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EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE

DESS IM Evry, option ¯nance

Monique Jeanblanc

Universit e d'EVRY

Octobre 2005

2

Contents

1 Rappels 7

1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2 Variables gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3 Esp erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.6 Temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.7 Algµebre b eta-Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.8 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2 Mouvement Brownien 17

2.1 Propri et es el ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2 Processus Gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.3 Multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.4 Temps d'atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.5 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.6 Compl ements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.8 Problµeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.8.1 Partie I : R esultats pr eliminaires . . . . . . . . . . . . .

29

2.8.2 Partie II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.8.3 Partie III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3 Int egrale d'It^o 33

3.1 Int egrale de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.2 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.4 Compl ements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.5 Brownien g eom etrique et extensions. . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.6 Le crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44
3

4CONTENTS

4 Equations di® erentielles stochastiques 49

4.1 Equation lin eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

4.2 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

4.3 Equations di® erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

5 Exemples 59

5.1 Processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

5.2 Processus de Bessel carr e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

5.3 Autres processus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

5.4 Des calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

6 Girsanov 67

6.1 R esultats el ementaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

6.2 Crochet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

6.3 Processus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

6.4 Cas multidimensionel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

6.5 Temps d'arr^et. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

6.6 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

7 Compl ements 87

7.1 Th eorµeme de L evy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

7.2 Equations r etrogrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

7.3 Th eorµemes de repr esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

7.4 Temps local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

7.5Lois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

7.6 Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

7.7 Options barriµeres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

7.8 M eandres, ponts, excursions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

7.9 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

8 Processus µa sauts 99

8.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

8.2 Poisson compos e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

8.3 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102

8.4 D efaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

8.5 March e complets, incomplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

1 Rappels, Corrig es 107

1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

1.2 Variables gaussiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

1.3 Esp erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

1.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

1.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

1.6 Temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

1.7 Algµebre b eta-gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

1.8 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

CONTENTS5

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