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1 Probabilité conditionnelle

Définition 1SoitPune probabilité sur un universEetAun évènement tel queP(A)6= 0 Pour tout évènementB, on appelleprobabilité deBsachantAle réel P

A(B) =P(A\BP(A)Théorème 1L"application qui a tout évènementBassocie le réelPA(B)définit une

probabilité surEappeléeprobabilité conditionnelle sachantA Démonstration 1PAassocie à tout évènement un réel positif etPA(?) = 0 On prendeest un évènement élémentaire dansE, sie =2A, alorsPA(e) = 0par définition dePA

D"oùX

e2EP A(e)X e2AP

A(e) =1P(a)X

e2AP(e) =P(A)P(A)= 1 Proposition 1SiAest un évènement de probabilité non nulle etBun évènement quel- quonque dans l"universE, on a : -PA(A) = 1; si AetBsont incompatibles,PA(B) = 0; -P(A\B) =P(A)PA(B); -PA(B) = 1PA(B).

2 Formule des probabilités totales

Théorème 2SoitA1;A2;:::;Anun système complet d"évènements de l"universEetB un évènement quelquonque dansE. On a :

P(B) =PA1(B)P(A1) +PA2(B)P(A2) ++PAn(B)P(An)Démonstration 2Best la réunion des évènementsB\A1;B\A2;:::;B\An, qui sont

deux à deux disjoints. Ainsi :

P(B) =P(B\A1) +P(B\A2) ++P(B\An):

Or pour touti2 f1;2;:::;ng;P(B\Ai) =P(B)P(Ai). D"où le résultat.

3 Indépendance

3.1 Rappels

Définition 2On appelleexpérience aléatoire, un processus dont le résultat ne peut

être déterminé à l"avance.

Définition 3On appelleuniversl"ensemble des valeurs prises par le résultat d"une ex- périence aléatoire. Définition 4On appellevariable aléatoiretoute grandeur numérique dont la valeur dépend du résultat d"une expérience aléatoire. 1 Définition 5Soit P une probabilité sur un universEOn dit que les évènements A et B sont indépendants si

P(A\B) =P(A)P(B)Proposition 2SiP(A)6= 0, on a :

AetBsi et seulement si,PA(B) =PB(A)

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