[PDF] [PDF] Les nombres complexes - Lycée dAdultes

[PDF] ´Equation du second degré `a coefficients complexes

´Equation du second degré `a coefficients complexes Page 2 1 Formules `a connaˆıtre On consid`ere trois nombres complexes a, b et c tels que a = 0 Apr` es calculs du discrimininant et des racines, on obtient X2 −3X−4=(X+1)(X−4)

[PDF] 6 Nombres complexes et polynômes - cpgedupuydelomefr

Théorème 6 1 11 — Racines complexes d'un polynôme complexe du second degré Soient a, b et c trois complexes avec a = 0 et (E) l'équation définie pour  

[PDF] Racines dun polynôme

Un polynôme de C[X] de degré d a donc exactement d racines complexes ( comptées avec multiplicité) 3 3 2 Cas des polynômes `a coefficients réels

[PDF] TD 1: polynômes, nombres complexes

Calculer les racines carrées des nombres complexes suivants : 5 − 12i, 2(2 Soit P un polynôme de degré n ∈ N Donner les degrés des polynômes suivants :

[PDF] ÉQUATIONS POLYNOMIALES - maths et tiques

coefficients réels de L'entier est appelé le degré du polynôme Les nombres complexes et − sont les racines du polynôme − 1

[PDF] Les nombres complexes - Lycée dAdultes

24 nov 2016 · Ces racines sont alors conjuguées deux à deux Soit un polynôme P de degré n à coefficients réels : P(z) = n

[PDF] NOMBRES COMPLEXES

A l'origine de l'apparition des nombres complexes, se trouvent les une racine, et chaque polynôme de degré 2 admet deux racines (distinctes ou non)

[PDF] Racines n-i`emes dun nombre complexe Racines de lunité

Le théor`eme précédent n'a rien de surprenant car, comme tout polynôme de degré n ≥ 1, Pn(x) = xn − a ∈ C[X] poss`ede n zéros complexes De plus, 0 étant 

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Définition

Soit C=? z= x+i y,(x;y)?R2?, avec i2=-1

L"écriturez=

x+i y est appelé forme algébrique dez

On pose :

Re(z) =x

?Rla partie réelle

Im(z) =y

?Rla partie imaginaire

Puissances dei: Soitkun entiers relatif, on a :

i

4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i

Forme algébrique

L"écriture algébrique d"un nombre complexe estunique

Conséquences

•Égalité

de deux nombres complexes : z=z?? x+i y= x?+i y? x=x?y=y?

Cas particulier :

z=0? x+i y= 0+i 0 x=0?y=0

CommeR,

Cest intègre , c"est à dire que dansCle théo- rème du produit nul est vérifié ?z,z??C,zz?=0? z=0 ou z?=0

On ne dispose plus dans

C de la relation d"ordre usuelle " ?" ou "

Cas particuliers

•Si

Im(z) =0

alorsz= x?RainsiR? C. Muni du produit (×) et de l"addition (+) usuelles,

Cappa-

raît comme une extension deR préservant les propriétés algébrique classiques : associativité, distributivité, commu- tativité.

On note parfois :

C=R(i)

pour traduire l"extension ...

•Si

Re(z) =0

alorsz=i y avecy?R.

On dit alors quezest

un imaginaire pur.

Les nombrescomplexesLe point de vue de

l"algèbre Équation du second degré à coefficients réels

Typiquement :

az2+bz+c=0 oùa?R?,b,c?R. Méthode : On calcule le discriminantΔ=b2-4ac

SiΔ?0, racines réelles (cf 1S)

SiΔ<0, 2 racines complexes conjuguées

z1=-b+i⎷

2aouz2=-b-i⎷

2a Pour les équations polynomiale de dégré?2 à coef- ficient complexe, le texte vous guidera.

Conjugué

On appelle

conjugué du complexe z, le complexe ztel que : z= x+i y x- iy ainsi? Re( z) =Re(z) Im( z) =-Im(z)

Propriétés(

ROC ) :?z,z??=0?C, z=z z+z?= z+ z? z×z?= z× z? ?zz?? zz?, zn= ( z)n,n?N?

Caractérisations:

z?R?z= z z?iR?z=- z

Mettre un complexe sous forme algébrique

Outil:?z?C,z

z=x2+y2?R

Exemple:z=1-3i

1-2i=(1-3i)

(1+2i) (1-2i) (1+2i) =1+2i-3i+6 12+22 75-1
5i

Autres équations

1) Équations de degré 3 à coefficients réels :

az3+bz2+cz+d=0

•On détermine une racine évidenteα•On en déduit une factorisation par(z-α)•On conclut grâce au

théorème du produit nul

•Exemple : résoudre

z3-3z2+3z+7=0

2) Équations impliquant

zet z.

•On posez=x+iypuis on utilise

l"unicité de l"écriture algébrique pour déterminer x et y en identifiant partie réelle et partie imaginaire à l"aide d"un système

•Exemple :

z-3iz-3+6i=0

PAULMILAN

DERNIÈRE IMPRESSION LE24 novembre 2016 à 15:47TERMINALE S

Complément (dans la lignée du programme)

Théorème :

Tout polynôme à coefficients réels admet

un nombre pair de racines complexes non réelles . Ces racines sont alors conjuguées deux à deux. Soit un polynômePde degrénà coefficients réels :

P(z) =n∑

k=0a kzk=anzn+an-1zn-1+···+a1z+a0 On suppose quez0est racine deP, montrons alors que z0est aussi racine deP.

P(z0) =0?

P((z0) =

0 anzn0+an-1zn-10+···+a1z0+a0= 0 anzn0+ an-1zn-10+···+ a1z0+ a0=0 an zn0+ an-1 zn-10+···+ a1 z0+ a0=0 Comme les coefficients sont réels,?k?{0,1,...,n}, ak=aket zn= zn ?an z0n+an-1 z0n-1+···+a1 z0+a0=0 z0racine du polynômeP

Culture

Théorème fondamental de l"algèbre

: Tout polynôme de degré n?1

à coeffi-

cients complexes admet exactement nracines distinctes ou non Théorème conjecturé par d"Alembert (1717-1783) et démontrépar Gauss (1777-1855).

Exemple : Racines 4ede l"unité,

z

4-1=0?(z2-1)(z2+1) =0?(z-1)(z+1)(z-i)(z+i) =0

On en déduit les 4 racines 4

ede l"unité :SC={-1 ; 1 ;-i;i}.

PAULMILAN

TERMINALE S

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