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´Equation du second degré `a coefficients complexes Page 2 1 Formules `a connaˆıtre On consid`ere trois nombres complexes a, b et c tels que a = 0 Apr` es calculs du discrimininant et des racines, on obtient X2 −3X−4=(X+1)(X−4)

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Théorème 6 1 11 — Racines complexes d'un polynôme complexe du second degré Soient a, b et c trois complexes avec a = 0 et (E) l'équation définie pour  

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Un polynôme de C[X] de degré d a donc exactement d racines complexes ( comptées avec multiplicité) 3 3 2 Cas des polynômes `a coefficients réels

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Calculer les racines carrées des nombres complexes suivants : 5 − 12i, 2(2 Soit P un polynôme de degré n ∈ N Donner les degrés des polynômes suivants :

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coefficients réels de L'entier est appelé le degré du polynôme Les nombres complexes et − sont les racines du polynôme − 1

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24 nov 2016 · Ces racines sont alors conjuguées deux à deux Soit un polynôme P de degré n à coefficients réels : P(z) = n

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A l'origine de l'apparition des nombres complexes, se trouvent les une racine, et chaque polynôme de degré 2 admet deux racines (distinctes ou non)

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Le théor`eme précédent n'a rien de surprenant car, comme tout polynôme de degré n ≥ 1, Pn(x) = xn − a ∈ C[X] poss`ede n zéros complexes De plus, 0 étant 

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ÉQUATIONS POLYNOMIALES

Partie 1 : Équations du second degré dans â„‚ Définition : Soit í µ, í µ et c des réels avec í µâ‰ 0. On appelle discriminant du trinôme í µí µ +í µí µ+í µ, le nombre réel, noté Δ, égal à -4í µí µ.

Propriété :

- Si Δ > 0 : L'équation í µí µ +í µí µ+í µ=0 a deux solutions réelles distinctes : et í µ - Si Δ = 0 : L'équation í µí µ +í µí µ+í µ=0 a une unique solution réelle : í µ - Si Δ < 0 : L'équation í µí µ +í µí µ+í µ=0 a deux solutions complexes conjuguées : et í µ

Démonstration :

On met le trinôme sous sa forme canonique (Voir cours de la classe de 1

ère

2í µ

-4í µí µ

4í µ

En posant Δ=í µ

-4í µí µ : +í µí µ+í µ=0

2í µ

4í µ

í µâ‰ 0

2í µ

4í µ

- Si Δ > 0 :

2í µ

3

4í µ

2í µ

3

4í µ

2í µ

2í µ

2í µ

2í µ

L'équation a deux solutions réelles : í µ et í µ - Si Δ = 0 : L'équation peut s'écrire :

2í µ

=0 L'équation n'a qu'une seule solution réelle : í µ 2 - Si Δ < 0 : L'équation peut s'écrire :

2í µ

4í µ

=-1)

Donc :

2í µ

3

4í µ

2í µ

3

4í µ

4í µ

>0)

2í µ

2í µ

2í µ

2í µ

L'équation a deux solutions complexes : í µ

et í µ Méthode : Résoudre une équation du second degré dans â„‚

Vidéo https://youtu.be/KCnorHy5FE4

Résoudre dans â„‚ les équations suivantes : a) í µ +5=0 b) í µ +3í µ+4=0

Correction

a) í µ +5=0 =-5 =5í µ

Donc : í µ=í µ

5 ou í µ=-í µ

5

Les solutions sont donc í µ

5 et -í µ

5. b) On calcule de discriminant Δ du trinôme : Δ=3 -4×1×4=-7 Δ<0 donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées : et í µ 3 2 7 2 3 2 7 2 Propriété : La somme S et le produit P des racines d'un polynôme du second degré de la forme í µí µ +í µí µ+í µ sont donnés par : í µ=- et í µ=

Exemple :

On a vu dans la méthode précédente que l'équation í µ +5=0 possède deux racines : í µ 5 et -í µ 5.

Ainsi : í µ= í µ

5 -í µ

5=0 et í µ=í µ

5Ã—í±ƒ-í µ

5D=5 En appliquant, les formules de la propriété, on retrouve ces résultats : 0 1 =0í µí µí µ= 5 1 =5. z 2 +3z+4=0 3

Partie 2 : Équations de degré n dans ℂ

1) Définition

Définition : Une fonction polynôme (ou polynôme) í µ est une fonction de â„‚ dans â„‚ de la

forme í µ , où í µ sont les coefficients réels de í µ. L'entier í µ est appelé le degré du polynôme í µ. Propriété : Si une fonction polynôme est nulle, alors tous ses coefficients sont nuls.

2) Racine d'un polynôme

Définition : Soit un polynôme í µ. Un nombre complexe í µ s'appelle racine de í µ si í µ

=0.

Exemple :

Les nombres complexes í µ et -í µ sont les racines du polynôme í µ +1. Théorème : Soit un polynôme í µ définie par í µ où í µ est un entier supérieur ou

égal à 2.

Alors il existe un polynôme í µ de degré í µ-1, tel que í µ

Démonstration au programme :

- Si í µ=0 : C'est évident. - Si í µ=1 :

On a : í µ

+⋯+í µ+1 1 +⋯+í µ+1 +⋯+í µ+1

En soustrayant membre à membre, on a :

í µ-1 +⋯+í µ+1 -1 - Si í µâ‰ 0 quelconque : On remplace í µ par í µ/í µ dans l'égalité ci-dessus : L -1MN +1O= -1

Soit en multipliant chaque membre par í µ

Il existe donc un polynôme í µ

de degré í µ-1, tel que í µ

Corollaire : Soit un polynôme í µ de degré í µ. Si í µ est une racine complexe de í µ, alors il existe

un polynôme í µ de degré í µ-1, tel que í µ(í µ)=

Démonstration au programme :

Comme í µ est une racine complexe de í µ, on a :í µ =0.

Donc :

4 Or, pour tout í µ compris entre 1 et í µ, il existe un polynôme í µ de degré í µ-1, tel que :

Donc : í µ

Il existe donc un polynôme í µ de degré í µ-1, tel que : í µ Corollaire : Un polynôme de degré í µ admet au plus í µ racines.

Démonstration au programme :

Supposons que les nombres complexes í µ

sont des racines deux à deux distincts du polynôme í µ.

Alors il existe un polynôme í µ

tel que : í µ(í µ)=

Or, 0=í µ(í µ

) et í µ ≠0.

Donc í µ

=0.

Ainsi, il existe un polynôme í µ

tel que : í µ

Et donc : í µ

En continuant ainsi avec des polynômes í µ

, on obtient :

Dí µ

On en déduit que le polynôme í µ est de degré í µ+í µí µí µí µÃ©(í µ Méthode : Factoriser un polynôme dont une racine est connue

Vidéo https://youtu.be/1Y-JtI6nNXU

Factoriser dans â„‚le polynôme : í µ

+4í µ+4.

Correction

í µ est un polynôme de degré 3, il admet au plus 3 racines.quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22