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A. P. M. E. P.
?Corrigé du baccalauréat ES - Asie?23 juin 2016
EXERCICE16 points
Commun à tous les candidats
Dans un repère orthonormé du plan, on donne la courbe représentativeCfd"une fonctionf définie et dérivable sur l"intervalle[-1; 5].On notef?la fonction dérivée def.
La courbeCfpasse par le pointA(0; 1) et par le pointBd"abscisse 1. La tangenteT0à la courbe au pointApasse par le pointC(2; 3) et la tangenteT1au pointBest parallèle à l"axe des abscisses.0,51,01,52,02,53,0
1 2 3 4 5-1
PARTIEA
1.La valeur exacte def?(1) est :
a.0 b.1c.1,6d.autre réponse La tangente enBest horizontale donc son coefficient directeur est nul :f?(1)=0.2.La valeur exacte def?(0) est :
a.0b.1 c.1,6d.autre réponse Le coefficient directeur de la droite (AC) est 1 :f?(0)=1.3.La valeur exacte def(1) est :
a.0b.1c.1,6d.autre réponse L"ordonnée deBest un peu inférieure à 1,5.4.Un encadrement de?
f(x)dxpar des entiers naturels successifs est : a.3?? f(x)dx?4b.2?? f(x)dx?3 c.1?? f(x)dx?2d.autre réponse En comptant les carreaux, on obtient la réponse.PARTIEB
1.On admet que la fonctionFdéfinie sur[-1; 5]parF(x)= -(x2+4x+5)e-xest une
primitive de la fonctionf. a.f(x)=F?(x)= -(2x+4)e-x+(-(x2+4x+5))(-1)e-x=(-2x-4+x2+4x+5)ex= (x2+2x+1)e-x b.La fonctionfest positive sur[0 ; 2]donc l"aire du domaine du plan limité par la courbeCf, l"axe des abscisses et les deux droites d"équationsx=0 etx=2 estA=?2 f(x)dx. A=? f(x)dx=F(2)-F(0)=?-(4+8+5)e-2?-?-(0+0+5)e0?=-17e-2+5 u.a. Une valeur approchée de cette aire est 2,7 ce qui valide la réponse de la question 4 de la partie A.2.La fonctionfest dérivable donc continue sur[1; 5].
f(1)=4e-1≈1,47>1 etf(5)=36e-5≈0,24<1 donc, d"après le théorème des valeurs intermédiaires, l"équationf(x)=1 admet au moins une solution dans l"intervalle[1 ; 5]. En étudiant les variations de la fonction f sur l"intervalle[1; 5], on peut démontrer que l"équation f(x)=1admet une solution unique sur cet intervalle.EXERCICE2 Commun à tousles candidats 6 points
Une entreprise produit en grande série des clés USB pour l"industrie informatique.PARTIEA
On prélève au hasard 100 clés dans la production de la journéepour vérification. La production
est assez grande pour que l"on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100
clés. Onadmetque laprobabilitéqu"une cléUSB prélevée auhasarddanslaproductiond"une journée soit défectueuse est égale à 0,015.On considère la variable aléatoireXqui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de
clés défectueuses de ce prélèvement.1.Pour une clé, il n"y a que deux issues : elle est défectueuse, avec une probabilitép=0,015,
ou elle n"est pas défectueuse, avec la probabilité 1-p. La production est assez grande pour que l"on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 clés. On peut en déduire que la variable aléatoireXqui donne le nombre de clés défectueuses dans le lot de 100 clés suit la loi binomiale de paramètresn=300 etp=0,015.2.Quand une variable aléatoireXsuit la loi binomiale de paramètresnetp, la probabilité
de l"événementX=kest donnée par : p(X=k)=? k(1-p)n-k. On en déduit quep(X=0)≈0,221 etp(X=1)≈0,336.3.Au plus deux clés soient défectueuses correspond à l"événementX?2 :
La probabilité qu"au plus deux clés soient défectueuses estenviron 0,810.Asie223 juin 2016
PARTIEB
Une clé est dite conforme pour la lecture lorsque sa vitesse de lecture, exprimée en Mo/s, appar-
tientàl"intervalle[98; 103].Unecléestditeconformepour l"écriturelorsquesavitesse d"écriture
exprimée en Mo/s appartient à l"intervalle[28; 33].1.On noteRla variable aléatoire qui, à chaque clé prélevée au hasard dans le stock, associe
savitesse delecture.Onsuppose quelavariablealéatoireRsuitlaloinormaled"espéranceμ=100 et d"écart-typeσ=1.
Une cléest conformepour lalecturequand 98?R?103, sachantque lavariablealéatoire Rsuit la loi normale de paramètresμ=100 etσ=1.La calculatrice donnep(98?X?103)≈0,976.
2.On noteWla variable aléatoire qui, chaque clé prélevée au hasard dans le stock, associe
sa vitesse d"écriture On suppose que la variable aléatoireWsuit une loi normale. Le graphique ci-après représente la densité de probabilitéde la variable aléatoireW.262728293031323334
La fonction densité d"une loi normale d"espéranceμest représentée par une courbe en cloche dont l"axe de symétrie est la droite d"équationx=μ. On sait que la droite d"équa- tionx=30 est axe de symétrie donc on peut en déduire queμ=30. D"après le cours, pour toute variablealéatoireWsuivant une loi normale de paramètresμ etσ, on sait quep(μ-2σ?W?μ+2σ)≈0,95. D"après le texte,p(28?W?32)≈0,95 et on sait queμ=30; donc 2σ=2 et doncσ=1.PARTIEC
Dans cette partie, on considère une grande quantité de clés devant être livrées à un éditeur de
logiciels. On considère un échantillon de 100 clés prélevées au hasard dans cette livraison. La
livraison est assez importante pour que l"on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise.On constate que 94 clés sont sans défaut donc la fréquence de clés sans défaut dans cet échan-
tillon estf=94100=0,94.
Un intervalle de confiance, au niveau de confiance 95%, est donné par :I=? f-1 ?n;f+1?n? f-1 ?n=0,94-0,1=0,84;f+1?n=0,94+0,1=1,04 quel"onremplacerapar1caruneprobabilité ne peut dépasser 1. L"intervalle de confiance est donc[0,84 ; 1].Remarque
Le programme de la classe de terminale ES précise à propos de l"intervalle de confiance : "Il est important de noter que, dans d"autres champs, on utilise l"intervalle f-1,96? f(1-f) ?n;f+1,96? f(1-f) ?n??? qu"il n"est pas possible de justifier dans ce programme.»Asie323 juin 2016
Danscetexercice ontrouverait environ[0,89 ; 0,99]ce qui éloignerait l"inconvénient delaborne supérieure dépassant 1.EXERCICE3Élèves deES n"ayant pas suivila spécialité mathématiques,et élèvesdeL5 points
Le 1 erseptembre 2015, un ensemble scolaire compte 3000 élèves. Une étude statistique interne a montré que chaque 1 erseptembre : • 10% de l"effectif quitte l"établissement; • 250 nouveaux élèves s"inscrivent.On cherche à modéliser cette situation par une suite (un) où, pour tout entier natureln,unre-
présente le nombre d"élèves le 1 erseptembre de l"année 2015+n.1.• L"année 2015 correspond àn=0 et on sait que cette année-là, l"établissement compte
3000 élèves; doncu0=3000.
• Onsaitque10%desélèvesquittentl"établissement,doncilenreste90%,cequirevient à multiplier par 0,9. Comme 250 nouveaux élèves s"inscrivent chaque année, il faut rajouter 250.Donc, pour toutn,un+1=0,9un+250.
2.Pour tout entier natureln, on posevn=un-2500, doncun=vn+2500.
0,9vn0=u0-2500=3000-2500=500
Donc la suite (vn) est géométrique de raisonq=0,9 et de premier termev0=500. b.D"après le cours, on peut dire que pour toutn,vn=v0×qn=500×0,9n. Commeun=vn+2500, on peut en déduire que pour tout entier natureln, n=500×0,9n+2500. =(450-500)×0,9n=-50×0,9n Pour toutn,-50×0,9n<0; on en déduit queun+1-un<0 et donc que la suite (un) est décroissante.4.Lacapacité optimale d"accueil estde2800 élèves. Ainsi,au1erseptembre 2015, l"ensemble
scolaire compte un sureffectif de 200 élèves.On veut déterminer à partir de quelle année, le contexte restant le même, l"ensemble sco-
laire ne sera plus en sureffectif; cela arriverala premièreannée pour laquelle l"effectif sera inférieur ou égal à 2800. Comme la suite (un) est décroissante, ce sera également le cas pour les années qui sui- vront. Voici un algorithme qui répond au problème :