de pn comme de l'interpolant d f et on la note Πnf Fig 5 2 – f(n+1)(ξ) (n + 1) En Matlab, on utilise la fonction polyfit pour l'interpolation polynomiale Cette
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[PDF] Chapitre 2 Interpolation polynomiale
On s'intéresse dans ce cours `a la reconstruction de f par des polynômes dans le plan, le probl`eme de l'interpolation polynomiale consiste `a trouver Définition 1 On note f[a0,a1, , ad] le coefficient de xd dans le polynôme L[A; f](x) et on
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Dans ce cours nous ne nous intéresserons qu'à l'interpolation polynômiale f : [ a, b] → R Soit n ∈ N On note Pn le polynôme d'interpolation de Lagrange de f
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II 2: Fac-similé du calcul de Newton pour le probl`eme de l'interpolation d(x) est différentiable, on peut appliquer n fois le théor`eme de Rolle (voir le cours 256) , o`u une note en bas de page discute le phénom`ene de Runge, qui fit fureur
[PDF] Interpolation polynomiale 1 Interpolation de Lagrange
< xn ≤ b, n + 1 points de [a, b] On note P le polynôme d'interpolation de Lagrange de f aux points x0, ,xn Théor`eme 9
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[0, L], nous en verrons deux dans ce cours 1 L'interpolation polynomiale On approche k par un polynôme P qui interpole k aux points x1,··· , xn, i e : P(xi) = ki,
[PDF] Chapitre 1 : Polynôme dinterpolation de Lagrange & son utilisation
Dans ce cours, on se limitera à l'interpolation polynomiale de Lagrange et son Si on note P (x) le polynôme d'interpolation passant par ces (n+1) points
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métrologie, relevé de la température d'une réaction chimique au cours du temps, ) Pourquoi une Lorsque Φ est un polynôme on parle d'interpolation polynomiale Lorsque Φ est On note le produit u1 × u2 ×···× uN par : ∏N i=1 ui Ainsi
[PDF] Chapitre 5 Interpolation polynômiale et extrapolation
de pn comme de l'interpolant d f et on la note Πnf Fig 5 2 – f(n+1)(ξ) (n + 1) En Matlab, on utilise la fonction polyfit pour l'interpolation polynomiale Cette
[PDF] 11 Interpolation polynomiale de Lagrange Définition - Laurent Dumas
COURS UM6P ANNEE 2020-2021 ximation par interpolation polynomiale d' une fonction réelle f connue en un nombre fini (n + 1) de points d'interpolation en (n + 1) points de degré inférieur à n (ensemble noté Pndans tout le chapitre) :
[PDF] Chap 2 : Interpolation polynomiale - LAMA - Univ Savoie
le polynôme d'interpolation de Lagrange aux points (xi,f(xi)) Un peu d'algèbre linéaire : • on note Ei avec i ∈ {0, ,n} les vecteurs de la base canonique de Rn+ 1
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Chapitre 5Interpolation polynômiale etextrapolationSommaire
5.1 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5.1.1 Formulation barycentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5.1.2 Formule de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.1.3 estimation d"erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.1.4 Convergence depnversf. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.2 Interpolation d"Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.3 Interpolation par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.3.1 Interpolation affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.3.2 Interpolation par fonctions splines . . . . . . . . . . . . . 12Deux problèmes classiques1) Interpolation : on considère une aile d"avion, qu"on soumet à des vents de 10,
50, 100, 200 km/h, et dont on calcule les déformations pour ces valeurs. On veut
savoir comment elle résistera à un vent de 150km/h2) Extrapolation : on connaît la population française de1800à2010et on veut
en déduire une estimation de la population française dans les 10 prochaines années. Une solution est de déterminer un polynôme dont la courbe s"approche le plus possible (ou passe par) ces points, et de prendre sa valeur aux nouveaux points.C"est le but de ce chapitre.
Le problème mathématique est le suivant : on se donnen+1mesuresf0,···,fn enn+1points distinctsx0,···,xnet on cherche à calculer un polynômeqde degré 1 approche est quandm=n: c"est le polynôme d"interpolation.5.1 Interpolation de Lagrange
Théorème 5.11) Il existe un unique polynômepn?Pn(espace vectoriel des poly- nômes de degré inférieur ou égal à n) tel que2) Il s"écrit sous la forme
p n(x) =n? i=0f i?i(x),avec?i(x) =? j?=ix-xj xi-xj.(5.2) Les?isont les polynômes d"interpolation de Lagrange.pnest le polynôme d"interpo- lation aux pointsxipour les mesuresfi.Démonstration1)Notonspn(x) =n?
k=0a kxk, x?R. Résoudre (5.1) est équi- valent à résoudre un système linéaire dont les inconnues sont les coefficientsak:Ay=bavec
A=(((1x0···xn0............
1xn···xnn)))
, y=(((a 0... a n))) , b=(((f 0... f n))) Aest une matrice de Vandermonde. Elle est inversible ce qui conclut la partie 1).2)?iest un polynôme dePn, et vérifie?i(xj) =δij. On vérifie que ce polynôme
convient.Fig.5.1 - polynôme d"interpolation
2 Lorsque lesfisont les valeurs d"une certaine fonctionfaux pointsxi, on parle depncomme de l"interpolant dfet on la noteΠnf.Fig.5.2 - interpolant
En principe il suffit de résoudre le système linéaire pour calculer lesai, puis de calculer en chaque nouveau pointx f(x) = (a0,a1,...,an)?(((((1 x... x n))))) Mais le système est très mal conditionné. Il vaut mieux utiliser le programme suivant. function [yy] = lagint(x, y, xx) % LAGINT uses the ponts (x_i, y_i) for the Lagrange Form of the % interpolating polynomial and iterpolates the values % yy_i = P_n(xx_i) n = length(x); nn = length(xx); for i = 1:nn, yy(i) = 0; for k =1:n yy(i) = yy(i)+y(k)*prod((xx(i) - x([1:k-1,k+1:n])))... /prod((x(k) - x([1:k-1,k+1:n]))); end; end; 35.1.1 Formulation barycentrique
Utiliser la formulation (5.2) mène àO(n2)opérations pour chaquex. Nous défi- nissons les coefficients i=1 j?=i(xi-xj). et nous réécrivons p n(x) =n? i=0λ i? j?=i(x-xj)f(xi)? j(x-xj)? n? i=0λ i x-xif(xi)? Puisque la formule est exacte pour les polynômes d degré 0, onpeut écrire pour f≡1: 1 = j(x-xj)? n? i=0λ i x-xi? et donc j(x-xj) =1 n? i=0λ i x-xi ce qui nous donne la formule barycentrique p n(x) =n i=0λ i x-xif(xi) n? i=0λ i x-xi Pour l"utiliser nous calculons d"abord lesλienO(n2)opérations, function [lambda] = coeffbary(x) % COEFFBARY computes the coefficients for the barycentric % representation of the interpolating polynomial through % the points (x_i, y_i) n = length(x); x=x(:); for k = 1:n, lambda(k) = 1 / prod(x(k) - x([1:k-1,k+1:n])); end; puis pour chaquexnous calculons les poidsμi=λi x-xietpn(x) =? n i=0μif(xi)?ni=0μien seulementO(n)opérations. 4function [yy] = intbary(x, y,lambda, xx)% INTBARY evaluates the interpolating polynomial% through (x_i, y_i) for the values xx: yy = P_n(xx)x=x(:); y=y(:); xx = xx(:);nn = length(xx);for i = 1:nn,z = (xx(i)-x) + 1e-30; % prevents a division by zeromue = lambda./z;yy(i) = mue*y/sum(mue);end;5.1.2 Formule de Newton
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