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Agrandissement-Réduction
d'une figureUn Parcours d'Étude et de Recherche
à partir de la quatrième
Groupe didactique de l'Irem de Bordeaux
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Agrandissement-réduction d'une figure
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Quelques élèves préfèrent la proportionnalité dans un tableau qui leur évite d'utiliser le vocabulaire
d'agrandissement et réduction.Après cette première étape, pour inciter les élèves à utiliser l'écriture fractionnaire d'un quotient, le
professeur demande comment obtenir les longueurs du triangle AMN à partir de celles du triangle ABC. Il s'agit d'un agrandissement à l'échelle 4 3. On ne passe pas encore à l'écriture avec les rapports des longueurs AMAB mais certains élèves
commencent déjà à écrire le coefficient de réduction avec des lettres. Les variables didactiques sont
choisies pour que ce quotient soit rationnel non décimal.Ceci pourra orienter les élèves vers l'écriture de " rapports » : ils sont incités à vérifier que ce
coefficient, trouvé avec deux longueurs correspondantes, est égal à ceux obtenus avec d'autres
longueurs correspondantes.La consigne (suite)
Étape 2
" Tracer un triangle DEF avec DE = 7 cm, EF = 9 cm et DF = 8 cm. Sur le segment [DE], placer le point R tel que DR = 3 cm. Sur le segment [DF], placer le point S tel que DS = 3,5 cm. Les droites (RS) et (EF) sont-elles parallèles ? Le prouver ». Le choix des variables didactiques est ici fondamental pour obtenir des droites semblant être parallèles.Pour prouver leur réponse, les élèves peuvent utiliser " une partie de la contraposée du futur
théorème de Thalès » . Ils peuvent aussi faire une sorte de raisonnement par l'absurde. Le but principal est ici de leur faire écrire des rapports.Agrandissement-réduction d'une figure, un PER à partir de la quatrième - Groupe didactique de l'Irem de Bordeaux
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La consigne (suite)
Étape 3
" On sait que les points A, D, B et A, E, C sont alignés, que les droites (DE) et (BC) sont parallèles. Quelles conjectures pouvez-vous faire ? » Les conjectures sont alors rapidement énoncées et justifiées : - le triangle ADE est une réduction du triangle ABC, - le triangle ABC est un agrandissement du triangle ADE, - les angles des triangles sont les mêmes.Le professeur demande alors :
" Écrire, sans mesurer, le coefficient d'agrandissement ».Certains élèves passent directement à l'écriture de ces rapports mais sans écrire l'égalité qui est loin
d'être évidente pour eux.D'autres ont besoin du tableau pour se repérer et fournissent ainsi une méthode de recherche à ceux
qui ne trouvent pas ces coefficients. Avec parfois quelques imprécisions sur les opérations...Agrandissement-réduction d'une figure, un PER à partir de la quatrième - Groupe didactique de l'Irem de Bordeaux
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A DE CB Quelques élèves ont encore du mal à reconnaître une multiplication à trou.Un seul rapport est obtenu sur certains cahiers, les trois sont parfois proposés mais aucun élève ne
passe à l'égalité des trois directement.Pour conclure, en présentant aux élèves la figure ci-dessous et en précisant que les lettres
représentent ici les longueurs des côtés, le professeur demande d'écrire de plusieurs façons les
coefficients d'agrandissement et de réduction.Ce travail pourra être complété en troisième par la situation suivante qui permet d'aborder le cas de
coefficients non rationnels. " Tracer un triangle isocèle ABC,rectangle en A tel que AB = AC = 1dm. Sur la demi-droite [BA) placer un point D tel que BD = BC. La perpendiculaire en D à (BA) coupe (BC) en E.Quelle est la mesure de BE ? »
Agrandissement-réduction d'une figure, un PER à partir de la quatrième - Groupe didactique de l'Irem de Bordeaux
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Troisième partie : le parcours
Avant d'aborder ce parcours, pendant le premier trimestre, il est indispensable de travailler avec les
élèves la proportionnalité dans son ensemble et, en particulier, les procédures de calculs d'une
quatrième proportionnelle.En effet, elle est tout d'abord un outil essentiel dans les situations proposées, avant de redevenir
objet d'étude avec sa caractérisation graphique.Les théorèmes relatifs aux milieux des côtés d'un triangle doivent également être vus : ils
permettent de justifier quelques cas particuliers pour la propriété de Thalès.Le parcours débutera ensuite, au deuxième trimestre, par les situations 1 et 2 sur le thème de
l'agrandissement d'une photo exposées dans la première partie.Ces deux situations traitées à la suite l'une de l'autre permettent d'admettre de manière intuitive
une première " propriété », la conservation " de la forme », et la remise en cause du modèle additif
au profit du modèle multiplicatif.Il est alors essentiel de poursuivre un travail spécifique sur l'agrandissement ou la réduction de
figures qui a pour objectifs : -la proportionnalité des longueurs des côtés ne suffit pas en général, -le passage de la conservation " de la forme » à la conservation des mesures d'angles, -la mise en évidence de la proportionnalité de toutes les dimensions.Cela peut être fait par exemple en demandant aux élèves d'agrandir un losange donné sur une
feuille blanche sans ses dimensions avec une échelle donnée, de réduire un trapèze donné sur une
feuille blanche sans ses dimensions à partir de la réduction d'un de ses côtés déjà construit : ces
situations ne seront pas détaillées ici, elles le seront dans une brochure à paraître avec l'ensemble
du parcours. Elles permettent aussi d'amener naturellement la suite du parcours puisque les élèves
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