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Exercice 1

Partie A

1. Les fonctions polynomiale et ln sont dérivables sur ]0 g

gx) = 6x² + 2 x . Pour tout x >0, 6x² >0 et 2 x > 0 . Donc gx) > 0 sur ]0

La fonction g est donc croissante sur ]0

2. limx ĺ ln x = - donc limx ĺ g(x) = -

limx ĺ 2x3 limx ĺ ln x Par conséquent limx ĺ g(x De plus, la fonction g est continue sur ]0 ;+[ et strictement croissante bijection, il existe donc ĮgĮ

Į : 0,87

3. Par conséquent, si x ]0 Įg(x) < 0 si x Įg(x) > 0 et gĮ = 0.

Partie B

1. limx ĺ 2x = 0 et limx ĺ ln x = -limx ĺ ln x

x² = - par conséquent limx ĺ f(x) = + limx ĺ 2x limx ĺ ln x x² = 0 donc limx ĺ f(x

2. f(x) 2x = - ln x

x² or limx ĺ ln x x² = 0 donc limx ĺ f(x) 2x = 0. Cela signifie donc que la ǻy = 2x est asymptote à la courbe ࣝ . De plus ln x est négatif sur ]0 ;1] et positif sur [1

Donc ࣝ est au-dessus ǻ ;1] et au-ǻ

3. f est dérivable sur ]0 rivable sur cet intervalle.

f x) = 2 - 1 x × x² - 2x ln x x4 = 2x4 - x + 2x ln x x4 = 2x3 - 1 + 2ln x x3 = g(x) x3 . Sur ]0 x3 > 0. Donc f g ont le même signe sur ]0 4. x Į g(x) - 0 + f 5. fĮ

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Partie C

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