3déf Distribution conjointe de X et Y : c'est la liste des k*p modalités conjointes ( mi,mj) associées chacune à son effectif nij ou à sa fréquence fij : dans le premier
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3déf Distribution conjointe de X et Y : c'est la liste des k*p modalités conjointes ( mi,mj) associées chacune à son effectif nij ou à sa fréquence fij : dans le premier
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Distribution conjointe de X et Y : c'est la liste des k*p modalités conjointes (mi,m/ j ) associées chacune à son effectif nij ou à sa fréquence fij ; comme les
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Cours 2
Distribution conjointe
Distribution conjointe
1 Distribution d"une variable[sur un échantillon] : on rappelle que la distribution d"une va-
riable X [sur un échantillon] est la liste des modalités de la variable, chacune étant associée à son
effectif ou à sa fréquence dans l"échantillon; cette liste est généralement présentée sous la forme
d"untableau de contingence. 2défModalité conjointe.Lorsqu"on mesure simultanément X et Y sur un individuede l"échantillon,
la mesure de X surenotéexeest une modalitémide X, de même que la mesure de Y surenotéeyeest une modalitém?jde Y : le résultat est le couple(xe,ye)égal au couple de modalités
(mi,m?j); les différents couples de modalités, formés d"une modalité de X et d"une modalité de
Y sont au nombre de k*p, sont lesmodalités conjointes[de X et Y]. 3 défDistribution conjointe de X et Y :c"est la liste des k*p modalités conjointes(mi,m?j)associées chacune à son effectifnijou à sa fréquencefij: dans le premier cas la distribution
conjointe est diteen effectif, dans le seconden proportionouen pourcentageselon quefijdésigne la proportionnij/nou le pourcentage100?nij/n. Dans le tableau de contingence de la distribution conjointe, les modalités de X sont placées dans la première colonne (chaque ligne concerne une modalité de X), et celles de Y dans la première ligne (chaque colonne concerne une modalité de Y).X/Ym ?1m ?2...m ?j...m ?pm 1n11ouf11n
12ouf12...n
1jouf1j...n
1pouf1pm
2n21ouf21n
22ouf22...n
2jouf2j...n
2pouf2p.....................
m in i1oufi1n i2oufi2...n ijoufij...n ipoufip..................... m kn k1oufk1n k2oufk2...n kjoufkj...n kpoufkpDistribution conjointe de X et Y sous forme de tableau de contingence. Voilà, par exemple, les distributions en effectif et en proportion de l"exemple 1, " niveau scolaire et absentéisme » :X / YRareMoyenFréquent A744 B822X / YRareMoyenFréquentTotal X
A7/27=0,260,150,150,56
B0,30,070,070,44
Total Y0,560,220,221
4?Construction.À partir des données brutes et du modèle statistique de la situation, on construit
la distribution conjointe en effectif (respectivement en proportion) en associant à chaque modalité
conjointe(mi,m?j)son effectifnij(resp. sa proportionfij=nij/n);nijs"obtient en comptant le nombre d"individus de l"échantillon ayant simultanément les modalitésmietm?jpour X et Y.2Statistique pour la psychologie II : E34XP1
Exemple de la taille des pères et fils : on choisit arbitrairement comme modalités pour X etY les 4 intervalles [62; 65[, [65; 68[, [68; 71[ et [71; 74]; on trouve 0 individu pour la modalité
conjointe(m1,m?1)(n11= 0), 3 individus (2, 4 et 6) pour la modalité(m1,m?2)(n12= 3), etc.; on obtient finalement la distribution conjointe :X/Y[62 - 65[[65 - 68[[68 - 71[[71 - 74] [62 - 65[0300 [65 - 68[0211 [68 - 71[0040 [71 - 74]0010Distributions marginales
5 défLa distribution marginale de X(resp. de Y) est la distribution de X (resp. Y) sur l"échan-tillon, calculée à partir de la distribution conjointe. Le nom vient de ce qu"elles sont souvent
présentées en marge du tableau de contingence, parallèlement à la liste des modalités.
6 défL"effectif marginal de la modalitémide Xest le nombre des individus de E dont la mesure par X estmi; ces individus sont ceux qui contribuent aux effectifs de la ième ligne du tableaude contingence en effectif, et leur nombre est la somme des p effectifs situés sur la ième ligne,
n i1,ni2,...,nip; on le noteni.: le point signifie qu"on effectue un parcours cumulatif, des colonnesquand il est placé en seconde place comme ici ou des lignes quand il est placé en première place
(comme dansn.3par exemple) : dansni.on se place sur la ligneiet on parcourt les colonnesen cumulant successivement le contenus des cellulesci1,ci2,...,cij,...,cip; ce qui se résume par la
formule : n i.=p? j=1n ijDans une formule de cette nature, la lettre
?indique un parcours cumulatif,nijles élémentsvisités,j= 1,pla description du parcours : ici, on fait varier j de 1 à p pour passer par les p
colonnes, et on ne fait pas varier i pour rester sur la ligne i. 7défLa fréquence marginale de la modalitémide Xest notéefi.; elle est égale à a sommeni.
de la ième ligne divisée par la taille de l"échantillon :fi.=ni./n.8 L"effectif marginal de la modalitém?jde Yse calcule de manière duale, en pensant colonne
à la place de ligne et réciproquement :n.jest la somme des k nombres situés sur la jème colonne,
n1j,n2j,...,nkj:
n .j=k? i=1n ij9 Le tableau de contingence avec margespermet de représenter simultanément la distribution
conjointe et les deux distributions marginales :X/Ym ?1m ?2...m ?j...m ?pMargeX m 1n11ouf11n
12ouf12n
1jouf1jn
1pouf1pn
1.ouf1.m
2n21ouf21n
22ouf22n
2jouf2jn
2pouf2pn
2.ouf2....
m in i1oufi1n i2oufi2n ijoufijn ipoufipn i.oufi.... m kn k1oufk1n k2oufk2n kjoufkjn kpoufkpn k.oufk.MargeYn .1ouf.1n .2ouf.2n .jouf.jn .pouf.pn ..ouf..Eric-Olivier.Lochard - 17 septembre 2009Statistique pour la psychologie II : E34XP13
Ce tableau doit être visuellement décomposé en cinq parties : - Première colonne : modalités de X - Dernière colonne : distribution [marginale] de X - Première ligne : modalités de Y - Dernière ligne : distribution [marginale] de Y - L"intérieur : distribution conjointe de X et YIl faut remarquer que les sommes des trois distributions sont égales à la taille de l"échantillon.
10 Exemple : niveau scolaire et absentéisme.X ayant deux modalités, A et B, construire la
distribution marginale de X revient à calculer leur effectifn1.etn2.; les élèves de niveau A se
composent des élèves de niveau A étant peu absents (il y en a 7,n11), des élèves de niveau A
étant moyennement absents (il y en a 4,n12) et des élèves de niveau A étant souvent absents
(il y en a 4,n13) : au totaln1.= 15; de la même façon on trouven2.= 12; naturellement, lasomme de ces deux effectifs est égale à 27, la taille de l"échantillon.X / YRareMoyenFréquentTotal X