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Formule de Green 1 Opérateurs di érentiels Soit n un entier on note x = (x1, ,xn ) un point (ou vecteur) de R n En pratique n = 2 ou 3 Définition 1 On appelle
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§ o Introduction La formule de Green apparaît déjà à peu près sous cette forme dans le mémoire
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La formule de Green-Riemann est une généralisation en dimension 2 de ce résultat Plus précisément, on va exprimer l'intégrale d'une fonction sur un ouvert
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FORMULE DE GREEN-RIEMANN Dans le plan affine euclidien orienté IR 2 rapporté au repère orthonormé direct (O, −→ i , −→ j ), on cherche à transformer
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Objectif de la formule de Green-Riemann – Déterminer l'aire circonscrite par une courbe plane à partir du simple parcours de celle-ci Exemple 1 : la méthode
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La formule de Green-Riemann permet de transformer une intégrale double en intégrale curviligne Comme nous le verrons plus loin, elle est un cas particulier
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La formule de Green 2 2 Lois de conservation 3 2 1 En dimension 1 : 3 2 2 En dimension 2, 3 ou n 4 2 3 Une autre application de la formule de Green 6
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1 5 1 Formule de Green Theor`eme 1 5 1 1 Soient : 1 γ une courbe paramétrée C1 par morceaux du plan R2,
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§2 Intégrale curviligne (suite).
Partie II : Intégrale de surface
8 mars 2023 1 / 28
PRIMITIVE D"UNE FORME DIFFÉRENTIELLE(POTENTIEL D"UNCHAMP DE VECTEURS)DÉFINITION
Un sous-ensembleDdeRnest ditétoilés"il existe un pointa∈Dtel que pour tout pointp∈D, le segment joignantaàpest contenu dansD. On rappelle que le segment[a,p]est par définition l"ensemble ThéorèmedePoincaré-Formul edeGr een-Riemann Figure12.1-Domain escon vexeetdoncétoilé,éto ilémaispasconvexe, etnon étoilé. Démonstration.Onsu pposequel"ouvertUestétoi léparrapportaupoint (a,b)etonconsi - dèreuneforme !ferméesurU.Pour(x,y)!Uonconsid èrelacourbeparamétrée x,y [0,1]"U t#" a+t(x$a),b+t(y$b) puisonpo se f(x,y)= !x,yNotant!=P(x,y)dx+Q(x,y)dyceladonne
f(x,y)= 1 0 P(" x,y (t))(x$a)+Q(" x,y (t))(y$b) dt.Soit(x
0 ,y 0 )!U.Ile xis teunvoisinageVdex 0 dansRtelque(x,y 0 )appartientàVpour toutx!V,etdonc" x,y0 (t)!Upourtousx!Vett![0,1].L"application (t,x)#"P(" x,y0 (t))(x$a)+Q(" x,y0 (t))(y 0 $b) estdecl asseC 1 sur[0,1]%Vetsadér ivée partielleparrapportà xestdonnéepar P(" x,y0 (t))+t P x x,y0 (t) (x$a)+ Q x x,y0 (t) (y 0 $b)Parlet héorèm ededérivationsousl"inté grale, onobtientquefestdéri vableparrapportàx
et f x (x 0 ,y 0 1 0 P(" x0,y0 (t))dt+ 1 0 t P x x0,y0 (t) (x 0 $a)+ Q x x0,y0 (t) (y 0 $b) dt.