction deσ2l"intervalle auquel appartientZlorsqueYappartient à l"intervalle

[0,16; 0,18]. c.En déduire une valeur approchée à 10-3près deσ2.

On pourra utiliser le tableau donné ci-dessous, dans lequella variable aléatoireZsuit la loi nor-

male d"espérance 0 et d"écart-type 1.

Liban228 mai 2013

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

βP(-β?Z?β)

2,43240,985

2,45730,986

2,48380,987

2,51210,988

2,54270,989

2,57580,990

2,61210,991

2,65210,992

2,69680,993

EXERCICE36 points

Commun à tous lescandidats

Étant donné un nombre réelk, on considère la fonctionfkdéfinie surRpar f k(x)=1

1+e-kx.

Le plan est muni d"un repère orthonormé

O,-→ı,-→??

PartieA

Dans cette partie on choisitk=1. On a donc, pour tout réelx,f1(x)=1

1+e-x.

La représentation graphiqueC1de la fonctionf1dans le repère?

O,-→ı,-→??

est donnée en ANNEXE,à rendre avec la copie.

1.Déterminer les limites def1(x) en+∞et en-∞et interpréter graphiquement les résultats obtenus.

2.Démontrer que, pour tout réelx,f1(x)=ex

1+ex.

3.On appellef?1la fonction dérivée def1surR. Calculer, pour tout réelx,f?1(x).

En déduire les variations de la fonctionf1surR.

4.On définit le nombreI=?

1 0 f1(x)dx.

Montrer queI=ln?1+e

2? . Donner une interprétation graphique deI.

PartieB

Dans cette partie, on choisitk=-1 et on souhaite tracer la courbeC-1représentant la fonctionf-1. Pour tout réelx, on appellePle point deC1d"abscissexetMle point deC-1d"abscissex.

On noteKle milieu du segment [MP].

1.Montrer que, pour tout réelx,f1(x)+f-1(x)=1.

2.En déduire que le pointKappartient à la droite d"équationy=1

2.

3.Tracer la courbeC-1sur l"ANNEXE, à rendre avec la copie.

4.En déduire l"aire, en unités d"aire, du domaine délimité parles courbesC1,C-1l"axe des ordonnées

et la droite d"équationx=1.

Liban328 mai 2013

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

PartieC

Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètrek.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

1.Quelle que soit la valeur du nombre réelk, la représentation graphique de la fonctionfkest stricte-

ment comprise entre les droites d"équationsy=0 ety=1.

2.Quelle que soit la valeur du réelk, la fonctionfkest strictement croissante.

3.Pour tout réelk?10,fk?1

2? ?0,99.

EXERCICE45 points

CandidatsN"AYANT PASSUIVI l"enseignementde spécialité

On considère la suite numérique

(vn)définie pour tout entier naturelnpar???v 0=1 v n+1=9 6-vn

PartieA

1.On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturelndonné, tous les termes de la

suite, du rang 0 au rangn.

Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.

Algorithme No1Algorithme No2Algorithme No3

Variables :Variables :Variables :

vest un réelvest un réelvest un réel ietnsont des entiers naturelsietnsont des entiers naturelsietnsont des entiers naturels Début del"algorithme :Début de l"algorithme :Début de l"algorithme :

LirenLirenLiren

vprend la valeur 1Pourivariantde 1 ànfairevprend la valeur 1 Pourivariantde 1 ànfairevprend la valeur 1Pourivariantde 1 ànfaire vprend la valeur96-vAffichervAfficherv Fin pourvprend la valeur96-vvprend la valeur96-vAffichervFin pourFin pour

Afficherv

FinalgorithmeFin algorithmeFinalgorithme

2.Pourn=10 on obtient l"affichage suivant :

Pourn=100, les derniers termes affichés sont :

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite(vn)?

3. a.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, 0 b.Démontrer que, pour tout entier natureln,vn+1-vn=(3-vn)2 6-vn.

La suite

(vn)est-elle monotone?

Liban428 mai 2013

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

c.Démontrer que la suite(vn)est convergente.

PartieB Recherchede la limite de la suite

(vn)

On considère la suite

(wn)définie pour toutnentier naturel par w n=1 vn-3.

1.Démontrer que(wn)est une suite arithmétique de raison-1

3

2.En déduire l"expression de(wn), puis celle de(vn)en fonction den.

3.Déterminer la limite de la suite(vn).

EXERCICE45 points

CandidatsAYANT SUIVI l"enseignementde spécialité

On considère la suite

(un)définie paru0=3,u1=8 et, pour toutnsupérieur ou égal à 0 : u n+2=5un+1-6un.

1.Calculeru2etu3.

2.Pour tout entier natureln?2, on souhaite calculerunà l"aide de l"algorithme suivant :

Variables:a,betcsont des nombres réels

ietnsont des nombres entiers naturels supérieurs ou égaux à 2

Initialisation:aprend la valeur 3

bprend la valeur 8

Traitement:Saisirn

Pourivariant de 2 ànfaire

cprend la valeura aprend la valeurb bprend la valeur ...

Fin Pour

Sortie :Afficher b

a.Recopier la ligne de cet algorithme comportant des pointillés et les compléter. On obtient avec cet algorithme le tableau de valeurs suivant: n789101112131415 b.Quelle conjecture peut-on émettre concernant la monotoniede la suite(un)?

3.Pour tout entier natureln, on noteCnla matrice colonne?un+1

u n? On noteAla matrice carrée d"ordre 2 telle que, pour tout entier natureln, C n+1=ACn. DéterminerAet prouver que, pour tout entier natureln,Cn=AnC0.

4.SoientP=?2 31 1?

,D=?2 00 3? etQ=?-1 3 1-2?

CalculerQP.

On admet queA=PDQ.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nuln,An=PDnQ.

Liban528 mai 2013

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

5.À l"aide des questions précédentes, on peut établir le résultat suivant, que l"on admet.

Pour tout entier naturel non nuln,

A n=?-2n+1+3n+13×2n+1-2×3n+1 -2n+3n3×2n-2×3n?

En déduire une expression deunen fonction den.

La suite

(un)a-t-elle une limite?

Liban628 mai 2013

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

ANNEXE de l"EXERCICE 3, à rendreavecla copie

Représentation graphiqueC1de la fonctionf1

-11

1 2 3-1-2-3

O C1

Liban728 mai 2013

quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28